广东省惠州市第四中学2022年高三数学理月考试卷含解析

1、广东省惠州市第四中学2022年高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数若，则实数的取值范围是（ ） A（-1，0）（0，1） B（-，-1）（1，+） C（-1，0）（1，+） D（-，-1）（0，1）参考答案：C略2. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）A2014 B2013 C1008 D1007参考答案：D 【知识点】程序框图L1解析：由程序框图可知，所以选D.【思路点拨】遇到循环结构程序框图问题，可依次执行循环体发现所求值的规律，再进行解答.3. 已知A，B分别为双曲线C：=1

2、（a0，b0）的左、右焦点，不同两点P，Q在双曲线C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为，则当+取最大值时，双曲线C的离心率为（）ABCD2参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，y0），y02=b2（1）A（a，0），B（a，0），利用斜率计算公式得到：=，运用基本不等式求得最大值，注意等号成立的条件，再由离心率公式即可得出【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，y0），y02=b2（1），即有=，由双曲线的方程可得A（a，0），B（a，0），则=，=，=，+=（）+（）2=8，当且仅当=4，即有b=2a，c=a，可得离心率e=故选：

3、A【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查直线的斜率公式，利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4. 设集合A=0，2，a，B=2，a2若AB=0，2，4，16，则实数a的值为（）A0 B1 C2 D4参考答案：D 【知识点】并集及其运算A1解析：根据题意，集合A=0，2，a，B=2，a2，且AB=0，2，4，16，则有a=4，故选：D【思路点拨】根据题意，由A与B及AB，易得a2=16，分情况求得A、B，验证AB，即可得到答案5. 已知集合，则等于AB1,2C2,3D1,2,3参考答案：D略6. 如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今

4、发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）A10 B12 C13 D15参考答案：C7. 已知抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（） A （1，0） B （1，0） C （0，1） D （0，1）参考答案：B考点： 抛物线的简单性质 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标解答： 解：抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），=1，该抛物线焦点坐标为（1，0）故选：B点评： 本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础8. 函数f（x）=a

5、x12（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny1=0上，其中m0，n0，则的最小值为（）A4B5C6D3+2参考答案：D【考点】基本不等式；指数函数的图象变换【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n=1，整体代入可得=（）（m+n）=3+，由基本不等式可得【解答】解：当x1=0即x=1时，ax12恒等于1，故函数f（x）=ax12（a0，a1）的图象恒过定点A（1，1），由点A在直线mxny1=0上可得m+n=1，由m0，n0可得=（）（m+n）=3+3+2=3+2当且仅当=即m=1且n=2时取等号，故选：D【点评】本题考查基本不等

6、式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题9. 已知函数在上仅有1个最值，且为最大值，则实数的值不可能为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】化简，根据在上仅有个最值，且为最大值，得到，解得或，对比选项得到答案.【详解】，因在上仅有个最值，且为最大值，故，解得，故，或故选：C【点睛】本题考查了根据三角函数最值求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.10. （原创）复数为纯虚数的充要条件是( )A. B. C. D. 参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列中，当整数时，都成立，则 参考答案：由得，,即，数列从第二项起构成等差数列，1+2+4+6+

7、8+28=211.12. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3，BD1，则_。参考答案：。如图建立平面直角坐标系， 由已知得B（0，0），D（1，0），A（，）， 所以，从而。13. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t为参数），在极坐标系 （与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于 .参考答案：4 14. （4分）设x0，则函数的最小值是_参考答案：415. 等差数列，则的值为 参考答案：16. 设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|_。参考答案：6略17. 在边长为2的等边三角形A

8、BC中，则向量在上的投影为_参考答案：，为的中点，则向量在上的投影为，故答案为三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1+cos2）=8sin（1）求曲线C的普通方程；（2）直线l的参数方程为,t为参数直线与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当|FA|?|FB|取最小值时，求直线的直角坐标方程参考答案：（1）x2=4y；（2）y=1【分析】（1）根据x=cos，y=sin将极坐标方程化为普通方程，（2）将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及参

9、数几何意义求|FA|?|FB|，最后根据三角函数有界性确定最值，解得结果.【详解】（1）由题意得（1+cos2）=8sin，得2cos2=8sin，得2cos2=4sin，x=cos，y=sin，x2=4y，即曲线C的普通方程为x2=4y（2）由题意可知，直线与y轴交于点F（0，1）即为抛物线C的焦点，令|FA|=|t1|，|FB|=|t2|，将直线的参数方程代入C的普通方程x2=4y中，整理得t2cos2-4tsin-4=0，由题意得cos0，根据韦达定理得：t1+t2=，t1t2=，|FA|FB|=|t1|t2|=|t1t2|=4，（当且仅当cos2=1时，等号成立），当|FA|?|FB|

10、取得最小值时，直线的直角坐标方程为y=1【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线参数方程，考查综合分析求解能力，属中档题.19. 已知函数f（x）=x33ax2bx，其中a，b为实数，（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；（2）若f（x）在区间1，2上为减函数，且b=9a，求a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【专题】计算题；压轴题【分析】（1）根据f（x）在x=1处取得的极值为2，可建立关于a，b的两个等式关系，解方程组即可（2）由f（x）在区间1，2上为减函数，可转化成f（x）0对x1，2恒成立，借助二次函数的知识建立

11、不等关系，可求出a的取值范围【解答】解：（）由题设可知：f（1）=0且f（1）=2，即，解得；（）f（x）=3x26axb=3x26ax9a，又f（x）在1，2上为减函数，f（x）0对x1，2恒成立，即3x26ax9a0对x1，2恒成立，f（1）0且f（2）0，即，a的取值范围是a1【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题20. 已知椭圆C： +=1（ab0）的两个焦点分别为F1（2，0），F2（2，0），离心率为过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交

12、椭圆于M，N两点（）求椭圆C的方程；（）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（I）由已知可得：，解得即可得出；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x3，y3）与椭圆方程联立化为（1+3k2）x212k2x+12k26=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：线段AB的中点D，可得直线OD的方程为：x+3ky=0（k0）与椭圆方程联立，解得=，x3=3ky3利用四边形MF1NF2为矩形，可得=0，解出即可【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2=6，b2

13、=2，椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x3，y3）联立，化为（1+3k2）x212k2x+12k26=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x24）=，线段AB的中点D，直线OD的方程为：x+3ky=0（k0）联立，解得=，x3=3ky3四边形MF1NF2为矩形，=0，（x32，y3）?（x32，y3）=0，=0，=0，解得k=，故直线方程为y=21. （本小题13分）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值参考答案：（1）面 又 面 面面；（2）法一：过作于，于，连结显然面，由三垂线定理可得，即为所求角， 法二：以为原点，所在的直线分别为轴，直线所在方向为轴。则 于是