北师大数学九年级下册全册整册教案

1、11锐角三角函数第1课时正切与坡度1理解正切的意义，并能举例说明；(重点)2能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)3能运用正切、坡度解决问题(难点)一、情境导入观察与思考：某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶问题1：图中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？问题2：如何描述图中台阶的倾斜程度？除了用A的大小来描述，还可以用什么方法？方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；方法二：在台阶斜坡上另找一点B1，测出B1C1与AC1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾斜程度你觉得上面的方法正确吗？二、合作探究探究点一：正切【类型一】 根据正切的概念求正切值

2、分别求出图中A、B的正切值(其中C90)由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为_解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可解：如图，tanAeq f(16,12)eq f(4,3)，tanBeq f(12,16)eq f(3,4)；如图，BCeq r(732552)48，tanAeq f(48,55)，tanBeq f(55,48).因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第1题【类型二】 在网格中求正切

3、值 已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tanADC的值解析：先证明ACDBCE，再根据tanADCtanBEC即可求解解：根据题意可得ACBCeq r(1222)eq r(5)，CDCEeq r(1232)eq r(10)，ADBE5，ACDBCE(SSS)ADCBEC.tanADCtanBECeq f(1,3).方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函数值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第3题【类型三】 构造直角三角形求三角函数值 如图，在RtA

4、BC中，C90，BCAC，D为AC的中点，求tanABD的值解析：设ACBC2a，根据勾股定理可求得AB2eq r(2)a，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，根据正切三角函数的定义，可得答案解：如图，过D作DEAB于E.设ACBC2a，根据勾股定理得AB2eq r(2)a.由D为AC中点，得ADa.由AABC45，又DEAB，得ADE是等腰直角三角形，DEAEeq f(r(2)a,2).BEABAEeq f(3r(2)a,2)，tanABDeq f(DE,BE)eq f(1,3).方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形

5、内时，可作辅助线构造直角三角形进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第7题探究点二：坡度【类型一】 利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比) 堤的横断面如图堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是()A13 B12.6 C12.4 D12解析：由勾股定理得AC12米则斜坡AB的坡度BCAC51212.4.故选C.方法总结：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i1m的形式变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型二】 利用坡度解决实际问题 已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC

6、长14m，斜坡AB的坡度为3eq r(3)，另一腰CD与下底的夹角为45，且长为4eq r(6)m，求它的上底的长(精确到0.1m，参考数据：eq r(2)1.414，eq r(3)1.732)解析：过点A作AEBC于E，过点D作DFBC于F，根据已知条件求出AEDF的值，再根据坡度求出BE，最后根据EFBCBEFC求出AD.解：过点A作AEBC，过点D作DFBC，垂足分别为E、F.CD与BC的夹角为45，DCF45，CDF45.CD4eq r(6)m，DFCFeq f(4r(6),r(2)4eq r(3)(m)，AEDF4eq r(3)m.斜坡AB的坡度为3eq r(3)，tanABEeq

7、f(AE,BE)eq f(3,r(3)eq r(3)，BE4m.BC14m，EFBCBECF1444eq r(3)104eq r(3)(m)ADEF，AD104eq r(3)3.1(m)所以，它的上底的长约为3.1m.方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的掌握情况解决问题的关键是添加辅助线构造直角三角形变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计正切与坡度1正切的概念在直角三角形ABC中，tanAeq f(A的对边,A的邻边).2坡度的概念坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导在数学学习中，有一些学生往往不注重基本

8、概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握基本概念、基础知识1.1 锐角三角函数第1课时 正切与坡度教学目标:1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。2、了解计算一个锐角的正切值的方法。教学重点： 理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。教学难点： 计算一个锐角的正切值的方法。教学过程：一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1） 图（2）点

9、拨可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图 的台阶更陡，理由 二、探索活动1、思考与探索一：除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。（思考：BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答：_.讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答：_.2、思考与探索二：ACAC1C2AC3B1B2B3我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3，那么有：RtAB1C1_根据相似三角形的性质，A对边bC对边aBA对边bC对边aB斜边c（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，

