《高等数学》辅导课件1

1、第一章 函数与极限重点内容：定理1 收敛的数列必定有界.定理2几个极限不存在的例子因第一章 函数与极限重点内容：定理1 收敛的数列必定有界.定理3几个极限不存在的例子因定理3几个极限不存在的例子因定理4 (局部保号性)定理4 (局部保号性)B例1 则点 （A）是 的极大值点（B）是 的极小值点 （C）是 的驻点，但不是极值点（D）不是 的驻点B例1 则点 （A）是 的极大值点定义1. 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小与函数极限的关系定理5定理6 无穷小与有界函数的乘积是无穷小.答案定义1. 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小与函数极限的关系定义2. 绝对值无限增大的变量称为无穷大.定理7 在

2、同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系定义2. 绝对值无限增大的变量称为无穷大.定理7 在同一过定理8这是因为推论定理8这是因为推论典型极限典型极限例3 求解原式例3 求解原式例4 试确定常数 a, 使解 令则即例4 试确定常数 a, 使解 令则即求解 即因为所以例5 设求解 即因为所以例5 设例6解求常数 a, b.例6解求常数 a, b.准则I 如果数列 及 满足下列条件:那么数列 的极限存在, 且两个极限准则准则II 单调有界数列必有极限.准则I 如果数列 及 满足下列条件例7 求解由夹逼定理例7 求解由夹逼定理定义3记作记作定义3记作记作

3、常用等价无穷小:定理9 (等价无穷小替换定理)常用等价无穷小:定理9 (等价无穷小替换定理)其它三个更高阶的无穷小 【 】例8 当B时，下面四个函数哪一个是比解其它三个更高阶的无穷小 【 也可能是连续点, 需要判定.初等函数无定义的孤立点是间断点.分段函数的分段点可能是间断点,求函数的间断点的方法间断点的分类1. 跳跃间断点也可能是连续点, 需要判定.初等函数无定义的孤立点是间断点.2. 可去间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.3. 第二类间断点2. 可去间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.31. 铅直渐近线 (垂直于x 轴的渐近线)曲线的渐近线 2. 水平渐近线 (平

4、行于x 轴的渐近线)1. 铅直渐近线 (垂直于x 轴的渐近线)曲线的渐近线 2.解解例10 求函数 的间断点并判断其类型. 解例10 求函数 的间断点并判断其类型. 解例11 求出曲线 的水平与铅直渐近线. 解的一条水平渐近线. 的铅直渐近线. 例11 求出曲线 的水平与铅直渐近线. 解的一条水平渐近线例12 设函数 解 求出 的解析表达式. 重要结果例12 设函数 例13 求解 先考虑因为所以故例13 求解 先考虑因为所以故解 原式例14 计算解 原式例14 计算例15 计算解 原式令 则 例15 计算解 原式令 则 例16 若解1 求例16 若解1 求解2 例16 若求解2 例16 若求解

5、 所以原极限不存在. 例17 求解 所以原极限不存在. 例17 求定理9 初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数求极限的方法代入法.定理10 (零点定理) 设函数 在闭区间 a, b上连续，且与 异号(即 ),那么在开区间 (a, b)内至少有函数 的一个零点,即至少有一点 使定理9 初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定理11 闭区间上连续的函数, 必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.则函数例18 设常数 a 满足在区间0, 1上的零点个数是( )(A) 0(B) 1 (C) 2(D) 3B 定理11 闭区间上连续的函数, 必取

6、得介于最大则函数例18第二章 导数与微分导数定义的几种常用形式重点内容：第二章 导数与微分导数定义的几种常用形式重点内容：2. 右导数单侧导数1. 左导数 2. 右导数单侧导数1. 左导数 切线方程为法线方程为导数的几何意义切线方程为法线方程为导数的几何意义（D）0例1 设 在点 可导, 则【 】A.不存在 B. 3 C. 2 D. 1定理1 可导函数都是连续函数.AC（D）0例1 设 在点 可导, 则A. 充分条件 B. 必要条件C. 充分必要条件 D.无因果关系 D解 A. 充分条件 B. 必要条件 例5 设函数解例5 设函数解高等数学辅导课件1解解定理2复合函数的求导法则推广定理2复合函

7、数的求导法则推广对数求导法适用范围:由参数方程所确定的函数的导数则对数求导法适用范围:由参数方程所确定的函数的导数则例7解例7解切点为例8 设函数 由参数方程所确定, 求切点为例8 设函数 由参数方程所确定, 求解 (1)解 (1) 例9 设解 例9 设解解解例11解例12解例13解例11解例12解例13解罗尔定理(1) 在闭区间a, b上连续;(2) 在开区间(a, b)内可导;(3)使得第三章 中值定理与导数的应用利用罗尔定理的关键是构造辅助函数.重点内容：罗尔定理(1) 在闭区间a, b上连续;(2) 在开区间高等数学辅导课件1拉格朗日中值定理(1) 在闭区间a, b上连续;(2) 在开

8、区间(a, b)内可导;使得拉格朗日中值定理(1) 在闭区间a, b上连续;(2) 例2 已知函数 在0,1上连续，在(0,1)内可导,且分析 第一部分用闭区间上连续函数的介值定理；证明：(1) 存在 使得使得(2) 存在两个不同的点第二部分为双介值问题，需两次使用拉格朗日中值定理.例2 已知函数 在0,1上连续，在(0,证 (1) 令且 F(0)= -10,于是由介值定理知， 使得即 则 F(x) 在0,1上连续，(2) 在 和 上对 分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同的点使得于是 证 (1) 令且 F(0)= -10,解1洛必达法则求极限解1洛必达法则求极限解2解2例4解例4解即 (1) 式成立.证例5 证明不等式原不等式等价于即 (1) 式成立.证例5 证明不等式原不等式等价于例6 设(1) 求 的驻点(2) 求 的极值.解(1)(2)例6 设(1) 求 的驻点(2) 求 的极值解例7 设函数解例7 设函数例8 设函数 在定义域内可导，(A) 的图形如右图所示则其导函数 的图形为【 】 (B) （C） （D）A例8 设函数 在定义域内可导，(A) (A)无实根 (B)有且仅有一个实根