单涡卷蔡氏电路的非线性时间序列分析

1、单涡卷蔡氏电路的非线性时间序列分析张捷 孙俊峰Michael Small 香港理工大学 电子及资讯工程学系，香港 九龙摘要：蔡氏氏电路表表现出单涡卷卷引子时时，其输输出为包含一一明显周周期成分分的伪周周期时间间序列。 对于这这种时间间序列我我们采用用几种最新新提出的的方法来来分析和和刻画其其混沌动动力学特特性，包包括将时间序序列划分分为单个个Cyccle，并并在时域和相空空间中研研究其相相关性质质，以及对系系统重现现时间分分布进行行统计。这些新新的方法法进一步步加深了了我们对对蔡氏电电路单涡涡卷混沌沌吸引子子的认识识。关键词：单单涡卷蔡蔡氏电路路；伪周期期时间序序列；复杂网网络；重重现时间间；

2、混沌沌近年来,非非线性科科学及混混沌理论论在保密密通信，功率电电子学,自动控控制,生物医医学以及及许多其他他工程领领域获得得了广泛泛的应用用1, 比如利用用混沌同同步实现现保密通通信,和和通过反反馈方法法对混沌沌奇怪吸吸引子的的不稳定定周期轨轨道进行行控制,已成为为通讯领领域2和自控控领域的的研究热热点，并并已进入入到应用用阶段。在电路与系系统研究究中蔡氏氏电路一一直是一一个热点点.它是目前前众多混混沌电路路中最具具代表性性的一种种,其典型型的电路路结构已已成为理理论和实实验研究究混沌的的一个范范例。蔡氏电电路能够够展现出出一系列列复杂的的混沌动动力学特特性,但对于其单涡卷吸引引子的情情形研究

3、究还较少少。蔡氏氏电路表表现出单单涡卷吸引引子时，其其分量包含含一明显显的周期期成分，见见图1。所所对应的的时间序序列为一一伪周期期时间序序列。传传统的基基于混沌沌理论的的非线性性时间序序列分析析方法对对于伪周周期时间间序列往往往不适适合，这这是因为为伪周期期时间序序列内在在的周期期性可能能会掩盖盖原本存存在的混混沌特性性3。此外外噪声不不可避免免的会引引起传统统的混沌沌不变量量如关联联维数，李李亚普诺诺夫指数数的失效效3。本文采采用新的的伪周期期时间序序列的分分析方法法3，4以及状态态复现时时间（RRecuurreencee Tiime）对蔡氏电路单涡卷吸引子分量进行分析，目的是对这种时间序

4、列的确定性成分（如混沌）进行多方面和更为鲁棒的刻画，从而对系统的混沌动力学特性有更深入的理解。这些刻画还可以用于系统辨识等其他目的。时间序列的的混沌特特性检测测.Cyclle的时时域相关性性图1 (a) 蔡氏电电路的单单涡卷混混沌吸引引子。（bb）蔡氏电电路的分分量。对应的的方程为为：,Fig.11 (aa) ssinggle-scrrolll.chhaottic atttracctorr frrom Chuua circcuitt (bb) CCorrrespponddingg tiime serriess.我们首先将将时间序序列 （个观测测值）按按照局部部极大（或或极小）值值分割为为个连续

5、续的Cyyclee(周期期)。对对每对CCyclles 和 (), 我们用用其相关关系数来来度量它它们的相相似性或或者在相相空间中中的距离离3. 事事实上，两个Cycle如果具有高的相关系数，它们在相空间中的距离也是小的。对每一Cycle ，我们将其他所有个Cycle按照其与的距离升序排列，得到个列向量，其中是与距离第近的Cycle 的序号。将每一()中的第个Cycle取出并连缀在一起我们得到一行向量，表示为。很自然的原时间序列可以表示为。 可以发现序列与原序列最为接近( 因为中每一Cycle与原序列相应的Cycle都是距离最近的 )，而为第2接近，,以此类推。用表示中Cycle的序号，接下来

6、我们寻找满足如下关系的Cycle对:. （其中中表示中第第个元素素）。我我们 用用表示中满满足上述述条件的的Cyccle对对的个数数。从物物理角度度讲，这这意味着着彼此非非常接近近的两个个Cyccle 和 随时时间演化化将导致致两段非非常接近近的轨道道（或者者Cyccle链链）。对对混沌系系统，由由于邻近近轨道呈呈指数发发散，与与应满足足指数关关系，即即与是线性性关系，见见图2。其其斜率表表示相近近的Cyyclee发散的的速度，称称为Cyyclee Diiverrgennce Ratte。第第2个统统计量是是Cyccle Divverggencce RRatee对于各各个的一一个平均均，称为为

