新人教A版高中数学必修1第三章函数的应用学案

1、优选文档优选文档PAGEPAGE33优选文档让每一个人相同地提升自我函数与方程1函数零点的看法对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点注意以下两点：(1)方程f(x)0有实数根?函数yf(x)的图象与x轴有交点?函数yf(x)有零点(2)函数零点的求法：代数法：求方程f(x)0的实数根；几何法：对于不能够用求根公式的方程，能够将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2函数零点的判断一般地，若是函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在

2、c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根我们不如把这一结论称为零点存在性定理对函数零点存在性定理的理解1(1)其实不是所有的函数都有零点，如函数yx.(2)函数yf(x)若是满足：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内有零点对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它经过零点时，函数值也不用然变号如函数yx2有零点x00，但显然函数值没有变号但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间f(a)f(b)0，则函数yf(x)在(a，b)内有且只有一个

3、零点但要注意：若是函数yf(x)在a，b上的图象是连续不断的曲线，且区间上的一个零点，却不用然有f(a)f(b)0.3二分法(a，b)上单调，若x0是函数在这个所谓二分法，就是经过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而获取零点近似值的方法用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使：区间a，b的长度尽量小；f(a)、f(b)的值比较简单计算，且f(a)f(b)0.1-让每一个人相同地提升自我(2)依照函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)，能够构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即为

4、方程f(x)g(x)的根.题型一判断零点所在区间依照表格中的数据，能够判断方程exx20的一个根所在的区间是_.x10123ex1x212345解析令f(x)exx2，由图表知f(1)10，f(0)1210，f(1)30，f(3)50，由于f(1)f(2)0时，f(x)2008xlog2008x，则函数f(x)的零点的个数为()A1B2C3D2006解析由于函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，11由于log200820081,200820081，111所以f200820082008log200820080，xlog2008所以，当x0时，f(x)2008x，1函数在区间0，2008内存

5、在零点，又依照单调函数的定义可证明f(x)在(0，)上为增函数，所以在(0，)内有且仅有一个零点依照对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，进而函数在R上零点的个数为3，应选C.答案C谈论认识函数的性质是问题获解的要点，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点(除原点外)是成对出现的注意到函数为奇函数且在原点有定义，所以有f(0)0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，自然零点的判断方法也是问题获解不能或缺的部分题型三用二分法求方程的近似解3-让每一个人相同地提升自我求方程x22x1的一个近似解(精确度解设f(x)x22x1.f(2)10，在区间(2,3)

6、内，方程x22x10有一解，记为x0.取2与3的平均数，f0，2x0；再取2与的平均数，f50，x0；再取与的平均数为，f40，x00.|5|5，方程x22x1的一个精确度为的近似解可取为5.谈论对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，能够经过移项转变为求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，尔后依照二分法求函数零点近似值的步骤求之4-让每一个人相同地提升自我函数f(x)x1x的零点个数为()A0B1C2D3错解由于f(1)2，f(1)2，且x0时，f(x)0时，f(x)0，所以yf(x)有一个零点，应选B.错因解析函数的定义域决定了函数的所有性质，解析函数的有关问题时必定先求定义1

7、域经过作图可知函数f(x)xx的图象不是连续不断的，所以零点存在性定理不能够使用正解函数的定义域为xR，且x0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0成立的自变量x的取值范围是_解析由表中数据可知f(2)0，f(3)0，所以函数的零点有两个是2和3.这两个零点将x轴分成三个区间(，2，(2,3，(3，)在区间(，2中取特别值3，表中数据有f(3)60，所以依照二次函数零点的性质得：当x(，2)时，都有f(x)0；同理可得：当x(3，)时也有f(x)0.故使f(x)0的自变量x的取值范围是x(，6-让每一个人相同地提升自我2)(3，)答案(，2)(3，)1以下函数中不能够用二分法求零点的是(

8、)Af(x)3x1Bf(x)x3Cf(x)|x|Df(x)lnx答案C解析对于选项C而言，令|x|0，得x0，即函数f(x)|x|存在零点；当x0时，f(x)0，当x0，f(x)|x|的函数值非负，即函数f(x)|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能够用二分法求零点2若yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则以下说法正确的选项是()A若f(a)f(b)0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0B若f(a)f(b)0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0D若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a，b)，使得f(c)0答案D解析由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B可经过反

9、例“f(x)x(x1)(x1)在区间2，2上满足f(2)f(2)0，但其存在两个零点：1,1”推翻3方程2xx0在以下哪个区间内有实数根()A(2，1)B(0,1)C(1,2)D(1,0)答案D解析设函数f(x)2xx，其对应的函数值以下表：x210127-让每一个人相同地提升自我f(x)7113642由于f(1)f(0)0，所以方程2xx0在(1,0)内有实数根x24的零点是_4函数f(x)x2答案2解析本题易认为零点有两个，即由x240求出x2，事实上x2不在函数的定义域内5设x0是方程lnxx4的根，且x0(k，k1)，求正整数k.解设f(x)lnxx4，则函数f(x)lnxx4在正数范

