八年级秋季班-第11讲：反比例函数-教师版

1、反比例函数反比例函数内容分析内容分析反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据知识结构知识结构模块一模块一：反比例函数的概念知识精讲知识精讲反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数例题解析例题解析下列变化

2、过程中的两个变量成反比例的是（）A圆的面积和半径B矩形的面积一定，它的长与宽C完成一项工程的工效与完成工期的时间D人的身高及体重【难度】【答案】B【解析】矩形面积=长宽，即，为定值，可知它的长与宽成反比例，B正确；注意区分C选项，工效与工作时间成反比，而非完成工期的时间【总结】考查反比例函数的基本概念，会判断两个量是否是反比例关系，只需看两个量的乘积是否为定值即可（1）已知：y与x成反比例，且时，则它的函数解析式是_;（2）已知y与成反比例，且当时，则当时，_.【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）设函数解析式为，即有，得：，则函数解析式为；（2）设函数解析式为，即有，得：，函数解析式为

3、，则当时，【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么? （1）；（2）；（3）； （4）； （5）【难度】【答案】（2）、（3）、（4）是反比例函数，（1）、（5）不是反比例函数【解析】反比例函数有三种基本形式、，均要求，（2）（3）（4）符合这几种形式，是反比例函数，（1）（5）不是【总结】考查根据反比例函数的定义判断函数是否为反比例函数（1）如果是反比例函数，则k的值是_；（2）已知函数是反比例函数，则_.【难度】【答案】（1）0；（2）【解析】（1）由题意可得，解得：；（2

4、）由题意可得，解得：【总结】考查反比例函数的形式，根据次数确定相应字母取值一定要注意比例系数不为0的前提条件下列说法中正确的有（）个当是反比例函数；如果成反比例；如果是反比例函数，则；如果x、y成正比例，y与z成反比例，则x与z成反比例A1B2C3D4【难度】【答案】C【解析】根据反比例函数的意义，可知（1）（2）正确；（3）为反比例函数，则有，解得：，（3）错误；（4）根据题意，令，则有，由，可知与成反比例；（1）（2）（4）正确，故选C【总结】考查反比例函数的概念已知某反比例函数，且当时，当，求m的值【难度】【答案】【解析】设函数解析式为，即有，得：，则函数解析式为，则当时，【总结】考查利

5、用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解已知成反比例，且当，当时，y的值【难度】【答案】【解析】令，根据题意，则有，得：，则相应解析式为，当时，则有【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解已知一梯形的面积是30，上底长是下底长的，设下底长为x，高为y，求y关于x的函数关系式并写出这个函数的定义域【难度】【答案】【解析】根据梯形面积公式，面积=（上底+下底）高，即得：，整理可得：，实际问题中，函数定义域为【总结】考查反比例函数在实际问题中的应用，注意实际问题的定义域已知反比例函数的图像上有一点A，它

6、的横坐标x和纵坐标y是方程的两个根，求：（1）k 的值；（2）点A到y轴的距离【难度】【答案】（1）；（2）2或4【解析】（1）根据一元二次方程韦达定理，可得；（2），解得：，即得，点A到y轴的距离即为或【总结】考查反比例函数的性质的应用设，当时，求的值【难度】【答案】，【解析】依题意可得：，解得：【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程的问题已知，若与成反比例，与成正比例，且当时，当时；（1）求y与x间的函数关系式；（2）求当时，x的值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，则有，根据题意则有，解得：，则；（2）令，则有，整理得，解得：【总结】考查利用“待定

7、系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程的问题师生总结师生总结反比例函数的定义域有限制吗？请说明 模块二：反比例函数的图像及性质 模块二：反比例函数的图像及性质知识精讲知识精讲反比例函数的图像1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支反比例函数的性质1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交例题解析例题解析（1）已知反比例函数图像在第二、四象限，则a的取值范围是_；（2）已知图

8、像上有一点P（3，2），那么这个反比例函数的解析式为_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由反比例函数图像在第二、四象限，可得：，即得：；（2）依题意可得：，即得：，反比例函数解析式为：【总结】考查反比例函数的图像及图像上的点与函数关系式的关系已知反比例函数的图像经过点（1，），则这个函数解析式是_；当0时，y的值随着x的增大而_【难度】【答案】，增大【解析】依题意可得，即得，反比例函数解析式为， 根据反比例函数的增减性，函数在每一个象限内随着的增大而增大，即值增大【总结】考查反比例函数的增减性，时，在每一个象限内随着的增大而增大当_时函数是反比例函数，且当时，y值随x的值增大而减小【

