线性代数课件第五章-特征值与特征向量-

1、第五章 特征值与特征向量第五章 特征值与特征向量第一节 特征值与特征向量 本节研究被一矩阵相乘后变为自身倍数的非零向量,以及该倍数. 如取 定义1 （特征值与特征向量）设 是 n 阶方阵，若存在数 和非零向量 ，使得 则 称为 的 特征值 ， 称为 的属于(或对应于) 的特征向量. (1) 第一节 特征值与特征向量 本节研究被一矩阵相乘后变为 (1) 可写成 注意: 特征值与特征向量是针对方阵定义的. 另外零向量总满足(1)式，但不是特征向量.设 对于固定的 , (2) 是关于 的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 (2) (1) 可写成 注意: 特征值与特征向量是针(2) 特征值可能是复

2、数. (3) 是关于 的一元 n 次 方程, 称为方阵的特征方程，而它左端的n 次多项式称为的特征多项式. 表明的特征值是特征方程(3)的根.n 阶方阵 恰有n 个特征值.但需注意两点：(1) n 个特征值中有可能有相同的，称为重特征值，即是特征方程的重根. 如单位矩阵. 如(2) 特征值可能是复数. (3) 是关于 的一元 n 的特征值为 根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的. . 性质 1 设是的n 个特征值，则 证明由条件知 的特征值为 根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的. 令 , 即得 (i).另一方面，由行列式定义， 中含有的项只出现在：中，故 (ii) 成立.推论

3、方阵可逆当且仅当它的特征值全不为0. 性质 2 属于 的特征向量的非零线性组合仍为属于 的特征向量. 性质 3 设 为 的属于 的特征向量,令 , 即得 (i).另一方面，由行列式定性质4 设分别是 的属于互不的特征向量，则线性无关.相同的特征值证明 归纳法.当 ，结论成立.时,设时结论成立，当设 ),( )( ,)(1010特征向量.仍为其的特征值为则lXfAaAaEaAfxaxaaxfssss+=+=LL性质4 设分别是 的属于互不的特征向量，则线性无关.相同的特则 ，即 （2）将（1）式乘以，再减去（2）式得因为线性无关，故 而 代入（1）式，得 因为所以，故线性无关. 则 ，即 （2）

4、将（1）式乘以例求的特征值和特征向量.解 = 对于解得基础解系 属于的特征向量全体为由 得特征值 ， 。 例求的特征值和特征向量.解 = 对于解得基础解系对于解得基础解系 向量全体为（不全为0）属于的特征例2求的特征值和特征向量.对于解得基础解系 向量全体为（不全为0）属于的特征例2求的解 = 对于解得基础解系 属于的特征向量全体为由 得特征值 ， 。 解 = 对于解得基础解系 属于的特征向量全体为由 对于解得基础解系 属于的特征向量全体为 注意：对于重特征值，有可能有重数个线性无关 的特征向量，也有可能没有重数个线性无关 的特征向量.例 3 已知为三阶方阵，且， 和均不可逆. 对于解得基础解

5、系 属于的特征向量全体为 注意：对于重特征值，1）证明：可逆.2）设求证明1）由条件知故1，2，3 均为的特征值，所以不是的特征值. 因而 则2). 设的三个特征值为设1）证明：可逆.2）设求证明1）由条件知故1，2，3 均为第二节 相似矩阵与矩阵对角化条件 定义（相似矩阵）对于 n 阶方阵 若存在可逆阵 ，使 ，则称 相似于 ，记作 .（ 称为相似变换矩阵）相似为一等价关系. 有如下重要性质: 第二节 相似矩阵与矩阵对角化条件 定义（相似矩阵）对于 证明 若，则因为 P 可逆，故, 其中 为初等矩阵,于是有 表明与 等价, 故性质 1. 若，则 证明 若，则因为 P 可逆，故, 其中 为初等

6、矩阵,于是性质 2 若，则 证明 若，则.故性质 3 若，则 .性质 2 若，则 证明 若，则.故性质 3 若性质4 若，则与的特征多项式相同，从而与的特征值也相同.故推论 若阶方阵=则为的所有特征值.证明由, 则存在 , 使性质4 若，则与的特征多项式相同，从而与的特征值也相同.若一矩阵与对角矩阵相似, 称此矩阵可对角化.下面讨论矩阵可对角化的条件.矩阵可对角化的条件. 定理 5 阶方阵相似于对角阵的充要条件是有个线性无关的特征向量.=；其中为的个特征值. 上式可写成 ，使 证明必要性.存在. 记= 则成立 ，即 是的特征向量。因为可逆，故 定理 5 阶方阵相似于对角阵的充要条件是有个线性无

7、关的特征线性无关.满足 记将必要性证明的推导过程倒推上去，即可得相似于对角阵。 阶方阵的个特征值互异，则相似于对角阵。 推论5若有个线性无关的特征向量充分性若线性无关.满足 记将必要性证明的推导过程倒推上去，即可得相似 注意 : 本推论的逆不成立。例如上节例1中的有3个线性无关的特征向量，故相似于对角阵。但的3个特征值不互异。 例6证明：若则（）阶方阵充要条件是：对于的每个 * 定理6 重特征值都有个线性无关的特征向量。即 相似于对角阵的 注意 : 本推论的逆不成立。例如上节例1中的有3个线性无关（）（是的多项式）证明由，成立.故 即（）设有（）即（）（是的多项式）证明由，成立.故 即（）设有