10、那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_。3、正切的定义如图，在RtABC中，C90，a、b分别是A的对边和邻边。我们将A的对边a与邻边b的比叫做A_，记作_。即：tanA_（你能写出B的正切表达式吗？）试试看.4、牛刀小试BCA1根据下列图中所给条件分别求出下列图中BCA1BABAC35A2C1B（通过上述计算，你有什么发现？_.）5、思考与探索三：怎样计算任意一个锐角的正切值呢？（1）例如，根据书本P39图75，我们可以这样来确定tan65的近似值：当一个点从点O出发沿着65线移动到点P时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。于是可知，tan65的近似

11、值为2.14。（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。102030455565tan2.14（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。（4）思考：当锐角越来越大时，的正切值有什么变化？ABAABACBADCBAECBA1、在RtABC中，C90，AC1，AB3，则tanA_，tanB_。2、如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点,连结EB，设EBA，则tan_。四、请你说说本节课有哪些收获？五、作业p40 习题7 .1 1、21.2m2.5m1.2m2.5m1m(单位：米)1、如图是一个梯形大坝的横断面，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡的倾斜程度更大一

12、些？2、在直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为A（4,1），B（1，3），C（4,3），试求tanB的值。1.1 锐角三角函数第2课时 正弦与余弦1理解正弦与余弦的概念；(重点)2能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角(难点)一、情境导入如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了5m.如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了二、合作探究探究点：正弦和余弦【类型

13、一】 直接利用定义求正弦和余弦值 在RtABC中，C90，AB13，BC5，求sinA，cosA.解析：利用勾股定理求出AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可解：由勾股定理得ACeq r(AB2BC2)eq r(13252)12，sinAeq f(BC,AB)eq f(5,13)，cosAeq f(AC,AB)eq f(12,13).方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值 如图，在ABC中，C90，点D在BC上，A

14、DBC5，cosADCeq f(3,5)，求sinB的值解析：先由ADBC5，cosADCeq f(3,5)及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答解：ADBC5，cosADCeq f(3,5)，CD3.在RtACD中，AD5，CD3，ACeq r(AD2CD2)eq r(5232)4.在RtACB中，AC4，BC5，ABeq r(AC2BC2)eq r(4252)eq r(41)，sinBeq f(AC,AB)eq f(4,r(41)eq f(4r(41),41) .方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键变式

15、训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】 比较三角函数的大小 sin70，cos70，tan70的大小关系是()Atan70cos70sin70Bcos70tan70sin70 Csin70cos70tan70Dcos70sin70tan70解析：根据锐角三角函数的概念，知sin701，cos701，tan701.又cos70sin20，锐角的正弦值随着角的增大而增大，sin70sin20cos70.故选D.方法总结：当角度在0A90间变化时，0sinAcosA0.当角度在45A90间变化时，tanA1.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型四】 与三角函数

16、有关的探究性问题 在RtABC中，C90，D为BC边(除端点外)上的一点，设ADC，B.(1)猜想sin与sin的大小关系；(2)试证明你的结论解析：(1)因为在ABD中，ADC为ABD的外角，可知ADCB，可猜想sinsin；(2)利用三角函数的定义可求出sin，sin的关系式即可得出结论解：(1)猜想：sinsin；(2)C90，sineq f(AC,AD) ，sineq f(AC,AB) .ADAB，eq f(AC,AD)eq f(AC,AB)，即sinsin.方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键【类型五】 三角函数的综合应用 如图，在ABC

17、中，AD是BC上的高，tanBcosDAC.(1)求证：ACBD；(2)若sinCeq f(12,13)，BC36，求AD的长解析：(1)根据高的定义得到ADBADC90，再分别利用正切和余弦的定义得到tanBeq f(AD,BD)，cosDACeq f(AD,AC)，再利用tanBcosDAC得到eq f(AD,BD)eq f(AD,AC)，所以ACBD；(2)在RtACD中，根据正弦的定义得sinCeq f(AD,AC)eq f(12,13)，可设AD12k，AC13k，再根据勾股定理计算出CD5k，由于BDAC13k，于是利用BCBDCD得到13k5k36，解得k2，所以AD24.(1)