9、难度】【答案】3【解析】函数是反比例函数，可得，解得：，；因为当时， y值随x值增大而减小，可知，即得：【总结】考查反比例函数的定义和反比例函数的增减性的综合应用已知（3，4）是反比例函数图像上的一点，则函数图像必过点（）A（2，）B（，2）C（3，）D（，）【难度】【答案】D【解析】点在反比例函数上，可知横纵坐标之积为定值，即为，只有D选项满足 乘积为12，故选D【总结】考查反比例函数的性质的应用，也可求出值代值计算（1）已知函数是反比例函数，则k的取值范围是_；（2）已知反比例函数，点为其图像上的两点，若当，则k的取值范围是_【难度】【答案】（1）且；（2）【解析】（1）因为函数为反比例函

10、数，则有，即得，同时根据二次根式的非 负性，可得，即得的取值范围为且； （2）当时，根据增减性，可得：，即得：【总结】考查反比例函数的概念，注意题目的隐含条件，分清题目在同一象限和不同象限的增减性，区分开比例系数与0的大小关系下列函数中，y的值随x的增大而减小的有（）个A0个B1个C2个D3个【难度】【答案】C【解析】根据正比例函数的增减性，时，y随着x增大而减小；反比例函数的增减性需 要考虑每个象限，因此可知函数符合题意，故选B【总结】考查正比例函数和反比例函数的增减性的判断，正比例函数和反比例函数根据比例系数与0的大小关系增减性是相反的下列函数的图像上有三点A 、B 、C ，则、的大小关系

11、是（）ABCD【难度】【答案】D【解析】由恒成立，可知在每个象限内y随着x的增大而增大，由， 可知，由，得：，则有，故选D【总结】考查反比例函数的增减性，注意反比例函数在每一个象限内有特定的增减性，不同象限情况下需独立判断，或直接代入也可解题（1）已知P（1，）在双曲线上，则双曲线的图像在第_象限内，当x 0时，y的值随x的减小而_；（2）设反比例函数时，函数的最大值是_【难度】【答案】（1）一、三，增大；（2）【解析】（1）由点P（1，）在双曲线上，可得：恒成立，由此可知函数 在一、三象限内，根据反比例函数的增减性，在每个象限内，随着的减小而增大； （2）因为，根据反比例函数的增减性，在每个

12、象限内，随着的 增大而增大，所以当时，可知时函数有最大值【总结】考查反比例函数的增减性，要根据反比例函数上的点判断出相应的值与0的大小关系，再利用其增减性解决问题（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式；（2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值【难度】【答案】（1）；（2）2【解析】（1）由点A在第二象限，可知，得：， 因为m为整数，即可得：，设过点的反比例函数解析式为， 即有，得：，即反比例函数解析式为； （2）由反比例函数图像在二、四象限，可知，即，由正比例函数 过一、三象限，可知，由此可得：，则整数的值为2【总

13、结】考查正比例函数和反比例函数性质的综合应用，根据函数所在象限判断出相应的比例系数与0的大小关系，解决问题函数可能是正比例函数或者是反比例函数吗?为什么? 【难度】【答案】不可能【解析】若函数是正比例函数，则应有，解得：，此时函 数比例系数，即不能为正比例函数；若函数是反比例函数，则应有，解得：，此时函数比例系数，即不能为反比例函 数；综上所述，此函数即不可能是正比例也不可能是反比例函数【总结】考查正比例函数和反比例函数的判断，注意必须满足比例系数不能为0已知反比例函数，当自变量x的取值范围为时，相应的函数取值范围是，求这个反比例函数解析式【难度】【答案】【解析】当时，在每个象限内，反比例函数

14、的值随着值的增大而减小，可知时，时，由，可知此时符合题意；当时，在每个象限内，反比例函数的值随着值的增大而增大，可知时，时，由，可知此时不符合题意，综上所述，即反比例函数解析式为【总结】考查反比例函数的增减性的综合应用，注意根据反比例函数的性质进行分析判断模块三：反比例函数的综合模块三：反比例函数的综合知识精讲知识精讲反比例函数和几何图形的综合例题解析例题解析已知反比例函数图像上有一点P，过P作y轴的垂线，垂足为H，如果POH的面积为6，则反比例函数的解析式为_.【难度】【答案】【解析】根据反比例函数几何意义，可得，解得：， 即反比例函数解析式为【总结】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数

15、上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为，注意加绝对值，有正负两个答案如图，x轴上一点C的坐标是（-3，0）点P从原点出发，沿y轴向上运动，过点P作x轴的平行线，分别与反比例函数的图像交于点A、B，在点P从下向上移动过程中，三角形ABC的面积（）ABCOPxyA逐渐增大ABCOPxyC保持不变D先增大，到一定程度后减小 【难度】【答案】C【解析】联结，由轴，可知， 则有， 即可计算得其面积为，面积保持不变，故选C【总结】考查反比例函数的几何意义的应用ABCDEOxy如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点BABCDEOxy【难度】【答案】2【解析】设，

