北师大版数学九年级下册知识点总结例题(不错)文档

1、北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章直角三角形的边角关系1正切：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即tanAA的对边;A的邻边tanA是一个完满的符号，它表示A的正切，常省去角的符号“”；tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；tanA不表示“tan乘”以“A”；tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。例在RtABC中，若是各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A.扩大2倍B.减小2倍C.扩大4倍D.没有变化正弦：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即A

2、的对边sinA;斜边例在ABC中，若C90，sinA1，AB2，则ABC的周长为2余弦：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即A的邻边cosA;斜边例等腰三角形的底角为30，底边长为23，则腰长为（）A4B23C2D22一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。30o45o60osin123222cos321222tan3133例ABC中，A，B均为锐角，且有|tanB3|（2sinA20，则ABC3）是（）A直角（不等腰）三角形B等腰直角三角形C等腰（不等边）三角形D等边三角形当从低处察看高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处察看低处的目标

3、时，视线与水平线所成的锐角称为俯角在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：AB=90；(3)边与角之间的关系：sinAa,cosAb,tanAa,ccbsinBb,cosBa,tanBb,cca(4)面积公式:S1ab1chc(hc为C边上的高);2例在ABC中，C90，以下式子必然能成立的是（）AacsinBBabcosBCcatanBDabtanA解直角三角形的几种基本种类

4、列表以下：例ABC中，C=90，AC=25，A的角均分线交BC于D，且AD=415，3则tanA的值为A、815B、3C、3D、1533例已知，四边形ABCD中，ABC=ADB=900，AB=5，AD=3，BC=23，求四边形ABCD的面积S四边形ABCD.9.如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角或叫做坡比。用字母i表示，即()ihtanAl例一人乘雪橇沿坡度为1:3的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S10t2t2,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为A、72米B、36米C、363米D、183米10.从某点的正北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方向角。如图3，OA、O

5、B、OC的方向角分别为45、135、225。正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。Bi=h:lhClA图4图3图2第二章二次函数二次函数的看法：形如yax2bxc(a,b,c是常数，a0)的函数，叫做。x的二次函数（1）自变量的取值范围是全体实数。（2）yax2(a0)是二次函数的特例，此常常数b=c=0.（3）在写二次函数的关系式时，必然要搜寻两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。2.二次函数yax2的图象是一条极点在原点且关于

6、y轴对称的抛物线。描述抛物线常从张口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。函数的定义域是全体实数；抛物线的极点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。当a0时，抛物线张口向上，并且向上方无量伸展。当a0时，抛物线张口向下，并且向下方无量伸展。函数的增减性：0时,y随x增大而减小;A、当a0时0时,y随x增大而增大.0时,y随x增大而增大;B、当a0时0时,y随x增大而减小.当a越大，抛物线张口越小；当a越小，抛物线的张口越大。最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是03.二次函数ya

7、x2c的图象是一条极点在y轴上且关于y轴对称的抛物线二次函数yax2c的图象中，a的符号决定抛物线的张口方向，|a|决定抛物线的张口程度大小，c决定抛物线的极点地址，即抛物线地址的高低。4.二次函数yax2bxc的图象是以xb为对称轴，极点在（b，2a2a4acb24a）的抛物线。（张口方向和大小由a来决定）5.二次函数yax2bxc的图象与yax2的图象的关系：ax2bxc的图象能够由yax2的图象平移获取，其步骤以下：将yax2bxc配方成ya(xh)2k的形式；（其中h=b，2ak=4acb2）；4a把抛物线yax2向右（h0）或向左（h0）或向下（k0，则当xb2a时，y随x的增大而减

8、小；时，y随x的增大而增大。若a0，则当xb2a时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小。最值：若a0，则当x=b时，y最小4acb2；2a4a若a0抛物线与x轴有2个交点；b24ac=0抛物线与x轴有1个交点；b24ac0抛物线与x轴有0个交点（无交点）；例已知二次函数，且，则必然有（）A.B.C.D.0例已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是_.例已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_.第三章圆圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记

9、作O，读作“圆O”会集性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的会集。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心确定圆的地址，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件独一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。点与圆的地址关系及其数量特点：若是圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆上d=r;点在圆内dr;点在圆外dr.例若A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P的地址为（）A、在A内B、在A上C、在A外D、不能够确定规若O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a，最小距离为b（ab），则此圆的

10、半径为（）AabBabCab或abDab或ab2222圆的对称性:（1）与圆相关的看法：弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了差异优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心同样，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完满重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在

11、同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：极点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。3）垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，并且均分弦所对的两条弧。推论：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且均分弦所对的两条弧。说明：依照垂径定理与推论可知关于一个圆和一条直线来说，若是具备：过圆心；垂直于弦；均分弦；均分弦所对的优弧；均分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。4）定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,若是两个圆心角