8、（）若相似于对角阵=，则，即. 于是=. 类似可得并易得若相似于对角阵=，则，即. 于是=. 类似可得并易得 这样就可以比较简便地计算出和了. 这样就可以比较简便地计算出和了.第三节. 实对称矩阵的对角化一. 向量的内积与正交矩阵则与的内积定义为： = = 向量的内积满足如下性质:定义3（向量内积）设（对称性）第三节. 实对称矩阵的对角化则与的内积定义为： = = ；（正定性） （线性性）=定义 4（向量长度）对于 的长度（或模）定义为：（记作；（正定性） （线性性）=定义 4（向量长度；(正定性） 向量的长度满足如下性质：；且 （齐次性）213； （Cauchy 不等式） 4 (三角不等式）

9、即 ；(正定性） 当 时，于是引入如下定义：定义5（向量的夹角）对于当时，定义的夹角为：若，则称与正交，记为，这时当 时，于是引入如下定义：当时，定义的夹角为：若，则称与性质：1）2) 对于,若，则.（勾股定理）长度为 1 的向量称为单位向量。非零向量的单位化：几何意义：同方向上的单位向量。正交向量组：两两正交的一组非零向量；性质：1）2) 对于,若，则.（勾股定理）长度为 1 的向标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组.定理 7 若是正交向量组，则线性无关.用与两边作内积得：证明设 由于 两两正交，即得：而，于是故无关.标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组.是正交向量组，则正交基：

10、由正交向量组构成的向量空间的基；标准正交基(或单位正交基)：由标准正交向量组构成 的向量空间的基.定理 8 在中，若 线性无关，则与某个正交向量组等价.且等价证明 令 ； （为待定系数）， 要使正交基：由正交向量组构成的向量空间的基；定理 8 在中，若（线性无关），故从而取又从上式可得等价. 则要求成立表明（线性无关），故从而取又从上式可得等价. 则要求成立表明一般已求得正交向量组与等价.令 与上式两边作内积得： 用由于于是可求得即一般已求得正交向量组与等价.令 与上式两边作内积得： 用由易见是正交向量组，且由与等价及上式，可得与等价. 定理10 的证明给出了将一个线性无关的向量组正交化的步骤

11、：易见是正交向量组，且由与等价及上式，可得与等价. 定理10 如果再将正交向量组单位化，即令 则是与等价的标准正交向量组.如果再将正交向量组单位化，即令 化为与等价的标准正交向量组的过程称为施密特 （Schmidt）正交化方法.解 易见例 7 设 将化为的一个标准正交基。，故以下将正交化.由上述过程把一个线性无关的向量组化为与等价的标准正交向量组的过程称为施密特 （Schmidt则而且令（考虑为什么?)再令则即为的一个标准正交基.则而且令（考虑为什么?)再令则即为的一个标准正交基.例8 设求与的夹角以及与都正交的向量.解 设与都正交，由正交条件可得方程组：例8 设求与的夹角以及与都正交的向量.

12、设与都正交，由正交条解之得 定义6（正交矩阵）设 A 是方阵.若则称为 正交矩阵. 其中为任意实数.是正交阵当且仅当的列向量组为的单位正交基. 等价定义：事实上，设解之得 定义6（正交矩阵）设 A 是方阵.若则称为 正交矩阵，则 定理11 若都是阶正交阵，则12 也是正交阵；，则 都是阶正交阵，则12 也是正交阵；4证明 1显然；又由得也是正交阵； 3也是正交阵.取行列式得得也是正交阵.4证明 1显然；又由得也是正交阵； 3也是正交阵.取是正交阵的列向量组是标准正交的的行向量组标准正交.由 2 可得由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是正交阵：是正交阵的列向量组是标准正交的的行向量组标准正交.由

13、 2证明 因为是正交阵，由3，又 ，故例 9 设是正交阵，且 ,证明：（即是的特征值）证明 因为是正交阵，由3，又 ，故例 9 设是正交阵于是四. 实对称阵的对角化设，则其共轭向量为 若实矩阵A 满足，则称为实对称阵.于是四. 实对称阵的对角化设，则其共轭向量为 定理 4.1 实对称阵的特征值必为实数.定理 4.2 实对称阵的属于不同特征值的特征向量相互正交.定理 4.1 实对称阵的特征值必为实数.定理 4.2 定理 4.3 对于任意实对称阵 A，必存在正交矩阵，使得 若记则即为 的所有特征值. 定理 4.3 对于任意实对称阵 A，必存在正交矩推论 实对称阵的重特征值有个线性无关的特征向量，从而有个单位正交的特征向量.求正交矩阵使得为对角阵.例 10 设 解 即例1中的实对称阵，它的特征值为. 属于推论 实对称阵的重特征值有个线性无关的特征向量，从而的特征向量为，属于的特征向量为 又在例7中，我们得的标准正交特征向量组：的特征向量为，属于的特征向量为 又在例7中，我们得的标准正交令即所求的正交矩阵.且为对角阵.的特征