初三数学第4讲用函数观点看一元二次方程教师版公主坟

1、 第4讲 用函数观点看一元二次方程对于二次函数y = ax2 + bx + c（a0）和一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a0）,从“数”的角度看，一元二次方程的解为二次函数的函数值为0时的x的值；从“形”的角度看，二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.针对上述关系列表如下.a0根的情况有两个不等的实数根，有两个相等的实数根，方程无实根与轴的交点情况与x轴有2两交点，(,0), (,0),如图.与x轴有一个交点，(,0),如图.xx与x轴无交点，如图.OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOa0根的情况有两个不等的实数根，有两个相等的实数根，方程无实

2、根与轴的交点情况与x轴有2两交点，(,0), (,0),如图.与x轴有一个交点，(,0),如图.与x轴无交点，如图.重点：理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题难点：利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解，体会数形结合的思想方法例1已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则( )Aa0，c0，b24acBa0，c0，b24acCa0，c0，b24acDa0，c0，b24ac解析：因为图象开口方向向下，所以a0；因为交y轴负半轴，所以c0；因为与x轴有两个交点，所以b24ac0.答案： D.例2 若二次函数ykx26x3

3、的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )Ak3 Bk3且k0 Ck3 Dk3且k解析：因为二次函数ykx26x3的图象与x轴有交点，所以b24ac0.即36-12k0，得k3.又k0，所以选D.答案： D. 例3 如图，已知抛物线经过点（0，-3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间.你所确定的b的值是 解析：答案不唯一，把（0，-3）代入抛物线的解析式，得c=-3，y=x2+bx-3，由题意，设抛物线经过（2，0），代入y=x2+bx-3，得0=4+2b-3，b=答案：答案不唯一，如.例4二次函数的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是（ ）A1

4、x3Bx1C x3Dx1或x 解析：由观察图象可知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为-1，3.故当y0时，对应的图象为x轴下方，所以当-1x3时，函数值y0答案：A例5 二次函数yx23x4的如图所示，根据图象回答下列问题(1)写出方程x23x40的解；(2)在图中用点M，N的横坐标表示方程x23x60的解解析：(1)方程x23x40的解是函数yx23x4的图象与横轴交点的横坐标，即x14，x21；(2)方程x23x60的解是函数yx23x4的函数值y2时自变量所取的值NNM答案： (1)x14，x21；(2)如图中点M、N的横坐标例6已知二次函数.（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与

5、x轴总有两个交点（3）若此二次函数图象与x轴交于A,B两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由解析：（1）此题由“数”定“形”，只需证明根的判别式大于等于（即）即可. ，不论为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.（2）此题涉及到二次函数图象与轴交点的横坐标问题（由“形”定“数”），可采用一元二次方程根与系数之间的关系解答设，是一元二次方程的两根,则有，.两交点的距离是，.即.,整理的.解方程得. ，所求二次函数的解析式为（3）如右图，设点P的坐标为.函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，PAB的面积为，有，从而，解得.当时，解得；当时，解

6、得综上所述，存在这样的点P，点P坐标是(2,3), (3,3), (0, 3)或(1, 3)答案：（1），不论为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.（2）二次函数的解析式为（3）存在，点P坐标是(2,3), (3,3), (0, 3)或(1, 3)A1下列二次函数的图象中，不与x轴相交的是（ ）.A . y=2x23 B. y=2 x2 + 3 C . y=x23x D. y=2(x+1)23答案：D. 2.根据下列表格的对应值：x3.233.243.253.26yax2bxc0.060.020.030.09判断方程ax2bxc0(a0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( )A3x3.2

7、3 B3.23x3.24 C3.24x3.25 D3.25答案：D.3已知二次函数yax2bxc的图象如下图所示，则( )Ab0，c0，0Bb0，c0，0Cb0，c0，0Db0，c0，0答案：B图3xyO134抛物线y2x28xm与图3xyO13答案：8.5已知二次函数yx22xm的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程x22xm0的解为_答案：x13，x21.6画出的图象，并求：(1)顶点坐标与对称轴方程；(2)x取何值时，y随x增大而减小?x取何值时，y随x增大而增大?(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少?(4)x取何值时，y0，y0，y0?答案：(1)顶点(1，2)，

