线性代数解题方法和技巧

1、第一部分行列式一、行列式的概念（1）二阶与三阶行列式的对角线法则（2丿拆阶行列式的定义（3）余子式、代数余子式的定义【测试题】四阶行列式中含有卫23的项是二、数字型行列式的计算计算数字型行列式的常见思路有：（1）如果在行列式的某一行（列）中，零的个数比较多，可按该行（列）展开：（2丿利用行列式的性质，将行列式某行（列）中尽可能多的元素化为零，然后再按该行（列）展开（课本P.18例7的第二种解法）；（3）三角形法：利用行列式的性质，将给定的行列式化为上（下）三角形行列式（课本P.12例7、例3、例9）：（4）递推法或数学归纳法（课本P.15例11,P.18例12）；（5）利用范德蒙行列式；（6）

2、利用拉普拉斯定理（同济第五版的线性代数没有介绍该定理，不作为期末考试要求）.【测试题】计算下列各行列式（以为上阶行列式）：TOC o 1-5 h za1（1）Dn=,其中对角线上的元素都是a,未写出的元素都是0；1axaaaxaD*=.：:;aa-x线性代数解题方法和技巧线性代数解题方法和技巧- -线性代数解题方法和技巧线性代数解题方法和技巧-L9-L9-(8)77阶矩阵最多只有个线性无关的特征向量(因为向量空间尺”的维数等于H).(刃若2是力的特征值，则/是乂“的特征值：傾2)是如)的特征值(其中(p(A)=a0+al/l+-+am/T是乂的多项式，(p(A)=a0E+aA+a1是矩阵必的多

3、项式)(参阅课本P.120例8).力丁与乂有相同的特征值.n阶零矩阵O的特征值只能等于0.特别地，若力是拆阶对称阵，2是力的十重特征值，则R(A-AE)=n-k.从而对应于特征值2恰有十个线性无关的特征向量；对应于不同特征值的特征向量两两正交；n阶对称阵恰有n个线性无关的特征向量.【测试题】(3-1矩阵乂=的特征值为(-13丿设n阶矩阵力,满足R(A)+R(B)n,证明有公共特征值，有公共特征向量.已知3阶矩阵力的特征值为1,2,-3,求|才+3力+2&.设a=(al9a2,-,an)T厲工0,A=aaT证明兄=0是n阶矩阵力的/?一1重特征值.三、方阵的相似对角化关于阶方阵的相似对角化，有以

4、下结论：(1)拆阶方阵&可以相似对角化当且仅当力有n个线性无关的特征向量：(2丿如果川阶方阵力的拆个特征值各不相同，则力可以相似对角化；(3)对称矩阵一定可以相似对角化.n阶方阵A相似对角化的一般步骤：(求出4的所有互不相等的特征值人,九,，人(SG),它们的重数依次为也,，代(何+上2+代=n).丿如果s=n,则力可以相似对角化，转入第(w)步；否则转入第(血)步.丄)如果对每一个V重特征值尺(乂-4毋=卅-任都成立，则力可以相似对角化，转入第(LV)步；否则力不能相似对角化，算法结束.(1V)对每一个重特征值人，求(A_&E)x=O的基础解系，得瞌个线性无关的特征向量,转入第(v丿步.因为

5、&+取+匕=“,所以一共可以得到n个线性无关的特征向量.(v)这n个线性无关的特征向量构成可逆矩阵P,满足PlAP=A.注意A中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应.特别地，对称矩阵相似对角化的步骤参阅课本P.125.若方阵3相似，则(1)方阵4E有相同的特征多项式，从而有相同的特征值；方阵的多项式风4)与03)也相似；(3)特别地，若有可逆矩阵P,使得PlAP=A为对角阵，则PlAkP=N,Pl(p(A)P=傾A),*入)、因为=，傾A)=傾入)1岛、做人)丿所以可以通过傾A)计算方便地计算力的多项式0(力)；(4)特别地，若傾刃是力的特征多项式，则风4)=0(零矩阵).【测试题】201、1.设矩阵=31x可相似对角化，求X.(405,2.25-12.25-1-1ab2、3的一个特征向量.一27(1)求参