09 第四节 格林公式

1、第四节 格林公式一、格林(Green)公式二、曲线积分与路径无关的条件一、格林公式1. 区域连通性设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D , 则称 D 为平面单连通区域 , 否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DDD由L1与L2连成2. 正向边界曲线 D+ D由L1与L2组成边界曲线 D 的正向:当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边.D的正向边界曲线记为: D+.平面单连通区域: 边界曲线的逆时针方向为正向.平面复连通区域: 边界曲线的外圈, 逆时针方向为正向,边界曲线的里圈, 顺时针方向为正向.3、格林 (Green ) 公式定理1 设 xoy 面上的

2、有界闭区域 D 的边界曲线D由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成, 函数 P(x, y), Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有:公式(1)叫做格林公式.格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.证明(1)若区域D既是x型又是y型,yxoDabAB证明(1)若区域D既是x型又是y型,yxoDcdCEAB同理可证两式相加得证明(2)D若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的区域D1, D2, D3.GDFCEAB证明(3)由(2)知 若D是复连通区域 , 添加直线段AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC及CGA

3、构成. 对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿D的全部边界的曲线积分, 且每条闭曲线的走向对D来说都是正向 应注意的问题：4、格林公式的简单应用情形1：L是封闭曲线且在L所围区域D内P、Q无奇点, 1) 简化第二类曲线积分 的计算.(奇点：P 或Q无定义或偏导不存在或偏导不连续的点)xyo则可直接应用格林公式.xyo解记L所围区域为 D , 情形2：L 是非封闭曲线,解D作定向线段它与L所围闭区域记为 D, 可添加辅助线化为情形1.2) 简化二重积分的计算xyo解3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.格林公式: 闭区域 D 的面积A 解5. 应用格林公式时一定要注意条件1) 公式中

4、有向曲线应为区域 D 的正向边界.解记 L 所围闭区域为 D , 解2) L 是封闭曲线但在L 所围区域 D 内P、Q有奇点,则不能直接应用格林公式.记 L 围成的闭区域为 D , 则当 x 2 + y 20 时, 有:(1) 当 (0,0)D 时, xyoL(2) 当 (0,0)D 时, l 取顺时针方向.作位于D内圆周 l : x 2 + y 2= r 2 ,记 L 和 l 所围成区域为 D1, 则有：yxo格林公式小结:1.格林公式：2. 格林公式的应用.应用格林公式计算 时应注意两点：1) L必须是封闭曲线, 且二重积分易算出. 若L不封闭,要添加辅助线使之封闭,且添加部分的线积分易算

5、出.2) P(x,y), Q(x,y) 在所考虑区域上应有连续偏导. 若存在奇点必须用特殊曲线挖掉奇点.二、平面曲线积分与路径无关的条件 1、曲线积分与路径无关的定义GyxoBA即G内恒有否则与路径有关.2.定理与路径无关的四个等价命题条件等价命题在单连通区域G上, P(x,y) , Q(x,y) 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题等价.注: 定理的两个条件缺一不可证明 (1) (2)设L1,L2为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为： 在D内取定点 A(x0, y0) 和任一点B( x, y ) ,则同理可证因此有因曲线积分与路径无关,故

6、存在函数 证明 (2) (3)设存在函数 u (x, y) 使得则有：由于Py , Qx在 D 内连续,从而在D内每一点都有证明 (3) (4)设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为D D (如图) ,证明 (4) (1)则在D D 上有利用格林公式 , 得证毕例4(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 8.3 中我们已求得沿三条路线都有这里P =2xy，Q = x2在整个平面内恒有所以曲线积分与路径无关我们前面已求得：当(0, 0)D时,当(0, 0)D时,这里只有当 x 2 + y 20 时, 才有：即在原点处不满足定理条件,所以闭曲线积分是否为零与闭曲线是否绕原点有关应用:

7、对某些第二类曲线积分可改变其路径简化计算.L解故曲线积分与路径无关. 取定向直线段L1为：y = x, x: 01,y = x则有：OABLxy解故曲线积分与路径无关. 取定向折线段： 解故在上半平面曲线积分与路径无关. 注意 本题 L1 不能取 x 轴上有向线段 AB.解故曲线积分与路径无关. 取 L1 为: x = 0, ( y:02),取 L2 为: y = 2, (x:01),三、二元函数的全微分求解1、定义 对式子: P(x,y)dx+ Q(x,y)dy, 若存在某个函数u(x,y)使 du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy,则称 P(x,y)dx + Q(x,y)dy 是

8、函数u(x,y)的全微分.若 P dx + Q dy 在区域 G 内是某个函数的 的全微分,这时也称u(x,y)是P(x,y)dx+ Q(x,y)dy的一个原函数.求 P dx+Q dy原函数的一个方法： 证 令故 Pdx+Qdy是某个函数的全微分. 其一个原函数为：问：u(x,y)是唯一的吗？解故曲线积分与路径无关. 例 验证在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证 令则故当x 0时, 原函数存在.问：为什么(x0, y0)不取(0, 0)?2、二元函数的全微分方程求解(1) 定义 若一阶微分方程可写为P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0,且满足 Qx = Py ,则称之为全微分方程或恰当方程.(2) 解法:若 P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = 0 是全微分方程, 则微分方程通解为： u (x,y)=C.解故方程是全微分方程,故原方程的通解为例3解曲线积分与路径无关,第二类曲线积分常用计算方法小结:1.直接化为定积分计算.2.用格林公式: (1) L 封闭,且 D 内无奇点 (2) L 非封闭：添加辅助线 (3) D内有奇点：挖去奇点3.曲线积分与路径无关时, 改变积分路径简化计算.思