8、直线x1；(2)x1，x1； (3)x1，y最大2；(4)1x3时，y0；x1或x3时y0；x1或x3时，y0.7已知抛物线yx2(2k1)xk2k(1)求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)当k1时，求此抛物线与x轴的交点坐标答案：(1)b24ac(2k1)241(k2k)8k210方程x2(2k1)xk2k0有两个不相等的实数根抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)当k1时，原抛物线为yx23x令y0，得x23x0解得x10，x23此抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(3，0)B8二次函数ymx22mx(3m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是( )Am0Bm3Cm0D0m3答案：

9、C9已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）Aa0 B当x1时，y随x的增大而增大Cc0 D3是方程ax2bxc0的一个根yyOxx答案：D10如图，抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x1，且经过点P(3，0)，则abc的值为( )A0 B1 C1 D2yy133OxP1答案：A.11如图是二次函数y1ax2bxc和一次函数y2mxn的图象，观察图象写出y2y1时，x的取值范围_答案：2x1.12如果抛物线y=x2+2x+m+1与x轴交于A，B两点，且A， B两点都在x轴正半轴上，求m的取值范围. 答案：抛物线与x轴有两个交点，=224(1)( m+1)

10、=4m+80，解得m设抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为x1和x2，则方程x2+2x+m+1=0的两根为x1和x2，为x1+x2= eq f(b,a) =2, x1x2= eq f(c,a) =m1. A， B两点都在x轴的正半轴上，x1+x20， x1x20，由m10得m1. m的取值范围是2m1.13当m取何值时，抛物线yx2与直线yxm(1)有公共点；(2)没有公共点答案：由题意得x2xm0，(1)当14m0，即时两线有公共点(2)当14m0，即时两线无公共点C14如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为x1给出四个结论：b24ac；2ab0；abc0；a

11、bc0其中正确结论是(yxAOA B CyxAO答案：B15二次函数yax2bxc(a0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：x10123y21212(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；(2)一元二次方程ax2bxc0(a0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个_答案：(1)开口向下，顶点(1，2)，(2) 16已知抛物线yx2(m4)x3(m1)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点(1)求m的取值范围(2)若m0，直线ykx1经过点A并与y轴交于点D，且，求抛物线的解析式答案：(1)(m2)20，m2；(2)m1，yx25x6

12、1二次函数yax2bxc(a0)与x轴有交点，则b24ac_0；若一元二次方程ax2bxc0两根为x1，x2，则二次函数可表示为y_答案：0，ya(xx1)(xx2) 2若二次函数yx23xm的图象与x轴只有一个交点，则m_答案：3若二次函数ymx2(2m2)x1m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_答案：且m04若二次函数yax2bxc的图象经过P(1，0)点，则abc_答案：0 5若抛物线yax2bxc的系数a，b，c满足abc0，则这条抛物线必经过点_答案：(1，0) 6关于x的方程x2xn0没有实数根，则抛物线yx2xn的顶点在第_象限答案：一7已知抛物线yax2bxc的图象如图

13、所示，则一元二次方程ax2bxc0( )A没有实根B只有一个实根C有两个实根，且一根为正，一根为负D有两个实根，且一根小于1，一根大于2答案：D8一次函数y2x1与二次函数yx24x3的图象交点( )A只有一个B恰好有两个C可以有一个，也可以有两个D无交点 答案：B 9函数yax2bxc的图象如图所示，那么关于x的方程ax2bxc30的根的情况是( )A有两个不相等的实数根B有两个异号实数根C有两个相等的实数根D无实数根答案：C 10二次函数yax2bxc对于x的任何值都恒为负值的条件是( )Aa0，0Ba0，0Ca0，0Da0，0答案：D11已知抛物线yax2bxc与x轴的两个交点的横坐标是

14、方程x2x20的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式答案：y2x22x412对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式答案：或y2x22x41已知直线y5xk与抛物线yx23x5交点的横坐标为1，则k_，交点坐标为_答案：4，(1，9) 2当m_时，函数y2x23mx2m的最小值为答案：3直线y4x1与抛物线yx22xk有唯一交点，则k是( )A0B1C2D答案：C 4二次函数yax2bxc，若ac0，则其图象与x轴( )A有两个交点B有一个交点C没有交点D可能有一个交点答案：A5yx2kx1与yx2xk的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )A0B1C2D 答案：C 6已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，那么关于x的方程ax2bxc20的根的情况是( )A无实根B有两个相等实数根C有两个异号实数根D有两个同号不等实