学年广东省华南师范大学附属中学上学期高二年级期末数学试题

1、2022-2022 学年广东省华南师范高校附属中学上学期高二年 级期末数学试题一、单项题1如集合A2xR3x20,BxR x2x2x30,就 AIB（）A xR x13BR1x23CxRxxR x3D3【答案】 D 【解析】 先求出集合 A ,B,然后进行交集的运算即可【详解】AxR x2,B=x R|x 1,或 x3 ；3 AB=x R|x 3 应选 D【点睛】此题考查描述法表示集合的概念,一元二次不等式的解法,以及交集及其运算2如复数z1i,就 z =1C iDi1iA 1B【答案】 C 【解析】 由已知z1i1i2 ii,就 z = i.应选 C. D31i1i13 sin300= （

2、）B1C3 2A 1 222【答案】 D 【解析】 试题分析：sin 300sin360o 60 sino 60 sin 60o3. 2【考点】 运用诱导公式求值点评： 此题考查利用诱导公式进行化简求值,把要求的式子化为-sin60 ,是解题的关键4圆 C： x2 y25 在点（ 1,2）处的切线方程为 A x2y50 B 2xy 50 C2xy-50 Dx2y-50【答案】 D 【解析】 依据结论圆x2y25,在点x 0,y 0处的切线方程为xx 0yy 05,将点（1,2）代入切线方程得到x2y-50故答案为 D5下面四个条件中,使ab成立的充分而不必要的条件是Da33 bA ab1Bab

3、1Ca22 b【答案】 A 【解析】 试题分析：由均无法得出,但无法得出,A 满意；由、,不满意 “充分 ”；由,不满意“ 不必要 ” .【考点】 不等式性质、充分必要性. ）6函数fx2sin6x3的最小正周期是（A 6 B 6C 12D 12【答案】 C 【解析】 利用正弦型函数的最小正周期公式直接求解即可 . 【详解】函数fx2sin6x3的最小正周期T212. 6应选： C 【点睛】此题考查了正弦型函数的最小正周期公式,属于基础题. （）7执行如下列图的程序框图,如输出的结果为63,就判定框中应填入的条件为A i4Bi5Ci6Di7【答案】 B 【解析】 模拟执行程序框图,依次写出每次

4、循环得到的,i S 的值, 当输出的S63时,退出循环,对应的条件为i5,从而得到结果. 【详解】当S =1,i1时,不满意输出条件,故进行循环,执行循环体；i5,当S11 23,i2,不满意输出条件,故进行循环,执行循环体；当S32 27,i3,不满意输出条件,故进行循环,执行循环体；当S73 215,i4,不满意输出条件,故进行循环,执行循环体；当S152431,i5,不满意输出条件,故进行循环,执行循环体；当S313263,i6,满意输出条件,故判定框中应填入的条件为应选 B. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题,依据题意写出判定框中需要填入的条件,属于简洁题目 . 8已知互不重合的

5、直线a , b ,互不重合的平面,给出以下四个命题,错误的命题是（）,Ib,就a/ / bA 如a/ /,a/ /B如, a,br,就 ar bC如,Ia,就 aD如/ /,a/ /,就a/ /【答案】D 【解析】 A：依据线面平行的性质定理进行判定即可；B：利用平面法向量和面面垂直的性质进行判定即可；C：利用线面垂直的判定定理进行判定即可；D：依据线面关系进行判定即可 . 【详解】A ：过 a 作一平面,与,都相交,设d,c ,如下图所示：就有a/ / , c a/ /da/ /c/ /d ,又 d,所以c/ /,Ib,所以c/ /b ,因此有a/ /b ,故本命题是真命题；的法向量,而r,

6、所以 ar b,B：由于 a,br,所以向量 ar,b是平面,r r即 a b,故本命题是真命题；C：设 I b , I c,在平面a 内任意一点O,作 b b c c ,如下图所示：由面面垂直的性质定理可知：b , c ,由于 I a,所以有 b a c a , 又由于 b I c O b c,所以 a,故本命题是真命题；D：由于 / /,a / /,所以 a / / 或a,故本命题是假命题 . 应选： D 【点睛】此题考查了线面平行的判定定理和性质定理,）考查了面面垂直的性质理,考查了线面垂直的判定定理,考查了面面平行的性质. 9函数yxxsinx的图象大致为（eexBA CD【答案】 B