18、证明：AD是BC上的高，ADBADC90.在RtABD中，tanBeq f(AD,BD)，在RtACD中，cosDACeq f(AD,AC).tanBcosDAC，eq f(AD,BD)eq f(AD,AC)，ACBD；(2)解：在RtACD中，sinCeq f(AD,AC)eq f(12,13).设AD12k，AC13k，CDeq r(AC2AD2)5k.BDAC13k，BCBDCD13k5k36，解得k2，AD12224.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计正弦与余弦1正弦的定义2余弦的定义3利用正、余弦解决问题本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化

19、课堂的理念，让学生在经历“问题情境形成概念应用拓展反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.1.1 锐角三角函数第2课时 正弦与余弦教学目标理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。教学重点与难点 在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。教学过程 一、情景创设1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向

20、上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？20m13m20m13m2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？二、探索活动1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值_；它的邻边与斜边的比值_。（根据是_。）2、正弦的定义 如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的_，记作_，即：sinA_=_.3、余弦的定义 如图，在RtABC中，C90,我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的_，记作=_，即：cosA=_=_。（你能写出B的正

21、弦、余弦的表达式吗？）试试看._.4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。5、思考与探索怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？如图，当小明沿着15的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin150.26，cos150.97（2）你能根据图形求出sin30、cos30吗？sin75、cos75呢？sin30_，cos30_.sin75_，cos75_.（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。（4）观察与思考：从sin15，sin30，si

22、n75的值，你们得到什么结论？_。从cos15，cos30，cos75的值，你们得到什么结论？_。当锐角越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？_。6、锐角A的正弦、余弦和正切都是A的_。三、随堂练习1、如图，在RtABC中，C90，AC12，BC5，则sinA_，cosA_，sinB_，cosB_。2、在RtABC中，C90，AC1，BC，则sinA_，cosB=_,cosA=_,sinB=_.3、如图，在RtABC中，C90，BC9a，AC12a，AB15a，tanB=_,cosB=_,sinB=_四、请你谈谈本节课有哪些收获？五、拓宽和提高已知在ABC中，a、b、c分别

23、为A、B、C的对边，且a：b：c5：12：13，试求最小角的三角函数值。1.2 30，45，60角的三角函数值1经历探索30，45，60角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2能够进行30，45，60角的三角函数值的计算；(重点)3能够根据30，45，60角的三角函数值说出相应锐角的大小(难点)一、情境导入在直角三角形中(利用一副三角板进行演示)，如果有一个锐角是30(如图)，那么另一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45呢(如图)？由此你能发现这些特殊锐角的三角函数值吗？二、合作探究探究点一：30，45，60角的三角函数值【类型一】 利用特殊角的三角函数

24、值进行计算 计算：(1)2cos60sin30 eq r(6)sin45sin60；(2)eq f(sin30sin45,cos60cos45).解析：将特殊角的三角函数值代入求解解：(1)原式2eq f(1,2)eq f(1,2)eq r(6)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(1,2)eq f(3,2)1；(2)原式eq f(f(1,2)f(r(2),2),f(1,2)f(r(2),2)2eq r(2)3.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围 若coseq f(

25、2,3)，则锐角的大致范围是()A030 B3045C4560 D030解析：cos30eq f(r(3),2)，cos45eq f(r(2),2)，cos60eq f(1,2)，且eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(r(2),2)，cos60coscos45，锐角的范围是4560.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第9题【类型三】 已知三角函数值，求角度 根据下列条件，确定锐角的值：(1)cos(10)eq f(r(3),2)0；(2)tan2(eq f(r(3),3)1)taneq f(r(3),

26、3)0.解析：(1)根据特殊角的三角函数值来求的值；(2)用因式分解法解关于tan的一元二次方程即可解：(1)cos(10)eq f(r(3),2)，1030，20；(2)tan2(eq f(r(3),3)1)taneq f(r(3),3)0，(tan1)(taneq f(r(3),3)0，tan1或taneq f(r(3),3)，45或30.方法总结：熟记特殊角的三角函数值以及将“tan”看作一个未知数解方程是解决问题的关键变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第8题探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】 特殊角的三角函数值与其他知识的综合 已知ABC中的A与B满足(1tanA

27、)2|sinBeq f(r(3),2)|0，试判断ABC的形状解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出A及B的度数，进而可得出结论解：(1tanA)2|sinBeq f(r(3),2)|0，tanA1，sinBeq f(r(3),2)，A45，B60，C180456075，ABC是锐角三角形方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型二】 利用特殊角的三角函数值求三角形的边长 如图所示，在ABC中，C90，B30，AD是ABC的角平

