探索三角形相似的条件-边角边证明相似（二大题型） 分层作业（解析版）-苏科版九年级数学下册

6.4.3探索三角形相似的条件.边角边证明相似

分层练习

基础练

考察题型一边角边证明相似

I.如图，如果N8AT）=NCAE,那么添加条件，能确定AA8C和加圮相似.

少AE=NBAC，

①当添加々=时，可得：A44csAAOE,

②当添加NAED=NC时，可得：,

③当添加——=—时，可得：AABC^AADE.

ABAC

故本题答案为：NB=NE＞或NA£D=NC或&=M.

ABAC

2.如图，已知A、B、C、。四张三角形卡纸的边长都是AB=12.BC=9,C4=6,若按图中标注的数

据沿虚线剪一下，则剪得的小三角形卡纸与原三角形卡纸不相似的是（）

B、-=根据两边成比例，夹角相等，二两三角形相似；

126

74

C.两三角形对应边成比例且夹角相等，，两三角形相似;

912

D、两边不成比例，.•.两三角形不相似.

69

故本题选：D.

3.如图，四边形A8C/）的对角线AC、⑺相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若

OA:OC=OD:OB,则下列结论中一定正确的是（）

A.只有①与③相似B.只有②与④相似

C.①与③相似且②与④相似D.没有相似三角形

【详解】解：在A4OB与&COD中,

1.OA:OC=OD,OI3,ZAOD=ZCOB,

.•.AAOrsXCOB,

・・.①与③相似，故A选项正确，

又•・•①与②，①与④，②与④均不满足相似的判定条件，

.•.8，C,。选项均不正确.

故本题选：A.

4.如图，在四边形中，已知/47X?=NK4C,那么补充下列条件后不能判定A/UX?和AB4c相似的

是（）

A.C4平分ZBCDB.ZDAC=ZABCC.AC2=BCCDD.——=——

ABAC

【详解】解：在AADC和ABAC中，ZADC=ZBAC,

如果AMBMAC，需满足的条件有：

①ND4C=N48C或AC是/BCD的平分线：

②丝二生.

ABAC

故本题选：C.

5.如图，小正方形的边长均为1,则下列选项中的三角形（阴影部分）与AABC相似的是（）

【详解】解：在A44C中，ZACZ?=135°,AC=2,BC=正式=&

在A、C、。选项中的三角形都没有135。，而在8选项中，三角形的钝角为135。，它的两边分别为1和正,

2V2

丁丁‘

B选项中的二角形与AA6C相似.

故本题选：B.

6.如图，BD、CE是AA3C的高，图中与AADE相似的三角形是.

【详解】解：BD、CE是A4AC的高,

ZAD^=ZAEC=90°.

又ZA=ZA,

ADAH

——=——,

AEAC

.AD_AE

~AB~~AC'

又-NA=NA,

.\AA7)E^AABC.

故本题答案为：AABC.

7.如图，把AA8C绕点A旋转得到AADE,当点。刚好落在8c上时，连接CK,设AC、DE相交于点F,

则图中不全等的相似三角形共有对.

•把MBC绕点4旋转得到MDE,

\AABC=^ADE,Z2=Z1,

/.Z3=Z4,

AAFE^^DFC：

:.AF:DF=EF:FC,

而ZAFE)=Z£FC，

•把AABC绕点A旋转得到MDE,

:&AC=NDAE，AB=AD，AC=AE,

.\Z3=Z5,

:.AABD^^AEC

综上，图中不全等的相似三角形共有3对.

故本题答案为：3.

8.如图，在A4BC中，AB=AC=\,8C=或二L在AC边上截取AO=8C,连接E).

2

(1)通过计算，判断AO?与AC・C£)的大小关系;

(2)求证：MBCs^BDC.

.1

【详解】（1）解：AD2=AC.CD,理由如下:

Js-I

..AB=AC=1,AD=BC=——，

2

:.CD=AC-AD=l-^^-,

22

An2/6-1\23-石rr3-亚

222

/.AD2=AC.CD；

（2）由（1）知：AD2=AC.CD：

AD=BC,

BC2=AC.CD，

BCCD

-**----=-----9

ACBC

乂zc=zc,

.•.MBCSABDC.

