【八年级数学】二元一次方程组的认识与求解 - 教师讲义

1、中 正 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 八年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：王梦珠课程主题 二元一次方程组的认识与求解授课类型T 课本同步C 专题辅导T 应用能力提升授课日期时段年 月 日 段（ ：00- ：00）学习目标1.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.2. 理解消元的思想；3. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；4会对一些特殊的方程组进行特殊的求解教学内容 【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元

2、”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 要点二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次

3、方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个要点五、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组

4、转化为一元一次方程.要点六、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的(2)代入消元法的技巧是：当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便要点七、加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中

5、同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解1已

6、知下列方程，其中是二元一次方程的有_(1)2x-5y； (2)x-14； (3)xy3； (4)x+y6； (5)2x-4y7；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数x的次数为2【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断举一反三：

7、【变式】下列方程中，属于二元一次方程的有（ B ）A. B. C. D. 2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（D ） A. B. C. D. 【解析】A，B中未知数的次数高于或低于一次，而C中出现三个未知数，只有D选项满足题意，故正确答案为D.【总结升华】是否是二元一次方程组要满足“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”类型一、用代入法解二元一次方程组3用代入法解方程组： .【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：将代入得：去括号，移项，合并，系数化1得： 把代入得： 原方程组的解为：【总结升华】当方程组中出现一个未知

8、量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y1x的解也是方程3x2y5的解，则x_，y_.【答案】3，2.4. 用代入法解二元一次方程组：【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程中x的系数为1，所以把方程中的x用y来表示，再代入中即可.【答案与解析】解：由得x5-y 将代入得5(5-y)-2y-40，解得：y3，把y3代入，得x5-y5-32所以原方程组的解为【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”举一反三

9、：变式：若x2y1(xy5)20，则 x= ， y= .【答案】3,2类型二、由解确定方程组中的相关量5. 方程组的解的值相等，则的值是 .【思路点拨】将代入上式，可得的值，再代入下面的方程可得值. 【答案】1【解析】解：将代入得，再代入得.【总结升华】一般地，先将k看作常数，解关于x，y的二元一次方程组再令x=m或y=m，得到关于m的方程，解方程即可 举一反三：【变式】若方程组的解x与y相等，求k.【答案】将代入上式得，再代入下式得.类型三、加减法解二元一次方程组6. 直接加减：(芜湖)解方程组【思路点拨】注意到方程组中y的系数互为相反数，可将两个方程直接相加即可消元【答案与解析】解：+，得

10、6x18，解得x3将x3代入，得43-3y11，解得所以原方程组的解为【总结升华】如果两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，可将两个方程直接相加或相减，即可消去这个未知数7.先变系数后加减：【思路点拨】注意到方程组中x的系数成2倍关系，可将方程的两边同乘2，使两个方程中x的系数相等，然后再相减消元【答案与解析】解：2，得13y65解得y5将y5代入，得2x-55-21，解得x2所以原方程组的解为【总结升华】如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等8.建立新方程组后巧加减：解方程组【思路点拨】注意到两个方程

11、中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数，所以可将两个方程分别相加、相减，从而得到一个较简单的二元一次方程组【答案与解析】解：+，得7x+7y7，整理得x+y1 ，得3x-3y-15，整理得x-y-5 解由、组成的方程组得原方程组的解为【总结升华】解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解9.先化简再加减：解方程组【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元【答案与解析】解：10，6，得3-，得11y33，解得y3将y3代入，解得x4所以原方程组的解为【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常

12、是先通过变形(如去分母、去括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解 一、选择题1下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） Axy-71 B2x-13y+1 C4x-5y3x-5y D2下列方程组是二元一次方程组的是（ ） A B C D3. 以为解建立一个二元一次方程，不正确的是（ ） A3x-4y5 B Cx +2y-3 D4. 关于的两个方程的公共解是（ ） B. C. D. 5用代入消元法解方程组代入消元法正确的是（ ）.A由得y3x+2，代入，得3x11-2(3x+2)B由得，代入，得C由得，代入，得2-y11-2yD由得3x11-2y，代入，得11-2y-y26用代入法解方程组使

13、得代入后化简比较容易的变形是（ ）.A由得 B由得 C由得 D由得y2x-57已知x+3y0，则的值为（ ）. A B C3 D-38已知是二元一次方程组的解则a-b的值为（ ）. A-1 B1 C2 D39用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中（ ）A某个未知数的系数是1 B同一个未知数的系数相等C同一个未知数的系数互为相反数 D某一个未知数的系数的绝对值相等10已知，则的值是（ ） A1 B3 C5 D711用加减消元法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数x的是（ ）A4+3 B2-5 C5+2 D5-2二、填空题12由x+2y4，得到用y表示x的式子为x_；得到用x表示y

14、的式子为y_13.若，则的值是 14.若是二元一次方程的一个解，则的值是_.15解方程组若用代入法解，最好是对方程_变形，用含_的代数式表示_16如果-x+3y5，那么7+x-3y_17.小刚解出了方程组的解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则_，_.18.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是_岁，儿子现在的年龄是_岁19用加减法解方程组时，+得_，即_；得_，即_，所以原方程组的解为_已知二元一次方程，用含x的代数式表示y为_21已知二元一次方程组，则x-y_，x+y_三、解答题22已知是一个二元一次方程的

15、解，试写出一个符合条件的二元一次方程组23.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组 （1）甲数的比乙数的2倍少7； （2）摩托车的时速是货车的倍，它们的速度之和是200km/h； （3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元24已知满足二元一次方程的值也是方程的解，求该二元一次方程的解25用代入法解下列方程组： (1) (2)26解下列二元一次方程组（1） （2）27.如果是方程组的解求 【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；2. 【答案】D；【解析】考查二元一次方程组的定义3. 【答案】C； 【解析】代入验证4. 【答案】B； 【解析】考