28、分线，若ACeq r(3)，求线段AD的长解析：首先根据直角三角形的性质推出BAC的度数，再求出CAD30，最后根据特殊角的三角函数值求出AD的长度解：ABC中，C90，B30，BAC60.AD是ABC的角平分线，CAD30，在RtADC中，ADeq f(AC,cos30)eq r(3)eq f(2,r(3) 2.方法总结：解决此题的关键是利用转化的思想，将已知和未知元素化归到一个直角三角形中，进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第9题【类型三】 构造三角函数模型解决问题 要求tan30的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算作RtABC，使C90，斜边AB2，直角边AC1，那

29、么BCeq r(3)，ABC30，tan30eq f(AC,BC)eq f(1,r(3)eq f(r(3),3).在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15与tan75的值解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15eq f(CD,BC)，tan75eq f(BC,CD).解：作B的平分线交AC于点D，作DEAB，垂足为E.BD平分ABC，CDBC，DEAB，CDDE.设CDx，则AD1x，AE2BE2BC2eq r(3).在RtADE中，DE2AE2AD2，x2(2eq r(3)2(1x)2，解得x2eq r(3)3，tan15eq f(2r(3)3,r

30、(3)2eq r(3)，tan75eq f(BC,CD)eq f(r(3),2r(3)3)2eq r(3).方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15和75的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15和75的三角函数值变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计30，45，60角的三角函数值1特殊角的三角函数值304560sineq f(1,2)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)coseq f(r(3),2)eq f(r(2),2)eq f(1,2)taneq f(r(3),3)1eq r(3)2.应用特殊角的三角函数值解决问题课程设计中引入非常直接，由三角

31、板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好设计引题开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便在讲解特殊角三角函数值时也很细，可以说前部分的教学很成功，学生理解的很好.1.2 30，45，60角的三角函数值教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏）教学目标：1.能利用三角函数概念推导出特殊角的三角函数值.2.在探索特殊角的三角函数值的过程中体会数形结合思想.教学重点：特殊角30、60、45的三角函数值.教学难点：灵活应用特殊角的三角函数值进行计算. 预习导航 一、链接：1.如图，用小写字母表示下列三角函数：sinA = sinB =cosA = cosB =tanA =

32、tanB =2. 中，如果A=30,那么三边长有什么特殊的数量关系？如果A=45,那么三边长有什么特殊的数量关系？二、导读：仔细阅读课本内容后完成下面填空： 角度a 三角函数值三角函数 30 45 60sin a cos a tan a 合作探究 1. 求下列各式的值（1）2sin300cos450 （2）sin600cos600 （3）sin2300+cos2300求满足下列条件的锐角：(1)tan(a+10)=1， (2)sin(a-20)=.已知：如图，在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AC=2,AD=.分别求出ABC、ACD、BCD中各锐角的度数. 归纳反思 达标检测

33、1若sin=,则锐角=_.若2cos=1,则锐角=_.2若A是锐角，且tanA=,则cosA=_3若A=41，则cosA的大致范围是（ ）A0cosA1 B.cosAC. cosAD. cosA14.计算：（1）tan30sin60cos230sin245tan45（2） （说明：）1.3 三角函数的计算1熟练掌握用科学计算器求三角函数值；(重点)2初步理解仰角和俯角的概念及应用(难点)一、情境导入如图和图，将一个RtABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动如果楔子斜面的倾斜角为10，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)那么木桩上升多少厘米？观察图易知，当楔

34、子沿水平方向前进5cm，即BN5 cm时，木桩上升的距离为PN.在Rt PBN中，tan10eq f(PN,BN)，PNBNtan105tan10(cm)那么，tan10等于多少呢？对于不是30，45，60这些特殊角的三角函数值，可以利用科学计算器来求二、合作探究探究点一：利用科学计算器解决含三角函数的计算问题【类型一】 已知角度，用计算器求三角函数值 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47；(2)sin1230；(3)cos2518；(4)sin18cos55tan59.解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入法取近似值解：根据题意用计算器求出