9.如图，在AABC中，点。、石分别在边AB、4c上，ZAED=ZB,AG分别交线段£>£>、BC于点尸、

G,且4):AC=OF:CC.求证：

(1)AG平分NE4C；

(2)EF・CG=DF・BG.

【详解】解：（1）ZmE+ZAED+ZA£>^=180°,

ZMC+Zfi+ZC=180°,

NAED=4B,

...ZADE=NC，

在丛D尸和A4CG"i,

AD:AC=DF:CG

ZADE=NC

•MDFsgCG、

•.ZDAF=ZCAG,

\AG平分NB4C；

（2）在AA所和AABG中,

ZAED=4B

NEAF=NBAG

.•.MfFsMfiG，

.EF_AF

~BG~~AG'

在MDF和MGC中,

ZDAF=ZCAG

«ZADF=ZC

,DF_AF

"~CG~~^G'

EF_DF

~BG~CG'

:.EF・CG=DF・BG.

10.如图，O为线段所上一点，以。为圆心，Q4长为半径的二。交尸4于点A,点。在匚。上，连接PC,

满足PC?=PA08.

(1)求证：PC是。的切线；

(2)若A3=3P4,求生的值.

BC

O3

【详解】（1）证明：如图，连接OC,

PAPC

•.-----=------,

PCPB

:NACs.CB，

:.NPCA=/B,

•.ZA6=9()c,

/.ZC4B+ZB=90o,

•.OA=OC,

：.ZCAB=ZOCA,

.•.ZPC4+NOC4=90°,

:.OC1PC^

」.PC是；O的切线：

(2)解：,AB=3PA.

.•.户8=4%,OA=OC=\.5PA,PO=2.5PA,

・.OCrPC.

,PC=>JPO2-OC2=2PA,

理ACs"CB,

.ACPC2PA\

BC-7i_4E4-2•

考察题型二分类讨论思想在相似中的应用

1.如图，NA=NA=90。，AB=7,BC=3,4）=2,在边/W上取点P,使得AW）与APAC相似，则

满足条件的AP长为.

①若则竺=女

BPBC

―—=—,解得：AP=2.8；

7-AP3

②若。3MCP,贝嘿嚼

—,解得：AP=1或6；

31-AP

综上，满足条件的”长为2.8或1或6.

故本题答案为：2.8或1或6.

2.如图，在矩形A4CD中，P是4）上的动点，连接8P,CP,若4）上存在三个不同位置的点P,使A48P

【详解】解：①当点P是AD的中点时，则AP=PD,

AP_AB

~PD~CD'

又\ZA=ZD=90°,

.•.MB-ADCP；

②当点?不是4）的中点时，

4PAR

若——=——，ZA=Z£>=90°,则AABMADPC,

CDPD

.AP_AB

~CD~AD-AP'

/.AB2-BCAP+AP2=0

40上存在三个不同位置的点P,

△>0»

BC2-4AB2>0,

4B1

/.0<<一»

BC2

o<d<L

2

故本题答案为：0<dv」.

2

3.如图，矩形A4C/)中，4A=4,8C=〃I(〃2>2),点E在/V)边上，DE=],过点E作斯//八4交4c于

点尸.若线段£F上存在3个不同的点?，使得AEDP与AB尸产相似，则〃?的取值范围为.

【详解】解：①当血~"7为时，则匕=上二,

PFBF

14-PF

PFm-1

54m-4

PF=-----，

ni

>.m>2>

二存在皮P时，^EDP^^FPB：

r)pPF

②当MWs"!沪时，则匕1=上，

PFBF

.14-PF

"'PF~m-\

/.PF2-4PF+/H-1=0,

•要有两个点P使,

二.£=16-4(/zz-l)>0,

/.fa<5;

,老PF=PB,即4〃?4=小_],解得：〃?=4时，

m

线段£F上存在2个不同的点P，使A£DP与/相似,

.•.当2〈m<5且"?/4时，线段所卜.存在3个不同的点尸，使得△£以与相似.

故本题答案为:2</"<5"Z工4.