10、围内是单调递加的，故函数f(x)lnxx4仅有一个零点，f(1)ln1140，f(2)ln2240，f(2)f(3)0，即k2.6求方程2x33x30的一个近似解(精确度解设f(x)2x33x3，经试算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点，经计算f0，所以方程2x33x30在,1)内有解这样连续下去，获取方程的一个实数解所在的区间，以下表：(a，b)(a，b)的f(a)f(b)abf中点2(0,1)f(0)0f0,1)f0f0，f0f0，5f0f5)0由于|5|50且a1)有两个不相同的零点，求a的取值范围解研究函数f(

11、x)axxa(a0且a1)的零点，即相当于研究方程axxa的根(1)当a1时，分别画出yax与yxa的图象，如图(1)所示，8-让每一个人相同地提升自我由于yax恒过M(0,1)点，直线yxa过点N(0，a)，而a1，所以点N在点M的上方，此时两者有两个交点，即方程axxa有两个根，函数f(x)axxa(a0且a1)有两个不相同的零点；(2)当0a1时，分别画出yax与yxa的图象，如图(2)所示，指数函数yax在0a0且a1)有一个零点；综上所述，a的取值范围是(1，)9-让每一个人相同地提升自我3方程的根与函数的零点学习目标1能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数2理解

12、函数的零点与方程根的关系3掌握函数零点的存在性的判断方法10-让每一个人相同地提升自我自学导引1对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标3方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点4函数零点的存在性的判断方法：若是函数yf(x)在a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0上共有_个零点x解析由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待确定的区间解答本题可从已知区间求f(a)和f(b)，判断

13、可否有f(a)f(b)0，且注意该函数在定义域上为增函数答案(1)B(2)1解析(1)f(1)20，f(2)ln210，f(2)f(3)0上是增函数，故f(x)有且只有一个零点谈论这是一类特别基础且常有的问题，察看的是函数零点的判断方法，一般而言只要将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点经常是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性变式迁移2方程x23x10在区间(2,3)内根的个数为()12-让每一个人相同地提升自我A0B1C2D不确定答案B解析令f(x)x23x1，则f(2)f(3)0，(2,3)内仅有一个根三、已知函数零点的

14、特色，求参数范围例3若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数a的取值范围解析由题目可获取以下主要信息：已知函数f(x)零点特色，谈论函数表达式中字母的特色，解答本题可依照该字母对函数零点的影响下手，进行求解解若a0，则f(x)x1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；若a0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2x10仅有一个实数根，1故鉴识式14a0，a4.1综上，当a0或a4时，函数仅有一个零点变式迁移3已知在函数f(x)mx23x1的图象上其零点最少有一个在原点右侧，求实数m的范围解(1)当m0时，f(0)3x1，直线与x轴的交点为113，0，即函数的零点为3，在原点

15、右侧，吻合题意图(1)(2)当m0时，f(0)1，抛物线过点(0,1)若m0，f(x)的张口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当994m0即可，解得0m4，综上所述，m的取值范围为9，4.1函数f(x)的零点就是方程f(x)0的根，但不能够将它们完好等同如函数f(x)x24x4只有一个零点，但方程f(x)0有两个相等实根2其实不是所有的函数都有零点，即使在区间a，b上有f(a)f(b)0，也不说明函数yf(x)在区间(a，b)上无零点，如二次函数yx23x2在0,3上满足f(0)f(3)0，但函数f(x)在区间(0,3)上有零点1和2.3函数的零点是实数而不是坐标轴上的点1

16、4-让每一个人相同地提升自我一、选择题1若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么以下说法中错误的选项是()A函数f(x)在(1,2)或2,3)内有零点B函数f(x)在(3,5)内无零点C函数f(x)在(2,5)内有零点D函数f(x)在(2,4)内不用然有零点答案C2函数f(x)log3x82x的零点必然位于区间()A(5,6)B(3,4)C(2,3)D(1,2)答案B解析f(3)log3382310.又f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点必然位于区间(3,4)3函数f(x)ax2bxc，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A至多

17、有一个B有一个或两个C有且仅有一个D一个也没有答案C解析若a0，则f(x)bxc是一次函数，由f(1)f(2)0，与已知矛盾4已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，)内的零点有1003个，则f(x)的零点的个数为()A1003B1004C2006D2007答案D解析由于f(x)是奇函数，则f(0)0，且在(0，)内的零点有1003个，所以f(x)在(，0)内的零点有1003个所以f(x)的零点共有1003100312007个5若函数yf(x)在区间0,4上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)0在(0,4)内仅有15-让每一个人相同地提升自我一个实数根，则f(0)f(4)的值()A大于0