35、：(1)sin470.7314；(2)sin12300.2164；(3)cos25180.9041；(4)sin18cos55tan590.7817.方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型二】 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数(结果精确到0.1)：(1)sinA0.7，sinB0.01；(2)cosA0.15，cosB0.8；(3)tanA2.4，tanB0.5.解析：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入取近似值解：(1)由sin

36、A0.7，得A44.4；由sinB0.01，得B0.6；(2)由cosA0.15，得A81.4；由cosB0.8，得B36.9；(3)由tanA2.4，得A67.4；由tanB0.5，得B26.6.方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】 利用计算器比较三角函数值的大小 (1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：sin30_2sin15cos15；sin36_2sin18cos18；sin45_2sin22.5cos22.5；sin60_2sin30cos30；sin80_2s

37、in40cos40.猜想：已知045，则sin2_2sincos；(2)如图，在ABC中，ABAC1，BAC2，请根据提示，利用面积方法验证(1)中提出的猜想解析：(1)利用计算器分别计算至各式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计算ABC 的面积来验证解：(1)猜想：(2)已知045，则sin22sincos.证明：SABCeq f( 1,2)ABsin2AC，SABCeq f(1,2)2ABsinACcos，sin22sincos.方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到探究点二：利用三角函数解决实际问

38、题【类型一】 非特殊角三角函数的实际应用 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC10千米，CAB25，CBA45.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路(1)求改直后的公路AB的长；(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?解析：(1)过点C作CDAB于D，根据AC10千米，CAB25，求出CD、AD，根据CBA45，求出BD、BC，最后根据ABADBD列式计算即可；(2)根据(1)可知AC、BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程解：(1)过点C作CDAB于点D，AC10千米，CAB25，CDsinCABACsin25100.4210

39、4.2(千米)，ADcosCABACcos25100.91109.1(千米)CBA45，BDCD4.2(千米)，BCeq f(CD,sinCBA)eq f(4.2,sin45)5.9(千米)，ABADBD9.14.213.3(千米)所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；(2)AC10千米，BC5.9千米，ACBCAB105.913.32.6(千米)所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米方法总结：解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第9题【类型二】 仰角、俯角问题 如图，课外数学小组要测量小山坡

40、上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直他们在A处测得塔尖D的仰角为45，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角DBN61.4，小山坡坡顶E的仰角EBN25.6.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)解析：根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出EF的长，得出答案解：延长DE交AB延长线于点F，则DFA90.A45，AFDF.设EFx，tan25.6eq f(EF,BF)0.5，BF2x，则DFAF502x，故tan61.4eq f(DF,BF)eq f(502x,2x)1.8，解得x31.故DEDFEF503123181(米)所以，塔

41、高DE大约是81米方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计三角函数的计算1已知角度，用计算器求三角函数值2已知三角函数值，用计算器求锐角的度数3仰角、俯角的意义本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总

42、结得失，不断进步只有这样，才能真正提高课堂教学效率，提高成绩.1.3 三角函数的计算教学目标学会计算器求任意角的三角函数值。教学重难点重点：用计算器求任意角的三角函数值。难点：实际运用。教学过程 拿出计算器，熟悉计算器的用法。下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.求已知锐角的三角函数值.求sin635241的值.（精确到0.0001）解先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：显示再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897 859 012.所以sin6352410.8979例3求cot7045的值.（精确到0.0001）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕

43、显示出），按下列顺序依次按键：显示结果为0.349 215 633.所以cot70450.3492.由锐角三角函数值求锐角例4已知tan x=0.7410,求锐角x.（精确到1）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：显示结果为36.538 445 77.再按键：显示结果为363218.4.所以，x3632.已知cot x=0.1950,求锐角x.（精确到1）分析根据tan x，可以求出tan x的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值.四、课堂练习使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）sin24,cos514220,tan7021,cot70.已知

44、锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1）（1）sin a=0.2476; （2）cos a=0.4174;（3）tan a=0.1890; （4）cot a=1.3773.五、学习小结内容总结不同计算器操作不同，按键定义也不一样。同一锐角的正切值与余切值互为倒数。在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。方法归纳在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。布置作业习题：3，4，5；练习册1.4 解直角三角形1正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点)2选择适当的关系式解直角三角形(难点)一、情境导入如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城

