有限差分法的基本知识课件

1、8.1 预备知识三类典型的偏微分方程 一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向振动时，求这根弦上各点的运动规律。OLxy8.1.1 波动方程 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程 （2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程） 要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移 条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。研究对象：线上某点

2、在 t 时刻沿垂直方向的位移。简化假设： 由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。在弦上任取一小段 它的弧长为：由于假定弦在平衡位置附近做微小振动， 很小，从而 可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时间无关。即 点处的张力记为 。 由于振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。横向：其中： 作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据牛顿运动定律，写出它们的表达式和平衡条件。 也就是说，张力 是一个常数。横向：由中值定理：纵向：一维波动方程令：-非齐次方程自由项-齐次方程忽略重力作用：a 就是弦的振动传播速度假设外力在 处外力密度为：

3、 方向垂直于 轴。等号两边用中值定理：并令为单位质量在 点处所受外力。当存在外力作用时：等号两边除以 弦振动方程中只含有两个自变量： 。由于它描写的是弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：二维波动方程：三维波动方程： 建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，使问题得到适度的简化。 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位移)完全相同。试写出杆的振动方程。在任一时刻t，此截面

4、相对于平衡位置的位移为u(x, t)。在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力：通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正根据Newton第二定律，就得到：根据胡克定律 静止空气中一维微小压力波的传播设为空气的密度，u为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：动力学方程连续性方程物态方程考虑到微小压力波，u 是一阶小量， 是二阶小量代入得对t求导，得利用得一维声波方程。 静止空气中三维声波方程 微幅水波动方程式中： 水面波高为 为声波速度 水波速度为双曲型方程8.1.2 扩

5、散方程（抛物型方程） 问题：一根长为l 的均匀导热细杆，截面为一个单位面积。侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为。求杆内温度变化的规律。 AB一维热传导方程的推导热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。所要研究的物理量：分析：设杆长方向为 x 轴，考虑杆上从到的一段(代表)，设杆中温度分布为满足的物理规律：均匀物体：物体的密度为常数各向同性：物体的比热和热传导系数均为常数假设条件：利用 Fourier 热力学定律和能量守恒定律来建立热传导方程。 由 Fourier 热力学定律，单位时间内通过 A 端面的热量为：单位时间内通过 B 端面的热

6、量为：在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量 在任意时段内，同时在此时段内, 微元内各点的温度由流入微元的热量 升高为 为此所需的热量为由能量守恒定律可得： 由和的任意性可得即：其中 内部有热源的情况：其中 分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt。 根据热学中的傅立叶定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） 热场 三维热传导方程的推导流入的热量导致V 内的温度发生变化 流入的热量：温度发生变化需要的热量为：三维热传导方程热场有热源三维热传导方程 一

7、维浓度扩散方程 动量输运方程C为物质浓度，为扩散系数。 u为速度，fx为流体体积力， 为流体粘性系数。 显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同一类物理现象，可用同一类型方程来描述。 抛物型方程8.1.3 稳态方程(调和方程) 稳态问题也是自然界中普遍存在的一类物理现象，表征物理过程达到平衡状态的情况，因此物理量不随时间变化，但随空间发生变化。因此，稳态问题描述物理量的空间分布状态或场的空间分布。 热传导问题，控制方程为： 设场内热源为稳态的，即为 f(x, y, z) 流场温度不随时间变化，即T=T( x, y, z ) 则有这就是稳态方程，称为泊松方程。 如果场内无热源，g( x,y

8、,z,t )=0，则有： 这个方程又称为拉普拉斯方程。 其中： 又如在理想势流场中，存在速度势 (x, y, z )，速度与 (x, y, z )的关系为： 带入连续方程中 由上所述，泊松方程或拉普拉斯方程是表征稳态问题的控制方程。得椭圆型方程三类典型的偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程（双曲型）热传导问题和扩散问题满足热传导方程（抛物型）静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程（椭圆型方程）8.1.3 有限差分法的基本知识1、差分方程2、截断误差3、收敛性4、稳定性8.1.3 差分方程 有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个

9、数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。 有限差分法求解偏微分方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。差分法概述模型方程 为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模

10、型方程： 对流方程： 对流扩散方程： 热传导方程： Poisson方程： Laplace方程：模型方程 模型方程 1 区域的剖分(区域的离散化）xt0离散网格点高等数学中，我们学习过Taylor公式：2 微分方程离散(差分方程） 高等数学中，我们学习过Green公式：2 积分插值法 oHxtEFGL1L2L3L4 oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH oxtj-1jj+1nn+1EFGH),1,1(),1,1(),1,(),1,(,-+-jnjnjnjnHGFE依次为，在网格中，点现在换一种方式，如图 差分方程的建立过程 以对流方程说明差分方程的建立过程。 1.划分网格 选定步长 和 ，

11、然后在坐标平面用平行于坐标轴的两族直线划分网格： 2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 点为差分方程的建立过程 时间导数用一阶向前差商近似代替： 空间导数用一阶中心差商近似代替：则对流方程在 点对应的差分方程为 差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为： 观察上述差分格式可看出：若知道第 层的 ，可由一个差分式子直接算出第 层的 ，故称这类格式为显示格式。 显式有限差分模板： 时间推进： 例 考虑长度为1的均匀直杆，其表面是绝热的，而且杆截面足够细，可 以把断面上的所有点的温度看成是相同的。 轴取为沿 杆轴方向， 对应杆的端点，则杆内温

12、度分布 随时间变化由下面的扩散方程来描述： 时间导数用一阶向前差商近似代替： 空间导数用二阶中心差商近似代替： 取 ，则最终的差分方程： 显式有限差分模板：0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.52.02.53.0100100000000000100100100100100100100100100100100100505062.562.568.868.80252537.537.545.30012.512.521.921.90006.256.2514.100006.256.250006.256.2514.10012.512.521.921.902

13、52537.537.545.3505062.562.568.868.8 如仍取 而为缩短计算时间，时间步长 取 ，则最终的差分方程：0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.510010000000000010010010010010010010002000100-10000100000000000001000100-10010002008.1.4 截断误差 上例中，令 表示差分方程的精确解利用Taylor级数将上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差分方程的修正方程式。8.1.5 相容性 上式中的 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误差。显然 与 、 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应的偏微分方程是相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须