16、则，由此可得：， ，则有【总结】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD，如图所示已知矩形ABCD的面积等于8，求双曲线的解析式；若已知矩形ABCD的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由yAyABCDOx【答案】（1）；（2）无法确定【解析】（1）设，因为过原点直线与反比例函数两交点关于原点中心对称，可得：，由此可得，得：，即双曲线解析式为； （2）同（1）可得，由于一个方程含有两个未知数，因此k的值 无法确定，故反

17、比例函数解析式也无法确定【总结】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数的图像上，已知正方形OAPB的面积是16求k的值和直线OP的函数解析式；yABPFyABPFOxED【难度】【答案】（1），；（2）【解析】（1）由，且四边形为正方形，则有，即可得，即，根据反比例函数的几何意义，可得：，设直线函数解析式为，则有，解得：，即可得直线的函数解析式为； （2）设正方形ADEF边长为，则，因为在双曲线上，根据反比例函数的几何意义，则有，解得：（负舍），即得正方形

18、ADEF边长为【总结】考查反比例函数几何意义的应用ABCPEFyOx如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点P（m，n）在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F设矩形ABCPEFyOx求点B的坐标；当时，求点P的坐标；写出S关于m的函数解析式【难度】【答案】（1）；（2）或； （3）【解析】（1）因为，且四边形为正方形，则有，即得：， 所以点B坐标为；由（1）易得，则反比例函数的解析式为：因为矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积是S，且，设，当点P位于点B下方时，有，解得：，此时P点坐标为：；当点P

19、位于点B上方时，有，解得：，此时P点坐标为：，综上，P点的坐标为或；用割补法求面积，即可得以下分类讨论： 当时，； 当时，点P（m，n）在双曲线上，即可得：， 则有； 综上所述，【总结】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候用割补法进行分类讨论随堂检测随堂检测下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【难度】【答案】（3）、（4）、（5）是反比例函数，（1）、（2）、（6）不是反比例函数【解析】反比例函数的基本形式为，则（3）（4）（5）符合，是反比例函数，（1）（2）（6）不符合，即不是反比例函数【总结】考查根据反

20、比例函数的定义判断已知函数是否为反比例函数已知成反比例，当x=1时，y=3；当x=8时，y=_【难度】【答案】【解析】令，根据题意，则有，得：，则相应解析式为，当时，则有【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解（1）反比例函数的图像在第二、四象限，则m=_；（2）若反比例函数时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为函数为反比例函数，则有，又函数图像在二、四象限，则有，解得：； （2）根据反比例函数的增减性，比例系数小于0时，在每个象限内随着的增大而增 大，依题意则有，即得：【总结】考查反比

21、例函数的性质，根据图像所在象限或增减性判断出比例系数与0的大小关系，解决问题在函数图像上有三点，如果，试比较大小关系_.【难度】【答案】【解析】当时，反比例函数图像在每个象限内，y随着x的增大而减小，由，可知，由，得：，则有【总结】考查反比例函数的增减性，注意反比例函数在每一个象限内有特定的增减性，不同象限情况下需独立判断，或直接代入也可解题反比例函数的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.【难度】【答案】【解析】因为函数为反比例函数，则有，又函数图像在二、四象限，则有， 即可得：，则相应的函数解析式为【总结】考查反比例函数的定义求解相应字母，注意比例系数不能为0作出反比例函数的图像，并根

22、据图像解答下列问题：（1）当时，求的值；（2）当时，求的值； （3）当时，求的范围【难度】【答案】（1）3；（2）；（3）【解析】（1）当时，；（2）当时，即得：；（3）当时，函数图像在第一象限，且函数值y随着值的减小而增大， 当时，易得：，由此即得相应的取值范围为【总结】考查根据函数图像确定相应点坐标以及相应的点的取值范围点在反比例函数(x0)的图像上，且横坐标为2若将点先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点求在第一象限内，经过点的反比例函数图像的解析式【难度】【答案】【解析】令，则有，即得：，根据平面直角坐标系中点的平移，即可得，设相应函数解析式为，则有，即函数解析式为【总结】考查