7、 【解析】 第一判定函数奇偶性,然后证明当x0时,xsinx0恒成立,进而可得出答案 . 【详解】解：由于yf xxsinx,所以fxxsinexxxsinx,xsinxeexexx eexyxsinx为奇函数,排除C；得f x fx ,所以x eex ,g x 设g x xsinx ,g 1cosx0恒成立, 所以在0,单调递增,所以g x 0sin 00,故yxxsinx0在 0, 上恒成立,排除AD,eex应选： B. 【点睛】此题考查详细函数图像的判定,关键是要充分利用函数的性质进行排除,是中档题 . 10已知平行六面体 ABCD A B C D 中,以顶点 A为端点的三条棱长都等于

8、1,且两两夹角都是 60,就对角线 AC 的长是（）A 2 B3 C6 D6【答案】 C 【解析】 利用空间向量加法的几何意义,结合空间向量数量积的定义,直接求解即可 . 【详解】Quuuur AC 12uuur ABuuur BCuuuur CC 1,2uuur 2ABuuur 2BCuuuur CC 122uuur uuur AB BCuuur uuuur 2 BC CC 1uuur uuuur 2 AB CC 1uuur ABuuur BCuuuur AC 1uuuur CC 1因此有：uuuur AC 121 112uuur ABuuur BCcos602uuur BCuuuur CC

9、 1cos602uuur ABuuuur CC 1cos606,所以AC 的长6. 应选： C 【点睛】此题考查了空间向量数量积的应用,考查了空间向量中加法的几何意义,考查了数学运算才能. 11如函数fxx 32 axa 在 0,1 内无极值,就实数a 的取值范畴是（）A 0,3B,0C3 , 22D,03,2【答案】 D 2【解析】 由函数的解析式可得：f x 3 x 2 a ,3函数 f x x 2 ax a 在 0,1 内无极值,就 f x 0 在区间 0,1 内没有实数根,当 a 0 时,f x 0 恒成立,函数 f x 无极值,满意题意,当 a 0 时,由 f x 0 可得 x 2

10、a,故：2 a1,解得：a 3,3 3 2综上可得：实数 a 的取值范畴是 ,0 3, . 2此题挑选 D 选项 . 12已知两定点A1,0和B1,0,动点P x y 在直线l:y）x3上移动,椭圆C以A B 为焦点且经过点P ,就椭圆 C 的离心率的最大值为（A 5B1055C2 5 5D2 10 5【答案】 A 【解析】 试题分析：A 1,0 关于直线 l : y x 3 的对称点为 A 3,2,连接 A B 交直线 l 于点 P ,就椭圆 C 的长轴长的最小值为 A B 2 5,所以椭圆 C 的离心率的最大值为 c 1 5,应选 A. a 5 5【考点】 1、椭圆的离心率；2、点关于直线

11、的对称 . 二、填空题13设向量r a2, 2m3,n2,r b4, 2m1,3n2,且r a/ /r br r,就 a b的值为_【答案】 168 【解析】 依据向量r a/ /r b,设r a=r b,列出方程组,求得1 2,得到. r a2, 4,8,r b4,8,16,再利用向量的数量积的运算公式,即可求解【详解】由题意,向量r a/ /r b,设r a=r b,1,3n2,又由于r a2, 2 m3,n2,r b4, 2m所以 2,2m3,n24,2m1,3n2,6,即2m2342m1,解得1,m7,n222n3 n2所以r a2, 4,8,r b4,8,16,所以r r a b24

12、4 88 16168. 故答案为： 168 . 【点睛】此题主要考查了向量的共线的坐标运算,以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的共线条件, 娴熟应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算才能,属于基础题 . 14已知数列a n满意a 11,a n0,a n1a n1,那么a n32成立的n 的最大值为_【答案】 5 【解析】由a n1a n1,得an成等差数列, 求出a n,然后求出a ,解a n32得出答案 . 【详解】解：由于a n1a n1,a 11,公差 d1全部an成等差数列,且首项所以a nn,a nn25 232,得 n4 2解a nn所以an32成