12、、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其他各组量都分别相等.例两个同心圆的半径分别为3cm和4cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_cm.例已知O的半径为2cm,弦AB长为23cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为()A1B2C3D4比方图为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=cm.圆周角和圆心角的关系:OABDC1）弧的看法:把极点在圆心的周角均分成360份时,每一份的角都是1的圆心角,相应的整个圆也被均分成360份,每一份同样的弧叫1弧.2）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角

13、与弧相等.即不能够写成AOB=,这是错误的.（3）圆周角的定义:极点在圆上,并且两边都与圆订交的角,叫做圆周角.（4）圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；例下面四个命题中,正确的一个是()均分一条弦的直径必垂直于这条弦均分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦圆心角相等,圆心角所对的弧相等在一个圆中,均分一条弧和它所对弦的直线必经过这个圆的圆心比方图，ABC内接于O，若A=40，则OBC的度数为（A20B40C50D70）比方图，小

14、明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A12个单位B10个单位C1个单位D15个单位确定圆的条件:（1）确定一个圆必定的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的地址,半径决定圆的大小.经过一点能够作无数个圆,经过两点也能够作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直均分线上.2）经过三点作圆要分两种情况:经过同素来线上的三点不能够作圆.经过不在同素来线上的三点,能且仅能作一个圆.定理:不在同素来线上的三个点确定一个圆.(3)三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三

15、角形的看法:i.三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个极点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.三角形的外心的性质:三角形外心到三极点的距离相等.例平行四边形的四个极点在同一圆上，则该平行四边形必然是（）A、正方形B、菱形C、矩形D、等腰梯形直线与圆的地址关系直线和圆订交、相切、相离的定义:订交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆订交,这时直线叫做圆的割线.相切:直线和圆有独一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,独一的公共点做切点.相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.（2）直线与圆的

16、地址关系的数量特点:设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；dr直线L和O订交.d=r直线L和O相切.dr直线L和O相离.3）切线的判判定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4）切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.解析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得以下结论:若是一条直线具备以下三个条件中的任意两个,即可推出第三个.垂直于切线;过切点;过圆心.（5）三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的看法.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这

17、个三角形叫做圆的外切三角形.6）三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等.过三角形极点和内心的射线均分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的极点,该线均分三角形的这个内角.例以下四个命题中正确的选项是（）与圆有公共点的直线是该圆的切线垂直于圆的半径的直线是该圆的切线到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线A、B、C、D、例过O外一点P作O的两条切线PA、PB，切点为A和B，若AB=8，AB的弦心距为3，则PA的长为()A、5B、20C、25D、833比方图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于点E，分别交

18、PA、PB于点C、D，若PA=5，则PCD的周长为（）A5B7C8D107.圆和圆的地址关系.（1）外离、外切、订交、内切、内含(包括同心圆)这五种地址关系的定义.外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外面时,叫做这两个圆外离.外切:两个圆有独一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外面时,叫做这两个圆外切.这个独一的公共点叫做切点.订交:两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆订交.内切:两个圆有独一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个独一的公共点叫做切点.内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一

19、个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内含的一个特例.2）两圆地址关系的性质与判断:两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆订交R-rdR+r(Rr)两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含dr)3）相切两圆的性质:若是两个圆相切,那么切点必然在连心线上.4）订交两圆的性质:订交两圆的连心线垂直均分公共弦.例已知O1的半径r为3cm，2的半径R为，两圆的圆心距12为，O4cmOO1cm则这两圆的地址关系是（）（A）订交（B）内含（C）内切（D）外切弧长及扇形的面积（1）圆周长公式:圆周长C=2R(R表示圆的半径)（2）弧长公式:弧长lnR(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)1803）

20、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4）弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.（5）圆的面积公式.圆的面积SR2(R表示圆的半径)（6）扇形的面积公式:扇形的面积S扇形nR2(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)360（7）弓形的面积公式:ABOOOABABCCC(1)当弓形所含的弧是劣弧时,S弓形S扇形S三角形(2)当弓形所含的弧是优弧时,S弓形S扇形S三角形(3)当弓形所含的弧是半圆时,S弓形1R2S扇形2比方图，一块边长为8cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至ABC的地址时，极点C从

21、开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C在同素来线上)（）CARo60ABCA、16B、8C、64D、16333例要修一段如上图所示的圆弧形弯道，它的半径是48m，圆弧所对的圆心角是60，那么这段弯道长_m(保留).例两同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，且AB=20cm,则夹在两圆间的圆环面积是_cm29.圆锥的相关看法:1）圆锥能够看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.2）圆锥的侧面张开图与侧面积计算:圆锥的侧面张开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆

22、锥的极点.若是设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l,底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:S侧1cl12rlrl22S表S侧S底面rlr2r(rl)例一个圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积是。例圆锥的底面半径为3cm,侧面张开图是圆心角为120o的扇形,求圆锥的侧面积。与圆相关的辅助线1）如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2）如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3）如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4）若条件交代了某点是切点时,连接圆心和切点是最常用的辅助线.第四章统计与概率实验频率与理论概率的关系可是在实验次数很多时,实验频率凑近于理论看法,但实验次