7、Aveeragge CCyclle DDiverrgennce Ratte。即即将对于于各个进进行加和和，得到到的与之间满满足一个个幂率关关系，见见图3，其斜斜率也表表示相近近的Cyyclee发散的的速度，但但对噪声声更为鲁鲁棒。 第3个个统计量量是Sppatiial Divvergennce Ratte它反反映了确确定性成成分如何何在中随随而减少少，见图图4。对于于混沌系系统，与与之间也也满足一一个幂率率递减关系系。以上上各统计计量的详详细导出出过程可可参参见原文文3。图 x分分量的CCyclle DDiveergeencee RaateFig.22 Cyccle Divverggencce

8、 RRatee foor xx coompoonennt.图3 x分分量的AAverragee Cyyclee Diiverrgennce RatteFig.33 Avveraage Cyccle Divverggencce RRatee foor xx coompoonennt.图4 x分分量的 Spaatiaal DDiveergeencee Raate.Fig.44 Spaatiaal DDiveergeencee Raate forr x coompoonennt.Cyclee在相空空间中相关性性在上一节的的基础上上，即将将序列划划分为连连续的CCyclle并用用相关系系数作为为其距离

9、的的度量，我我们进一一步将时时间序列列映射至至复杂网网络域4.其中中每一CCyclle对应应于复杂杂网络中中的一个个节点，两两个Cyccle是是否连接接取决于于其相关关系数是是否足够够大（大大于一阈阈值）。复杂网络已已成为近近十年来研研究的前前沿和热热点问题题4，并已已涉及到到科研和和工程中中的绝大大多数领领域。复复杂网络络的概念念为研究究复杂系系统提供供了可能能。通过过上面提提出的映映射方法法，原时时间序列列的动力力学特性性将在相相应的复复杂网络络的拓扑扑结构中中得到体体现，而而网络拓拓扑结构构的统计计量就可可以被用用来刻画画时间序序列的时时域特性。图图5给出了了时间序序列所对对应的复复杂网

10、络络。可以以看到它它具有高高度的聚聚类特性性，而所所有的节节点（即即cyccle）位位于一个个低维的流形形结构上上说明原原时间序序列源于于一确定定性的低低维系统统。图66给出了了在一系系列不同同的阈值值下所得得到的复复杂网络络的度分分布曲线线。图中中的尖峰峰对应于于系统的的不稳定定周期轨轨道（UUPO）。而而不同混混沌系统统的UPPO的分分布的差差别就可可以通过过图6中的22维度分分布来整整体研究究。这里里由于篇篇幅限制制仅给出出一个初初步结果果，可以用用更多的的复杂网网络拓扑扑结构统统计量对对原系统统做更深深入的研研究和刻刻画。图5 由xx 分量量构造的的复杂网网络。Fig.55 CComp

11、plexx neetwoork buiilt froom xx coomponnentt.图6 x 分量构构造的复复杂网络络的二维维度分布布Fig.66 2DD deegreee ddisttribbutiion froom tthe commpleex nnetwworkk buuiltt frrom x coomponnentt.复现时间分分析动力学系统统的状态态复现是是混沌系系统的一一个重要要特征。近近年来，关关于状态态复现时时间（RRecuurreencee Tiime）的的统计研研究表明明混沌系系统的平平均状态态复现时时间遵循循一个幂幂率关系系（poowerr-laaw）5, 并并且

12、这种种关系可可以用于于检测因因参数漂漂移而导导致的非非平稳性性，定位位分叉等等6。状态态复现还还广泛应应用于混混沌时间间序列的的降噪、预预测、及及时频分分析7，并且且能揭示示混沌系系统的时时间拓扑扑关系。下面对蔡氏电路（Chuas Circuit）模拟产生的数据进行复现时间统计。 对于时间序序列，先先用时间间延迟方方法进行行相空间间重构得得到相矢矢量序列列，其中中为时间间延迟， 为嵌入入维数。 然后对对于给定定的参考考相点定定义其近近邻点集集，其中中为近邻邻点集的的半径，并并把这些些近邻点点按下标标升序排排列如下下，其中中为近邻邻点的个个数（如如果所研研究的混混沌系统统具有遍遍历性，那那么参考

