爱尖子初二数学竞赛专属课2017秋季讲义第10讲几何训练

1、联赛几何训练 2第十讲例1.如图，平行直线l1,l2 间的距离等于正方形 ABCD 的边长，并且与正方形的周界相交于 E、F、G、H，证明：EG 与 FH 的夹角为45 FRE解答：设 EG, FH 交于 O，过 O 作正方形边的平行线 PQ, RS ，分别交正方形边于 P,Q 和 R, S ，再过 O 作 EF 的垂线，分别交 EF,GH 于 X ,Y ，因为 PO XO RO ，且 PO OQ XO OY RO OS ，OQOYOS故 PO XO RO ，故EOF 45 PQGSH例2.在ABC 中， AB AC 任意延长CA 到 P，延长 AB 到 Q，使 AP BQ 求证：ABC 的外

2、心 O 与 A、P、Q 四点共圆PA解答：OAPOBQ（SAS），故OQA OPA ，所以O,Q, P,Q 共圆OBCQ例3.如图，P 与Q 相交于 M、N 两点，以 M 为圆心的第三个圆交DP 于 A、B，交Q 于 C、D，求证： AND BNC MAC解答：M 为弧 AB 的中点，ANM=BNMM 为弧 CD 的中点，DNM=CNMBQPN以上两式相加即证XOYA例4.如图，在ABC 中，AD 为角平分线，M、N 分别是 AB、AC 的中点已知MDN 1 B C 求证： BC 1 AB AC 22MN解答：设三角形 AMN 内心为 I，则 I,M,N,D 四点共圆，BMD=MAD+MDA=

3、MAD+MNI= 1 A C ，BDC21 BMD 90 B ，BM=BD；同理CN CD 2例5.ABC 中， AB AC BC ，D 点在 BC 上，E 点在 BA 的延长线上，且 BD BE AC ，BDE 的外接圆与 ABC 的外接圆交于 F 点（如图）求证： BF AF CF B解答：FAEFCD，故 AF CD CF AE ，D定理得 BF AC AF BC CF AB ，四边形 ABFC 中，由AC故 BF AC AF BD AF CD CF BE CF AE AF BD CF BE AF CF AC ，故结论成立EF例6.分别以锐角ABC 的边 AB、BC、CA 为斜边向外作等

4、腰直角DAB、EBC、FAC求证：（1） AE DF ；（2） AE DF AFD解答：设 AC 中点为 X，则DXE 为等腰直角三角形，故由双等腰直角旋转全等模型，AXEFXD（SAS），故 AE DF ， AE DF BCE在ABC 中，C 30，O 为外心，I 为内心，D、E 分别是边 AC、BC 边上的点，使得 AD BE AB 求证： OI DE ，例7.AOI DE DOI解答：连结 BI 并延长，交圆于 F，连结 AE、OF，AE 交 BF 于 H考虑FIO 与AED，OF r AO，AF 2AH AE， AEBF、OFAC 导致A=F，故全等，对应边垂直BEC例8.如图，过圆O

5、 外一点 A 引圆的割线 ACD ，与点 A 所对应的切点弦 PQ 交于点 B 证明：弦CD 被点 A, B 调和分割，即 CB CA BDADA_C_解答：连 AO ，交 PQ 于 L ， AQ2 AC AD AL AO ， LODC 共圆，ALC CDO OCD OLD ，故CLB DLB ，LB 平分CLD ，又 AL LB ，故 LA 为外角平分线_B_PQO_D_平面直角坐标系中，已知 A1,0, B4,0 在 x 轴上求点 P ，使得 BP 2 ；在平面直角坐标系中找出所有满足 2 的点 P ，证明：P 在以原点为圆心半径为 2 的圆上AP例9.APBP：（1） P1( 2, 0) P2 (2, 0) ；（2）设动点 P(x, y) ，利用距离公式列出方程： (x4)2y22 (x1)2y2，化简得 x2y24 ，故动点 P 的轨迹就是以原点为圆心，半径为 2 的圆例10. 在三角形 ABC 中， AB 9 ， BC : CA 40 : 41求这个三角形的面积最大值解答：把 AB