4.如图，在AA3C中，4=90°，AB=6cm,BC=\2crn,动点P从点A开始沿着边AB向点3以kv〃/5

的速度移动，动点Q从点8开始沿着边8c向点。以2o〃/s的速度移动.若尸、Q两点同时开始运动，当

点?运动到点8时停止，点Q也随之停止.设运动时间为/").

(1)当移动几秒时，APQ8的面积为9°病？

(2)当移动几秒时，以B、P、。为顶点的三角形与AABC相似?

【详解】解：(1)设运动时间为1s(Q,f<6),则尸B=(6T)cm,BQ=2tcm,

由题意可得：S=-PBBQ=-(6-t)2t=9,解得：f=3，

SBPQ22

故当移动3s时，ABPQ的面积为9cm1；

(2)可分以下两种情况讨论：

①当AfiPQsMAC时，丝=丝，即匕=二，解得/=3；

ABBC612

②当MPQSABCA时，色1=丝，即仁=二，解得7=9；

BC1265

综上，当移动力或时，以6、尸、Q为顶点的三角形与相似.

5.如图，在A4BC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发，沿便以4<7〃/s的速度向点4运

动，同时点Q从点C出发，沿。以3c5/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运

动，设运动时间为xs.

(1)当PQ//8c时，求工的值.

(2)AAPQ与ACQ8能否相似？若能，求出心的长；若不能，请说明理由.

AP=4x,AQ=30-3x,

4x_30-3x10

，解得:x=一

20-303

（2）能，理由如下:

①当时，”二丝，

CQBC

即把=迎二色，解得：x=—,

3x209

40

AP=Ax=——（cm）,

9

②当A4P-AC3。时，/二黑，

即虫=丝二解得：1=5或/=一10（舍去），

203%

.\PA=4x=20(cm),

40

综匕当=或2(七〃时，A4PQ与ACQB相似.

提升练

1.如图，在正方形A3CD中，E是8c的中点，尸是CD上一点，且b:CD=l:4,给出下列结论：①

MBEs^ECF；②AAAEs."'；③A£_LEF；©AADF^>A£CF,其中正确结论的个数为（）

【详解】解：.•四边形A48为正方形，

.\AB=BC=CD=DA^ZB=ZC=ZD=90°,

•E为BC中点,CF:CD=l:4,

ABBE.

/.——=——=2,

CECF

又.ZB=ZC,

:.AAREs盘;CF,结论①正确:

MBEs.CF,

：.ZBAE=ZFEC,

ZE4E+ZA£B=90°，

.\ZAEB+ZFEC=90°

ZAEF=^T,即AE_LEP,故结论③正确:

MBEs^ECF,

AEABBCr

二--=---=---=2，

EFECEC

ABBCc

•—=—=2，

BEBE

ABAEr

——=——=2,

BEEF

又ZABE=ZAEF=90°,

:.AABE^MEF,结论②正确;

ADcDF4

CECF

ADDF

\------*-------9

CECF

.••△4。尸和AEG户不相似，结论④不正确;

综上，正确的结论为：①©③，共计3个.

故本题选：C.

2.如图，点A在线段8。上，在班＞的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,8与BE、AE

分别交于点夕，M,对于下列结论：©^BAE^SCAD；②)A4PMD—MA-ME,③2cB2-CPCW.®

C.3个D.4个

【详解】解：由题意可知：AC=®B,AD=®AE,

ACAD

ABAE

ZBAC=ZEAD,

:.ABAE=ZCAD,

..MiAE^CAD,.,.①正确;

^BAE^CAD,

.\ZBEA=ZCDA,

Z.PME=ZAMD,

/\PMEs/sAMD,

MPME

:.MPMD=MAME,.•.②正确;

由②MPMD=M4ME，

乙PMA=4DME,

:ZMA^EMD,

:.ZAPD=ZAED=90°,

\Z.CAE=180°-Z^4C-ZE4D=90°，

ACMA，

?.AC2=CPCM,

•.AC=6BC，

:.2CB2=CPCM,.•.③正确；

ABAE^CAD，

：.ZABE=ZACD^

：.ZBPC=ZBAC=45°,④正确.

故本题选：D.

