立体几何大题训练及答案

1、1、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB=AE=2,FA=FE,AEF=45。线段CD的中点为P，线段AE的中点为M,求证：PM/平面BCE；求直线CF与平面BCE所成角的正切值.D解:（1）取AB的中点为N，连MN,PN，则MN/EB,PN/BCP面PMN面PMN面EBC,PM/平面BCE5分(2)先证出FE丄面EBC，8分,FCE为直线CF与平面BCE所成角，11分tan,FCEtan,FCEFEEC14分(第19题(第19题)二ADBF就是直既BD与平CBE所成角.12分TOC o 1-5 h z2、己知多面体ABCDE中，DE丄

2、平面ACD,AB/DE，AC=AD=CD=DE=2,AB=1，O为CD的中点.b求证：AO丄平面CDE；A求直线BD与平面CBE所成角的正弦值解：(I)证明VAC=ADt。为CD的中点(A4。丄CD.又DEX-平面ACD.AOcz面二卫。丄DE,AOJL平而CDE.”(ID点厂连接BF、DF,曲已知可得，AB/=丄DE,2在&CDE中，OF打DE艮OF=二DE,2A四边形ABFO是平行四边形.BF/AO.由D知RF丄平WiCDE,*.*CD=DE:.DF丄:.DF丄平面CBE.在翻OF中，DF4i,劭在翻OF中，DF4i,劭=氐“SI平即立线AD与平CBE所成轴的正弦值为（此题证忆DBF為所求

3、角.方法较多,酌情给井3、如图，在厶ABC中，C=90,AC=BC=3a，点P在AB上，PE/BC交AC于E，PF/AC交BC于F.沿PE将厶APE翻折成APE，使平面APE丄平面ABC；沿PF将厶BPF翻折成BPF,使平面BPF丄平面ABC.（1）求证：BC/平面APE；（2）若AP=2PB，求二面角APCE的平面角的正切值.TOC o 1-5 h zCEAAB，CEFBPTOC o 1-5 h z解：（1）因为FC/PE，FC平面APE，所以FC/平面APE.因为平面APE丄平面PEC，且AE丄PE，所以AE丄平面ABC.2分同理，BF丄平面ABC，所以BfF/AE，从而BfF/平面APE

4、.-4分所以平面B1CF/平面APE，从而BC/平面APE.-6分（2）因为AC=BC=3a，AP=2BP，所以CE=a，EA2a，PE=2a，PC=5a.过E作EM丄PC，垂足为M,连结AM.BCMEAFBP（第20题）由（1）知AE丄平面ABC，可得AE丄PC，所以PC丄面AEM，所以AfM丄PC.12分所以ZA:ME即为所求二面角A*PC-E12分25在RtAPCE中，求得EM=a,5所以tan,AE所以tan,AEEM515分4、如图，DA丄平面ABC,ED丄平面BCD,DE=DA=AB=AC.BAC=1200,M为BC中点.i八、E求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；P为线段DM上

5、一点，且AP丄DM,求证：AP/DE.DB解:(1)ED丄平面BCD，DM为EM在平面BCD上的射影，EMD为EM与平面BCD所成角.DA丄平面ABC，DA丄AB,DA丄AC，设ABa，又DAAB=AC，DC=DB=在厶ABC中，YBAC120，BC=3a,又-:M为BC中点，DM丄BC，BM=2BCa，DM5.5分222在RtEDM中，EM=JDE2+DM2=3a,2DEa2smEMD.EM33a2又DA丄平面ABC，11分13分14分(2)ABAC，M为BC中点，BC丄AM.又DA丄平面ABC，11分13分14分9分又APu平面DAM，BC丄AP，又AP丄DM，AP丄平面BCD.又ED丄平

6、面BCD，AP/DE.5、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF丄平面ABCD，CEAF,CE=kAF(尢1).D证明：BD丄EF；D若AF=1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为3102,求的值.解：(1)连结BD、AC,交点为O.TABCD是正方形:.BD丄AC2分TOC o 1-5 h zAF丄平面ABCD.AF丄BD4分.BD丄平面ACEF6分.BD丄EF7分(2)连结OE,由(1)知，BD丄平面ACEF,所以ZBEO即为直线BE与平面ACE所成的角.10分TAF丄平面ABCD,CEAF,.CE丄平面ABCD,CE丄BC,2TBC=1,AF=1,则CE=,BE=1+,BO,2T

7、OC o 1-5 h zBO232.RtABEO中，sinZBEO，,.13分BE21+2104因为1，解得，.15分36、如图，在几何体中，勒丄平面ABC,AB丄阮,CCJ勒,AB,BC,勒=2,A1ECC，1,D,E分别是AB,AAA1E11求证：BC平面CDE；求二面角E-DC-A的平面角的正切值.解：(1)连接ACR1R交EC于点F,由题意知四边形ACCR1RE是矩形，则F是ACR1R的中点,连接DF,TD是AB的中点，：D卩是厶ABCR1R的中位线，.BCR1R/DF,4分BCR1RW平面EDC,DFu平面EDC,?.BCR1R/平面CDE.7分作作AH丄直线CD,垂足为H,连接HE