16、查二元一次方程组解的概念5. 【答案】D； 6. 【答案】D；7. 【答案】B； 【解析】由x+3y0得3yx，代入.8. 【答案】A；【解析】将代入得，解得.9. 【答案】D当相同字母的系数相同时，用作差法消元，当相同字母的系数互为相反数时，用求和法消元.10. 【答案】D；【解析】由题意可得，解得，.【答案】D；二、填空题12. 【答案】4-2y，；13.【答案】； 【解析】由非负性可得：，代入求出比值14【答案】8. 【解析】将代入，得， 所以.15. 【答案】； x， y；16. 【答案】2；【解析】由-x+3y5得x3y5，代入7+x-3y=7+（5）2.17.【答案】17，9； 【

17、解析】将代入得，即9，再将，代入， 得17.18.【答案】51，15； 【解析】设父亲现在的年龄是岁，儿子现在的年龄是由题意得：，解得.19. 【答案】6x2， ， 2y-10， y-5， ；20.【答案】；21【答案】-1，5；三、解答题22.解：答案不唯一，现举一例： x2，y3， x+y2+35，2x+y22+37， 就是所求的一个二元一次方程组23.【解析】解：（1）设甲数为x，乙数为y，则 （2）设摩托车的速度为x km/h，货车的速度为y km/h，则 （3）设时装的价格为x元/件，皮装的价格为y元/件，则24.【解析】解：由得，将代入得，所以二元一次方程的解是.25.【解析】解：

18、 (1)由得x3-3y，将代入得，5(3-3y)-2y-2，解得y1，将y1代入得x0，故(2)由得y3-2x ，将代入得，3x-5(3-2x)11，解得x2，将x2代入得y-1，故由，得y1-6x ，将代入，得12x-3(1-6x)726.【解析】解：（1）将去括号，整理得+得，即，将代入得，解得，将代入得，所以原方程组的解为.（2）将“”看作整体，将代入得，解得，将代入得，所以原方程组的解为.27.【解析】解：由是方程组的解，得，解此方程组，得当a1，b1时， 【巩固练习】一、选择题1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） 2.若的二元一次方程，那么（ ）A B. C. 且 D. 或3

19、.若x、y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情况是（ ） A无解 B.有唯一一个解 C.有无数多个解 D.不能确定 4.在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系? ( )A BC D 5.若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy 的值是（ ）. A14 B-4 C-12 D126关于x，y的方程，k比b大1，且当时，则k，b的值分别是（ ）. A， B2，1 C-2，1 D-1，07已知和都是方程ya

20、x+b的解，则（ ）.A B C D8如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x-5y-300的一个解，那么a的值是（ ）. A3 B2 C7 D69如果x:y3:2，并且x+3y27，则x与y中较小的值是（ ）. A3 B6 C9 D1210已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（ ）. A1或-1 B1 C5 D-511.如果的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）. Aa2； B.； C. ； D. 12. 已知方程组有无数多个解，则a、b 的值等于（ ）. Aa=-3,b=-14 B. a=3,b=-7 C. a=-1,b=9 D.a=-3,b=14 二、填空题13已知方程是二元一次方程

21、，则m_，n_14当时，关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，则a_，b_ 15. 方程|a|+|b|=2 的自然数解是_；16.若二元一次方程组 的解中，则等于_.17在方程组中，若把x+y看作一个整体，把代入，解得y_，所以x_18若与是同类项，则x _，y _19已知方程组的解也是方程 的解，则a _，b _ 20.关于的二元一次方程组中，与方程组的解中的相等，则的值为 .21已知是关于x、y的二元一次方程，则m_，n_；在自然数范围内，该方程的解是_22若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y_23对于实数x和y，定义一种新的运算“”：xyax+by，其中a、b是

22、常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，已知3525，4738，那么15_24若方程组的解是一个直角三角形的两条直角边，则这个直角三角形的面积为_三、解答题25已知是方程组的解，求的值26某球迷协会组织36名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种是每辆车可乘8人，另一种是每辆车可乘4人要求租用的车子不留空座，也不超载 （1）请你给出三种不同的租车方案；（2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用最少的租车方案，并简述你的理由27用代入法解方程组： （1） （2） 28关于x，y的方程组，甲正确地解出，乙因把

23、c看错了，解得求a、b、c的值29解下列方程组：（1） （2） 30.已知 （1）求x:z的值；（2）求x:y:z的值；（3）求的值【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】依据二元一次方程组的定义进行判断2. 【答案】C；【解析】x，y的系数均不为04. 【答案】B；【解析】可知：异号或均为0，所以不可能同时为正，只能同时为0.5. 【答案】B； 【解析】根据题意知，x，y同时满足两个相等关系:老板少拿2元，只要50元；老板以售价的九折优待，只要90元，故选B 6. 【答案】B；【解析】联立方程组，解得，代入2x2-3xy4.7. 【答案】A； 【解析】将时，代入得，再由k比b大1得

24、 ，联立解得，.8. 【答案】B； 将和分别代入方程yax+b得二元一次方程组：，解得.9. 【答案】B 【解析】由方程组可得，代入方程，即可求得. 10. 【答案】B； 【解析】，解得，所以较小的数为6.11. 【答案】B；解方程组得解为，因为x、y的值相等，所以，解得.12. 【答案】C； 13. 【答案】A；【解析】方程组有无穷多解，说明方程组中的方程对应项的系数成比例.二、填空题13. 【答案】-2， ；由二元一次方程的定义可得：，所以14. 【答案】12，8；【解析】解互为相反数可得，将与代入计算即可15.【答案】；16.【答案】34 ；【解析】将代入中，得，即；将代入 ，得，即，即