23、平面直角坐标系中点的平移和反比例函数解析式确定的综合应用已知函数，与成反比例，与成正比例，当时，；当时，求当时，的值【难度】【答案】【解析】令，则有，根据题意则有，解得：，代入则有，由此可得当时，【总结】考查利用“待定系数法”求正、反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可（1）若P是反比例函数图像上的一点，PQy轴，垂足为点Q，若，求k的值；（2）已知反比例函数的图像上有一点A，过A点向轴，y轴分别做垂线，垂足分别为点，且四边形的面积为15，求这个反比例函数解析式【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据反比例函数几何意义，可得，解得：； （2）根据反比例函数几何意义，可得，解得：， 即

24、反比例函数解析式为【总结】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为，与两条坐标轴围成矩形面积为，注意加绝对值时，有正负两个答案如图，点A、B在 反比例函数的图像上，且A、B 横坐标分别是a、2aACx轴，垂足为C，三角形AOC的面积为2（1）求反比例函数的解析式； （2）若点也在反比例函数的图像上，试比较的大小ABGABGDEFCOxy【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据反比例函数的几何意义，可得，由，即得：，则反比例函数解析式为；（2）当时，反比例函数图像在每个象限内，y随x的减小而增大，由，即得：，由此即得：【总结】考查反

25、比例函数的几何意义，与函数图像上点的坐标无关如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点A，ABx轴于点B，AB=6（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB上是否存在点P，使点P到正比例函数直线OA的距离等于点P到点B 的距离?若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由ABOABOxy【答案】（1）；（2），【解析】（1）由AB = 6，即，令，解得：，则，设反比例函数解析式为，则有，解得：，即反比例函数解析式为； （2）设，设点到距离为，由，可得，则有，则有，即有，解得：，即得，【总结】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值已知反比例函数

26、与正比例函数相交与点A，点A的坐标是（1，m）（1）求此正比例函数解析式； （2）若正比例函数与反比例函数的图像在第一象限内相交于点B，过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，AC和OB相交于点P，求梯形PCDB的面积；（3）联结AB，求的面积【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）令，即得：，即，设正比例函数解析式为，由于函数过点，则有，即正比例函数解析式为；令，解得：，因为图像在第一象限，即得，则有，则有，由此可得，即可得：；，根据反比例函数的几何意义，即可得，则【总结】考查平面直角坐标系中的几何图形的面积，把点坐标转化为平面直角坐标系中的线段长度，结合割补法和反

27、比例函数的几何意义求几何图形的面积如图，在反比例函数的图像上，有点，他们的横坐标为1，2，3，4分别过这些点往x轴和y轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是的值1231234xyO【答案】【解析】因为点，在反比例函数图像上，且横坐标分别为1，2，3，4，即可得，由于矩形长均为1，即可得：，故【总结】考查关于反比例函数上的点与坐标轴围成的矩形的面积计算课后作业课后作业判断下列问题中两个变量是不是反比例函数关系?为什么?（1）三角形的面积一定时，它的一条边长和这条边长上的高；（2）存煤量一定时，平均每天的用煤量与可用天数；（3）货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量；（4）车辆所行

28、使的路程一定时，车轮的直径和车轮的旋转周数【难度】【答案】（1）（2）（3）（4）都是反比例函数关系【解析】（1）根据三角形面积公式，即得，是反比例函数关系；，乘积为定值，是反比例函数关系；总价=单价数量，可得，乘积为定值，是反比例函数关系；行程=圆周长旋转周数，即，得是定值，是反比例函数关系【总结】考查判定两个量是否为反比例函数关系，只需要看两个变量的乘积是否为定值已知反比例函数，当时，它的图像在第_象限【难度】【答案】二【解析】时，反比例函数图像在二、四象限，时，在第二象限【总结】考查根据比例系数确定反比例函数图像所在象限（1）已知函数，如果在每个象限内y随x的增大而减小，那么k的取值范围

29、是_； （2）如果双曲线位于第一，三象限，那么m的取值范围是_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）反比例函数在每个象限内随着增大而减小，可得：，即得k的取值范围是； （2）反比例函数图像在一、三象限，即可得：，得【总结】考查反比例函数的性质，增减性和函数所在象限确定比例系数与0的大小关系已知点，在反比例函数图像上，当时，求的取值范围【难度】【答案】【解析】当时，即在每个象限内随着增大而减小，由此可得， 即得k的取值范围是【总结】考查通过函数增减性判断函数比例系数与0的大小关系进行解题作出反比例函数的图像，结合图像回答：（1）当时，的值；（2）当时，的取值范围；（3）当时，的取值范围【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）令，即得：；令，即得：，令，即得，可知反比例函数在每个象限内随着的增大而增大，由此可得：；令，即得：，令，即得，可知反比例函数在每个象限内随着的增大而增大，由此可得：【总结】考查根据反比例函数图像确定反比例函数上一段图像的对应变量取值范围，根据反比例函数比例系数与0的大小关系即可确定