8、,AARR丄平面ABC,AARR丄DC,CD丄平面AHE,CD丄EH,AHE是二面角E-CD-A的平面角.11分D是AB的中点，AH等于点B到CD的距离，25在厶BCD中，求得：AH=,AE在AAEH中，騷AHE=齟即所求二面角的正切值为7、如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtMBC所在平面，且PA=AB=AC,求证：PA/平面QBC；TOC o 1-5 h z若PQ丄平面QBC,求CQ与平面PBC所成角的正弦值.QCA解：(1)证明：过点Q作QD丄BC于点D,平面QBC丄平面ABC,.：QD丄平面ABC.2分B又PA丄平面ABC:.QD/PA,2分又QD平面QBCPA平面QBC6分(2

9、)PQ丄平面QBC.PQB=PQC=90，又PB二PC,PQ二PQ.,PQB,PQC.BQ二CQ8分.点D是BC的中点，连结AD，则AD丄BCAD丄平面QBCPQ/AD,AD丄QD四边形PADQ是矩形10分设PA=AB=AC=2a得：PQ=AD=2a,PD=6a又BC丄PA,BC丄PQ,BC丄平面PADQ,从而平面PBC丄平面PADQ,过Q作QH丄PD于点H,贝y：QH丄平面PBCZQCH是CQ与平面PBC所成角12分小2，2a23QH=a,CQ=BQ-6a63sinZsinZQCH=QHCQ2CQ与平面PBC所成角的正弦值为314分8、如图，在直三棱柱ABC-ABC中，ABC是等腰直角三角形

10、，ZACB=90。，侧棱111AA=2,D，E分别为CC与A”的中点，点E在平面ABD上的射影是AABD的重心.Ai(1)求证：DE/平面ACBAiCi求A1B与平面ABD所成角的正弦值CiBi解iX解iX)取詡虫中点F“匕蹲更凡曲,卄，一2分r1r1由口知可得严.宁宀丈=W所臥四边羽DEFC为平订州边形4分即EDHCF阴为EDeFCcY：面川it作E丹丄DF于比连结旳.CCtCCt平面平ffljacji*CC|AC=iCyAFFiiAB1CF,乂CKfCDmUCF.CDu平面DEF匚；ASAC=iCyAFFiiAB1CF,乂CKfCDmUCF.CDu平面DEF匚；AS丄平面DEFC.EM匸T

11、血DE押C,所以凶出丄EH*乂EH丄DF.DFnAB左F艮OFu叩面所以E丄平i砒RD、所此:BH为卡占峙平面用*D所成炖的耶面角，11分H为MMD的重心，在AD/TF中卫严二册FD土於=i所卿FD二込HF一旦EP-=33斜$inNEAH=EHEB所纠AXB与叩面ABD斫战需的证弦値为9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC人店心中,ZB=90,D为棱BB1的中点。求证：面DA1C丄面AA1C1C；AAc若人2，求二面角AA,DC的大小。底面ABC为等腰直角三角形,A1AB底面ABC为等腰直角三角形,A11il1!-JillJ111!.1AMBfiir(i7r蛊比jlctf：nJhJIft.T

12、OC o 1-5 h zfh比扯已.打於E：.血伯+右41册肉讪常ilB.ir-4f71!.船.4J：gd碌i中皿亠竺竺=如.11PGJ敲J帀匚柜出凸巴帝中A-*SH色甘TAJUXWJMO1j,BliH1宀“f-m沪14if10、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD,AB/CD,ZDAB=90,PA=AD=DC=1,AB=2,M为PB的中点.一P证明：MC平面PAD；P求直线MC与平面PAC所成角的余弦值.m11、如图在梯形ABCD中,AB/DC,E、F是线段AB上的两点，且DE丄AB,CF丄AB,CF二3,EF二FB二2,G为FB的中点，设AE=t,现将山DE,BCF分别沿DE,

13、CF折起，使A、B两点重合于点P,得到多面体PEFCD.(1)求证：PD平面EGC；(2)当EG丄面PFC时，求DG与平面DCPED所成角的正切值.CEFAEFGBGPF证明：连接DF交EC于点M，连接MGFM,G为中点PD/MG又PD9面EGCMG,面EGC.PD/平面EGC5分当EG丄面PFC时，EG丄PF又G为FB的中点,EFEP2，t27分过点G在平面PEF中作EP的垂线，垂足为N,连接DN.DE丄面PEF面PED丄面PEFGN丄面PEDTOC o 1-5 h zGDN即为DG与平面PED所成角.11分3217易求得GN2,DN2，所以DG与平面PED所成角的正切值为7.14分厶厶/1

14、2、如图，在四边形ABCD中，ABAD4，BCCD7,点E为线段AD上的一点.现将ADCE沿线段EC翻折到PAC，使得平面PAC丄平面ABCE，连接PA,PB.(1)证明：BD丄平面PAC；若BAD60。，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值.PD解:(1)连接AC，BD父于点O，在四边形ABCD中，BAABAD4，BCCD7.AABC二AADCDACBAC,.AC丄BD又平面PAC丄平面ABCE，且平面PACA平面ABCE=AC.BD丄平面PAC6分(2)如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC并取AO中点F，连接EF，平面PAC丄平面ABCE，且平面PA

15、CA平面ABCE=AC，PH丄ACPH丄平面ABCE，.:PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，由(I)可知，AC丄BD，且AO23，CO3，又PE2，PC7，设CHx，则有PH7x2，EHPE2PH2x23又F为AO的中点，在RtAEFH中，FH23一x，EF14由勾股定理得，(23x)2+1x23，解得x33，1125EH33,PH33EH3直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即sinZPEH旋二巧AA1C1C，B113、在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA=2,平面ABC丄平面ZAA1C1=ZBAC1=60，设AA1C1C，B1求证：BO丄平面AA1C1C；B求二面角B1AC1A1