高考数列压轴题

1、第第2页（共62页）第第2页（共62页）第第 页（共62页）45.已知数列an中,(1)求证:(2)求证:_45.已知数列an中,(1)求证:(2)求证:_是等差数列；an-1(3)t (1 + 日 p (1+ 日工)(1+ %),记数列bn的前n项和为Sn,求证:【解答】证明：（1）当n=1时,-L,满足 、一2假设当n=k （ k 1）时结论成立，即 一 ak 1,2 ak+i ak+i =1+akab4-l即n=k+1时，结论成立,:当nGN*时，都有 0,.n2 时,.n2 时,她_=/+3什2立 bn 2n2 +3n?又 d=旦，b2=l_,:当n3时,42 ,53又 d=旦，b2=

2、l_,:当n3时,42 ,53Sn-1田 2,Y 哙)十刈府运十（y） z十十年产，46.已知无穷数列a n的首项a1=1_, 21 .1nG N*.3n+l(I)证明：0an=1假设当n=k （kGN*）时不等式成立，即 0ak=1那么：当n=k+1时,1 1 a那么：当n=k+1时,0ak+i 1,即n=k+1时不等式也成立.*综合可知，0V an2时,940:当n2:当n2时,940:当n2时,=3）（/弋）京（%+广%）当 n=1 时，丁 一t 当 n=1 时，丁 一t 一卜 二成立；当n2时木哈（卷3-&2） * （3-&3） +,+（为肝一3巾）1 w 919 （._ .9 9 门

3、 427/3 式 %（1 %）-405 lOClo综上，对任意正整数 n, t /% 10Tn=bl+b2+bn47.已知数列Xn满足Xl=1,+3,求证:Xn+1 =(I ) 0Xn9；（II ） Xn$-3-Cy）11-1-【解答】证明：（I）（数学归纳法）当n=1时，因为Xi=1,所以0Xi9成立.假设当n=k时，0Xk9成立，则当n=k+1时，t十产弧+,因为取+1 二0，且令+产2因6=2 （历一3） 0得Xk+1 9所以0Xn9也成立.（II ）因为 0Xn 9,所以富什 1 r/r 口+2+3=（萩-3）（任+1）。所以 XnXn+1.（III ）因为 0Xn T+3.所以 f-

4、9），即 g,n+iV! 19rl!）.所以9rliK号）I9一工1）又 xu,故叫g-8号）E48.数列a。各项均为正数，且对任意nGNn G N*,证明:,满足an+i=an+c42 （ c 0n G N*,证明:（I）若ai, 2a2, 3a3依次成等比数列，求 ai的值（用常数c表示）；（口）设 b(i )求证:(ii （口）设 b(i )求证:(ii )求证：SnS+i0,化为 4a2=3a(1+ca2)., ,4(日+0日,=3ai1+cai 0,化为:3c2x2 cx 1=0, 解得 x=l+ I- 6c（II ）证明：（i）由 an+i=an+ca； （c0 且为常数），40.

5、1由计i% l+nD =-c1+0.即一日田（ii ）由（i ）可得:1an1+c anbn=1+c an c% airbl由 an+i =3n+can Hn 0 ,可得一+aaan+21am-i)=mmai【解答】（I）解：对任意n N*,满足an+i =an+can2 （c0且为常数）.：a?=)=Sn+i )=Sn+i .Sn Sn+iC口49.设数列满足|a n -史工| i, n G N*.2(I)求证：|a n| )2nT (|a i| - 2) ( nG N*).|2n 1 (|a i| -2) (neM).（II ）任取n G N,由（I ）知，对于任意 mn,由m的任意性可知|a n| 2,%E I-2取正整数 molog =且 mono,则J. %T 2 0I % 1-22 %?(&)m0V2 %?(二) 丁 2 =|a| 2,与式矛盾.44n 口综上，对于任意 nNi,都有|a n| w 2.2. * .(nG N)A-包a!. * .(nG N)50.已知数歹U an满足：&=1, an+i=an+-Cn+1)5（n）求证:2(n+l) an+i n+1.n+3【解答】证明：（i）即an+l an (n+1) an+1 tn+1 产n n+1累加可得，1 al3n+l1n+1故 an+i n+1,另一方面，由ann可得,原式变形为anY iq2(n