13、考相点可可以任意意选取）。这这些近邻邻点为参参考相点点的庞家家莱复现现点（PPoinncarre rrecurrrennce poiint）。定定义第一一类复现现时间为为：，。对于于由连续续时间系系统得到到的时间间序列，小小的延迟迟时间会会导致同同一条近近邻轨道道（复现现轨道）上上有多个个连续的的相点被被作为近近邻点（如如图7）。显显然，同同一个轨轨道上的的近邻点点相互之之间的复复现时间间很短（一一个或数数个），第第一类复复现时间间并不能能很好地地表征系系统相轨轨道的复复现。为为此，可可在每个个近邻轨轨道中仅仅取离参参考相点点最近的的一个相相点组成成第二类类近邻点点集。同同样把第第二类近近邻点

14、按按下标升升序排列列并计算算下标差差值可得得第二类类复现时时间。RR1R0R2图7 近近邻点集集示意图图。R0表示参参考轨道道，R11表示第第一条近近邻轨道道，R22表示第第二条近近邻轨道道，黑点点表示参参考相点点，其他他圆点表表示第一一类近邻邻点，其其中灰点点表示第第二类近近邻点，大大圆环表表示近邻邻点集。Fig 77 Schhemaaticc off reecurrrennce poiint.对于由连续续时间系系统得到到的时间间序列，研研究表明明第一类类复现时时间的均均值遵循循一个幂幂率关系系：，其其中是混混沌系统统的信息息维（iinfoormaatioon ddimeensioon）；第

15、二二类复现现时间的的均值也也遵循幂幂率关系系：5。对由由蔡氏电电路得到到的时间间序列进进行复现现时间统统计分析析得到的的结果如如图8所示（为为方便比比较近邻邻点集半半径与重重构吸引引子大小小，在进进行相空空间重构构之前先先把时间间序列归归一化到到区间0 11）。图图8表明对对于蔡氏氏电路的的时间序序列，很很好地遵遵循幂率率关系（如如A所示示），其其斜率随随参考相相点而变变，这反反映了吸吸引子的的不同部部位的状状态复现现频率不不同。在在半径较较大的区区间（如如所示示）也很很好地遵遵循幂率率关系。当当半径较较小时，第第一类近近邻点集集基本上上也只能能在每个个近邻轨轨道上取取一个近近邻点，即即第一类

16、类近邻点点集和第第二类近近邻点集集基本一一样，故故和在较小的的区间表表现一致致。图8 平平均复现现时间与与近邻点点集半径径之间的的幂率关关系。Fig.88 Thee poowerr-laaw sscallingg off thhe mmeann off reecurrrennce timme vverssus thee raadiuus oof nneigghboorhoood.结束语本文对单涡涡卷蔡氏氏电路的的伪周期期时间序序列输出出进行了了非线性性时间序序列分析析。结果果表明将将序列划划分为单单个Cyyclee，并从从时域和和相空间间中进行行研究其其相关特特性，以以及对状状态复现现时间的的

17、统计能能够更好好的揭示示和刻画画原系统统的混沌沌动力学学特性。参考文献Chua L OO. TThe gennesiis oof CChuaas cirrcuiit J . IInt . JJ . Eleectrron. Coommuun , 19992 , 446 (4) : 2250-2577.Cruz J MM annd CChuaa L O 119933 IEEEE. Trranss . Cirrc SSystt . 40 6144；Corrronn N J aand Hahhs DD W119977 IEEEE. Trranss . Cirrc SSystt . 44 3733.J.

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20、001, 63, 06662002.Sun JJ., Zhaao YY., Nakkamuura T., M. Smmalll, FFromm phhasee sppacee too frrequuenccy ddomaain: a timme-ffrequeencyy annalyysiss foor cchaooticc tiime serriess JJ. subbmitttedd.Nonliineaar TTimee Seriies Anallysiis oof SSinggle-scrrolll Chuaa CirccuittJie ZZhanng, Junn feeng Sunn, Micchaeel SSmalllDeparrtmeent of Eleectrroniic aand Infformmatiion Enggineeeriing, Hoong Konng Pollyteechnnic Uniiverrsitty, Honng KKongg, ChhinaaAbstrractt：Thhe ooutpput timme sseriies froom ssinggle