13、立的n 的最大值为故答案为： 5 【点睛】此题考查了等差数列的判定与通项公式,属于基础题4. 15动点 P 到点A0,2的距离比到直线l:y的距离小 2,就点 P 的轨迹方程为_.【答案】x 28 y【解析】 依据已知结合抛物线的定义直接求解即可 . 【详解】由于动点 P 到点 A 0,2 的距离比到直线 l : y 4 的距离小 2,所以动点 P 到点 A 0,2 的距离等于它到到直线 l : y 2 的距离,由抛物线定义可知：动点 P 是以 A 0,2 为焦点,直线 y 2 为准线的抛物线,方程为：x 28 y . 故答案为：x 28 y【点睛】此题考查了抛物线的定义,属于基础题 . 16

14、设函数 y f x 在 , 内有定义 .对于给定的正数 K,定义函数fKxxf,x,fxxK,取函数fx2xex.如对任意的x,KffKKfx ,就 K 的最小值为 _.恒有【答案】 1 【解析】 依据题意,利用导数求出函数fx2xex的最大值即可 . 【详解】fx2xexfx1ex,当x0时,fx0,函数单调递减,1,当xyfx 的最大值为：f00时,fx0,函数单调递减,所以函数即fx 1,要想恒有Kfxfx ,只需K1,所以 K 的最小值为1. 故答案为： 1 【点睛】此题考查了数学阅读才能,考查了利用导求函数最大值问题,考查了数学运算才能 . 三、解答题17用数学归纳法证明2 1222

15、 3n2n n162 n1nN*.【答案】 见解析【解析】 依据数学归纳法证明的步骤进行证明即可 . 【详解】证明： 当n1时,左边211,右边1112 1k111,等式成立；6 假 设 当nk kN*时等式成立,N*. 11222k3k2k k12k1k即2 12232612k那么,2 1222 3k2k12k k6kk16k12k12k2k k1 2k7 k6k1k666112k11kN*6即当nk1时等式也成立 . *都成立 . 由 知,等式对任何nN【点睛】此题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题,属于基础题. 118已知函数f x sinx6sinx6cosxa 的最大值为（ 1）

16、求常数a的值；（2）求使f 0成立的 x 的取值集合【答案】（ 1）a1,（2）x| 2 kx2k2,kZ3【解析】 试题分析：（1）f x sinxcos6cos sin6sinxcos6cosxsin6cosxa3sinxcosxa2sinx6a610,sinx61 2,f x max2a1, a1（ 2）f x 2sinx61, 2sinx2 k6x62k5,kZ ,解得x2k2,k2kZ ,63 使f x 0成立的 x 的取值集合为x| 2kx2 k2,kZ3【考点】 此题考查了三角函数的变换及三角不等式的解法点评：,对三角函数性质和图象的综合考查主要表达为一个题目中考查三角函数的多种

17、性质及图象的变换、作法等.在其详细的解题过程中,一般都需要先将三角函数的解析式转化为只含有一种函数、一个角 x 的形式,再依据题目详细的要求进行求解. 19等差数列 a n 的前n 项和为 S n,a 1 1 2,S 3 9 3 2（）求数列 a n 的通项 a 与前 n 项和 S ；（） 设 b n S n n N ,求证：数列 b n 中任意不同的三项都不行能成为等比数列n【答案】（）a n 2 n 1 2,S n n n 2；（）见解析 . 【解析】【详解】（ ）由已知得a 121,3 2,d2,b q 2b b p r3a 13d9故a n2 n12,S nn n2（ ）由（ ）得b

18、nS nn2n假设数列nb中存在三项bp,b q,br（ p, , 互不相等） 成等比数列, 就即q22p2r2q2pr2qpr 20Qp, ,rN,q2prr0,p2r2pr,pr20,pr2 qp0,CD ,且与 pr 冲突所以数列nb中任意不同的三项都不行能成等比数列20如图,在四棱锥PABCD 中, PA平面 ABCD ,AD/ /BC , ADADCD2 2,BC4 2,PA4.（ 1）求证： ABPC ；（ 2）在线段 PD 上,是否存在一点 M ,使得二面角 M AC D 的大小为 45 o ,假如存在 ,求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值；假如不存在 ,请说明理由 .【答