18、B小于0C等于0D无法判断答案D解析察看以下各种图象上面各种函数y=f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是(1)中，f(0)f(4)0，(2)中f(0)f(4)0，(3)中f(0)f(4)0.二、填空题6二次函数f(x)ax2bxc中，ac0，方程ax2bxc0有两个不等实根，即函数f(x)有2个零点7若函数f(x)axb(a0)有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_答案0，12解析由2ab0，得b2a，g(x)bx2ax2ax2ax，令g(x)0，得x0或x1，2g(x)bx2ax的零点为0，1.28方程2ax2x10在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是_答案(1

19、，)解析令f(x)2ax2x1，a0时不吻合题意；1a0且0时，解得a8，此时方程为14x2x10，也不合题意；只能f(0)f(1)1.三、解答题9已知函数f(x)3xx2，问：方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？为什么？16-让每一个人相同地提升自我解析函数f(x)只要满足f(1)f(0)0；在1，0内连续，则f(x)0在1,0内必有实数解解f(1)31(1)220.且函数f(x)3xx2的图象是连续曲线，f(x)在区间1,0内有零点，即f(x)0在区间1,0内有实数解10若函数25xa的两个零点分别为x，试求出ay3x1，x2，且有2x10,1x23的取值范围解f20f00由已知得：

20、f1，0f3022a0a0.即a0212a0解得：-12a0.17-让每一个人相同地提升自我3用二分法求方程的近似解学习目标理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足必然精确度要求的近似解18-让每一个人相同地提升自我自学导引1二分法的看法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，经过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点渐渐逼近零点，进而获取零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度)(1)确定区间a，b，使f(a)f

21、(b)0.ab(2)求区间(a，b)的中点，x12.(3)计算f(x1)若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b)(4)连续推行上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当an和b依照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yf(x)的近似零点，n计算停止这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度.一、能用二分法求零点的条件例1以下函数中能用二分法求零点的是()19-让每一个人相同地提升自我答案C解析在A中，函数无零点在B和D中，函数有零

22、点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能够用二分法来求零点而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，C中的函数能用二分法求其零点，应选C.谈论判断一个函数可否用二分法求其零点的依照是：其图象在零点周边是连续不断的，且该零点为变号零点所以，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用变式迁移1以下函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()答案B二、求函数的零点例2判断函数yx3x1在区间1,内有无零点，倘如有，求出一个近似零点(精确度解析由题目可获取以下主要信息：判断函数在区间1,内有无零点，可用根的存在性定理判

23、断；精确度.解答本题在判断出在1,内有零点后可用二分法求解20-让每一个人相同地提升自我解由于f(1)10，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间1,内有零点，用二分法逐次计算，列表以下：区间中点值中点函数近似值(1,55,75由于|5|5，所以函数的一个近似零点为5.谈论由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，所以用列表法经常能比较清楚地表达事实上，还可用二分法连续算下去，进而获取这个零点精确度更高的近似值变式迁移2求函数f(x)x32x23x6的一个正数零点(精确度解由于f(1)60，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表以下：区间中点中点函数值(1,2

24、),2)4,7,585,757由于|5|5，所以可将5作为函数零点的近似值三、二分法的综合运用例3证明方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度解析由题目可获取以下主要信息：证明方程在1,2内有唯一实数解；求出方程的解解答本题可借助函数f(x)2x3x6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解证明设函数f(x)2x3x6，f(1)10，又f(x)是增函数，所以函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一的零点，则方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解设该解为x0，则x01,2，取x1，f0，f(1)f0，f(1)f0，x0(1,，取x3，f0，21-

25、让每一个人相同地提升自我ff0，x0,，取x45，f5)0，f5)f0，x05,|5|5，5能够作为这个方程的实数解谈论用二分法解决实责问题时，应试虑两个方面，一是转变为函数的零点问题，二是渐渐减小察看范围，逼近问题的解变式迁移3求32的近似解(精确度为并将结果精确到解设x32，则x320.令f(x)x32，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点的近似值由于f(1)10，故能够取区间1,2为计算的初始区间用二分法渐渐计算，列表以下：区间中点中点函数值1,21,9,6,50,5253,256253,62581258125,625718756由于|6258125|81，

26、所以函数f(x)零点的近似值是，即32的近似值是.22-让每一个人相同地提升自我1能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用2二分法实质是一种逼近思想的应用区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精1确度为2n.3求函数零点的近似值时，所要求的精确度不相同，获取的结果也不相同精确度为，是指在计算过程中获取某个区间(a，b)后，若其长度小于，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应连续计算，直到|ab|为止一、选择题1以下函数中不能够用二分法求零点的是()Af(x)2x3Bf(x)lnx2x6Cf(x)x22x1Df(x)2x1答案C解析由于f(x)(x1)20，即含有零点的区间a，b，不满足f(a)f(b)0.2设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1，2)内近似解的过程中得f(1)0，f0，则方程的根落在区间()A(1,B,C,2)D不能够确定答案B解析为区间(1,2)的中点，且f(1)0，方程的根x0(1,，又是(1,的中点且f0，f0，x0,3函数f(x)