45、而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得DAC60，DBC75.又已知AB100米，根据以上条件你能求出观景台D到徒骇河西岸AC的距离吗？二、合作探究探究点：解直角三角形【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在RtABC中，C90，A、B、C的对应边分别为a、b、c，按下列条件解直角三角形(1)若a36，B30，求A的度数和边b、c的长；(2)若a6，b6，求A、B的度数和边c的长解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形

46、解：(1)在RtABC中，B30，a36，A90B60，eq f(a,c) cosB，即ceq f(a,cosB)eq f(36,f(r(3),2)24eq r(3)，beq f(1,2)ceq f(1,2)24eq r(3)12eq r(3)；(2)在RtABC中，a6，b6，c6eq r(2)，AB45.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第6题【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，FACB90，E30，A45，AC12eq r(

47、2)，试求CD的长解析：过点B作BMFD于点M，求出BM与CM的长度，然后在EFD中可求出EDF60，利用解直角三角形解答即可解：过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB90，A45，AC12eq r(2)，BCAC12eq r(2).ABCF，BMsin45BC12eq r(2)eq f(r(2),2)12，CMBM12.在EFD中，F90，E30，EDF60，MDeq f(BM,tan60)4eq r(3)，CDCMMD124eq r(3).方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型

48、三】 构造直角三角形解决面积问题 在ABC中，B45，ABeq r(2)，A105，求ABC的面积解析：过点A作ADBC于点D，根据勾股定理求出BD、AD的长，再根据解直角三角形求出CD的长，最后根据三角形的面积公式解答即可解：过点A作ADBC于点D，B45，BAD45，ADBDeq f(r(2),2)ABeq f(r(2),2)eq r(2)1.A105，CAD1054560，C30，CDeq f(AD,tan30)eq f(1,f(r(3),3)eq r(3)，SABCeq f(1,2)(CDBD)ADeq f(1,2)(eq r(3)1)1eq f(r(3)1,2). 方法总结：解答此类

49、题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第7题三、板书设计解直角三角形1解直角三角形的概念2解直角三角形的基本类型及其解法3解直角三角形的简单应用本节课的设计，力求体现新课程理念给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新能力、合作能力，激发学生学习数学的积极性、主动性.1.4 解直角三角形课题解直角三角形 教学目标1、使学生综合运用有关直角三角形知识解决实际问题2、培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想方法教学重点归纳直角三角形的

50、边、角之间的关系，利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题教学难点利用解直角三角形的有关知识解决实际问题教学用具执教者教学内容共 案个 案一、新课引入：1、什么是解直角三角形？2、在RtABC中，除直角C外的五个元素间具有什么关系？请学生回答以上二小题，因为本节课主要是运用以上关系解直角三角形，从而解决一些实际问题学生回答后，板书：(1)三边关系：a2+b2=c2；(2)锐角之间关系：A+B=90；(3)边角之间关系第二大节“解直角三角形”，安排在锐角三角函数之后，通过计算题、证明题、应用题和实习作业等多种形式，对概念进行加深认识，起到巩固作用同时，解直角三角形的知

51、识可以广泛地应用于测量、工程技术和物理之中，主要是用来计算距离、高度和角度其中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值解决这类问题需要进行运算，但三角的运算与逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常常先选择公式并进行变换同时，解直角三角形的应用题和实习作业也有利于培养学生空间想象能力，要求学生通过观察，或结合文字画出图形，总之，解直角三角形的应用题和实习作业可以培养学生的三大数学能力和分析问题、解决问题的能力解直角三角形还有利于数形结合通过这一章学习，学生才能对直角三角形概念有较完整认识，才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来另外，有些简单的几何图形可分

52、解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章知识加以处理基于以上分析，本节课复习解直角三角形知识主要通过几个典型例题的教学，达到教学目标二、新课讲解：1、首先出示，通过一道简单的解直角三角形问题，为以下实际应用奠定基础根据下列条件，解直角三角形教师分别请两名同学上黑板板演，同时巡视检查其余同学解题过程，对有问题的同学可单独指导待全体学生完成之后，大家共同检查黑板上两题的解题过程，通过学生互评，达到查漏补缺的目的，使全体学生掌握解直角三角形如果班级学生对解直角三角形掌握较好，这两个题还可以这样处理：请二名同学板演的同时，把下面同学分为两部分，一部分做，另一部分做，然后学生互评这样可以节约时间2、出示