3.如图，线段A£?为［O的直径，点C在/W的延长线上，AB=4,BC=2,点P是QO上一动点,连接CP,

以CQ为斜边在PC的上方作RtAPCD,且使N/X尸=60。，连接OD,则。/）长的最大值为.

AOC

【详解】解：如图，作△(%)£,使得NC£O=90°,ZECO=60°,

则CO=2C£,OE=2>j3,NOCP=NECD,

,/8P=90°,ZDCP=60°,

CP=2CD,

COCPc

--==2，

CECD

ACOP^ACED，

—=—=2,^ED=-OP=\(定长)，

EDCD2

点七是定点，。石是定长，

点。在半径为1的OE上,

OD,,OE+DE=2>/3+\,

.♦.8的最大值为26+1.

故本题答案为26+1.

4.如图，在平面直角坐标系K。)，中，四边形OABC是矩形，其中点A、C分别在x轴、)，轴上，3(4,2).P

是工轴负半轴上一点，QF=OC,过点产的直线/分别与y轴、边BC交于点D、点E,连接AE.当APOD

与相似时，求CE的长.

C-------------|B

~p~OAx

【详解】解：①如图，当7P时，4EB=QPO，

•BC//AP、

：.ZEAP=ZAEB,

；.AEPA=AEAP^

:.EP=EA,

.,.点E的横坐标为1,

CE=1：

ABAE=4EPA，Z^4E+NE4P=90o,

.•."%+NEAP=90°，

.•.N4EP=90°,

EH±AP,

:.NEHP=4EHA=，yK

ZPEH+ZEPH=90°,NPEH-ZAEH=好,

:"PH=ZAEH,

/\PHE^^EHA,

:.EH?=PHAH,

设A〃=x,则P〃=6-x,

A（6-x）=4,

/.A2-6x+4=0.

.•.x=3—6或3+石（舍去），

CE=\/5+1；

综上，满足条件的CE的值为1或6+1.

5.如图，已知4/ON=90c，A是乙WON内部的一点，过点A作A6_LON,垂足为点3,A/3=3厘米，。/3=4

厘米，动点E,/同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿O/V方向运动，点/以2厘米/秒的速度

沿0M方向运动，EF与04交于点C,连接A£,当点石到达点8时•，点尸随之停止运动.设运动时间为

，秒（f>0）.

（1）当，=1秒时，AEC尸与AA及9是否相似？请说明理由；

（2）在运动过程中，不论f取何值时，总有所J_Q4.为什么？

（3）连接AF,在运动过程中，是否存在某一时刻小使得氏仔=3%边切£”？若存在，请求出此时/的值；

若不存在，请说明理由.

V

【详解】解：（1）AEO尸s2460，理由如F：

1=1，

.•.0万=1.5厘米，。斤=2厘米，

A3-3即:米，08=4座米,

OEOF_\

・.=-，=-，

AB2BO2

.OEOF

~AB=~BO'

">=N/WE=90°,

（2）理由如下:

在运动过程中，OE=L5f厘米，。尸=2/厘米,

AB=3厘米，。8=4厘米，

OEtOFt

•:----=—，-----=—，

AB2402

.OEOF

又・NEOF=ZABO=90。,

/.RtAEOF0°RtAABO,

:.ZAOB=ZEFO,

•ZAOB+ZFOC=90°.

:"EFO+ZFOC=90°，即AFCO=90°,

:.EFLOA；

（3）如图，连接AF,

:.BE=4-\.5t（厘米），

SM8E=；x（4-L5f）x3=6-（厘米2）,

•.S^=-OEOF=-x\.5tx2t=-t2（厘米2），

"O小E222

Sw=g（2，+3）x4=4/+6（厘米2）

,1'5A但•=2S「|边形,

.•.4r+6-（6--r）--/2=-t2,解得：t=0（舍去）或/=交，

42212

251

彳'二五时，乂3=2S四边形ABOF,

6.如图，在平面直角坐标系xQy中，点A,点3在x轴上（点A在点8的左侧），且点A、B的横坐标是

方程丁+2l-3=0的解，点C（0,3〃?）为），轴正半轴上一动点，连接A