19、案】（ 1）见解析（ 2）在线段 PD 上,存在一点 M ,使得二面角 M AC D 的大小为 45 o ,且 BM 与平面 MAC 所成角正弦值为 12【解析】（1）利用勾股定理得出 AB AC ,由 PA 平面 ABCD ,得出 AB PA,利用直线与平面垂直的判定定理证明 AB 平面 PAC ,于此得出 AB PC ；uuuur uuur（ 2）设 PM PD,以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系,求出平面 ACM 的法向量 m ur,由 cos m AP v uuuv 5 解出 的值,得出 BM uuuur 的坐标, 就cos uuuv uuuuvAB BM 即为 BM5与平面 PA

20、C 所成角的正弦值 . 【详解】（ 1）AD CD 2 2,BC 4 2,AB AC 4, AB AC PA 平面 ABCD , AB PA , AB 平面 PAC , PC 平面 PAC , AB PC ；（ 2）以 A为原点,以过 A平行于CD的直线为 x 轴,AD AP 所在直线分别为 y 轴、z轴,建立空间直角坐标系 O xyz ,就 A 0,0,0,P 0,0,4,B 2 2, 2 2,0,uuuur uuurD 0,2 2,0,C 2 2, 2 2,0,设 PM PD, 0 1,M 0,2 2 , 4 4 ,uuuuv uuuvAM 0, 2 2 ,4 4 ,AC 2 2, 2 2

21、,0设平面 MAC 的法向量 m ur x y z 1 ,就 m AMm AC rr uuuuvuuuv0 0,即 22 22 x 1 y 12 2 4y 1 4 0 z 1 0就 mr 1, 1, 2,又平面 ACD 的法向量为 uuurAP 0,0,4,2 2cos uuuv rAP m uuuvAP uuuv rAP mm r4 2 2 4 222 2 cos452 2解得：= 23或 =2 （舍）,M 0, 4 2 43 ,3,uuuuvBM 2 2, 103 2 4,3平面 MAC 的法向量为 mr 1, 1, 2,设 BM 与平面 MAC 所成角为,就sin cos uuuuv r

22、 BM m uuuuvBM uuuuv rBM mm r2 4 212 2 12 . 3【点睛】此题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的动点问题以及直线与平面所成角的运算,解题时要建立合适的坐标系,利用空间向量法来运算,另外就是对于动点的处理,要引入合适的参数表示动向量的坐标,考查规律推理才能与运算才能,属于中等题21已知椭圆 M ：x2y21 ab0的左、右焦点分别为F ,F ,过F 且垂直a2b2于 x 轴的焦点弦的弦长为2 2,过F 的直线 l 交椭圆 M 于 G , H 两点,且GHF 的周长为 8 2 .（1）求椭圆 M 的方程；（ 2）已知直线1l ,2l 相互垂直,直线1l 过F

23、 且与椭圆 M 交于点 A , B 两点,直线2l 过11的值 .F 且与椭圆 M 交于 C , D 两点 .求ABCD【答案】（ 1）x2y21（2）113 2ABCD84,842 2,由通径确定2 b22 2,求得b2【解析】 分析：（1）依据周长确定aa因而确定椭圆的方程（ 2）分析得直线 AB、直线CD的斜率存在时,依据过焦点可设出 AB 直线方程为y k x 2,因而直线 CD 的方程为 y 1x 2 .联立椭圆方程消去 y,得到关于k2 2 2 2x 的一元二次方程 2 k 1 x 8 k x 8 k 8 0 .由韦达定理求得AB 42 2k 2 k 21 1 和 CD 4 2k

24、2 k 22 1,进而AB 1CD 1 3 28 . 1 1 3 2当 AB 斜率不存在时, 求得 AB 2 2,CD 4 2,所以AB CD 8当直线 AB 的斜率为 0 时,求得 AB 4 2,CD 2 2,所以1 1 3 2AB CD 81 1 3 2即可判定AB CD 82 2 2 2详解：（1）将 x c 代入 x2 y2 1,得 y b,所以 2 b2 2 . a b a a由于 GHF 的周长为 8 2 ,所以 4 a 8 2,a 2 2,2将 a 2 2 代入 2 b2 2,可得 b 24,a2 2所以椭圆 M 的方程为 x y 1 . 8 4（ 2）（i）当直线 AB 、直线 CD 的斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为yk x2,就直线 CD 的方程为y1x2. 3 2. kyk x2由2 x2 y1消去y得2k21x282 k x8 k280. 84由韦达定理得x 1x 228k21,x x28 k28