53、例题2在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45，求山高AB此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念，同时，可引导学生加以分析：如图6-39，根据题意可得ABBC，得ABC=90，ABD和ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由ADB=45，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在RtABC中，C=30，可得AB与BC之间的关系，因此山高AB可求学生在分析此题时遇到的困难是：在RtABC中和RtABD中，都找不出一条已知边，而题目中的已知条件CD=20米又不会用教学时，在这里教师应着重引，通过，两式，可得AB长解：根据题意，

54、得ABBC，ABC=RtADB=45，AB=BD，BC=CD+BD=20+AB在RtABC中，C=30，通过此题可引导学生总结：有些直角三角形的已知条件中没有一条已知边，但已知二边的关系，结合另一条件，运用方程思想，也可以解决3例题3(出示投影片)如图6-40，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB坝底宽AD(精确到0.1m)坡度问题是解直角三角形的一个重要应用，学生在解坡度问题时常遇到以下问题：1对坡度概念不理解导致不会运用题目中的坡度条件；2坡度问题计算量较大，学生易出错；3常需添加辅助线将图形分割成直角三角形和矩形因此，设计本题要求教师在教学中着重针对以上三点来考查学生的掌

55、握情况首先请学生分析：过B、C作梯形ABCD的高，将梯形分割成两个直角三角形和一个矩形来解教师可请一名同学上黑板板书，其他学生笔答此题教师在巡视中为个别学生解开疑点，查漏补缺解：作BEAD，CFAD，垂足分别为E、F，则BE=23m在RtABE中，AB=2BE=46(m)FD=CF=23(m)答：斜坡AB长46m，坡角等于30，坝底宽AD约为68.8m引导全体同学通过评价黑板上的板演，总结解坡度问题需要注意的问题：适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形计算中尽量选择较简便、直接的关系式加以计算三、课堂小结：请学生总结：解直角三角形时，运用直角三角形有关知识，通过数值计算，去求出图形中的某

56、些边的长度或角的大小在分析问题时，最好画出几何图形，按照图中的边角之间的关系进行计算这样可以帮助思考、防止出错四、布置作业板书设计教学反思小结与复习(二)一、新课引入二、新课讲解三、课堂小结四、布置作业1.5 三角函数的应用1通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点)2能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图所示的是一辆自行车的实物图图是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且CAB75.

57、你能求出车架档AD的长吗？二、合作探究探究点：三角函数的应用【类型一】 利用方向角解决问题 某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁(1)试说明点B是否在暗礁区域外；(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由解析：(1)求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在可通过构造直角三角形来求CB的长，作CDAB于D点，CD是RtACD和RtCBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；(2)本题实际上是问C到AB的距离即CD是

58、否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可解：(1)作CDAB于D点，设BCx，在RtBCD中，CBD60，BDeq f(1,2)x，CDeq f(r(3),2)x.在RtACD中，CAD30，tanCADeq f(CD,AD)eq f(r(3),3)，eq f(f(r(3),2)x,18f(1,2)x)eq f(r(3),3).x18.1816，点B是在暗礁区域外；(2)CDeq f(r(3),2)x9eq r(3)，9eq r(3)16，若继续向东航行船有触礁的危险方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直

59、角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】 利用仰角和俯角解决问题 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动在活动中，某小组为了测量校园内号楼AB的高度(如图)，站在号楼的C处，测得号楼顶部A处的仰角30，底部B处的俯角45.已知两幢楼的水平距离BD为18米，求号楼AB的高度(结果保留根号)解析：根据在RtBCE中，tanBCEeq f(BE,CE)，求出BE的值，再根据在RtACE中，tanACEeq f(AE,CE)，求出AE的值，最后根据ABAEBE，即可求出答案解：ABBD，C

60、DBD，CEAB，四边形CDBE是矩形，CEBD18米在RtBEC中，ECB45，EBCE18米在RtAEC中，tanACEeq f(AE,CE)，AECEtanACE18tan306eq r(3)(米)，ABAEEB186eq r(3)(米)所以，号楼AB的高为(186eq r(3)米方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第1题【类型三】 求河的宽度 根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