第三节导数的基本公式与运算法则课件

1、微积分讲义设计制作王新心10/14/2022微积分讲义设计制作王新心10/11/20223.3 导数的基本公式和运算法则（七）导数公式（一）函数的和、差、积、商的求导法则（二）复合函数的求导法则（三）反函数的求导法则（四）隐函数的求导法则（五）对数求导法则（六）由参数方程确定的函数的求导法则（八）综合杂例10/14/20223.3 导数的基本公式和运算法则（七）导数公式（第三章 导数与微分设（为常数）（一）函数的和、差、积、商的求导法则1、常数的导数10/14/2022第三章 导数与微分设（为常数）（一）函数的和、差第三章 导数与微分2、幂函数的导数设（为正整数），由二项式定理知以后可以证明，

2、为任何实数公式也成立。10/14/2022第三章 导数与微分2、幂函数的导数设（为正整数）3、代数和的导数第三章 导数与微分设可导，则也可导，且证明证毕.10/14/20223、代数和的导数第三章 导数与微分设此公式可以推广到有限个函数的情形第三章 导数与微分例1求函数的导数解10/14/2022此公式可以推广到有限个函数的情形第三章 导数与微分4、乘积的导数第三章 导数与微分设可导，则也可导，且证明10/14/20224、乘积的导数第三章 导数与微分设可第三章 导数与微分证毕.可导一定连续10/14/2022第三章 导数与微分证毕.可导一定连续10/11/2022第三章 导数与微分乘积公式可

3、以推广到有限个函数的情形特别地（为常数）例2求的导数解10/14/2022第三章 导数与微分乘积公式可以推广到有限个函数的情形5、商的导数第三章 导数与微分设可导，则也可导，且证明且10/14/20225、商的导数第三章 导数与微分设可导第三章 导数与微分可导一定连续可导一定连续证毕.10/14/2022第三章 导数与微分可导一定连续可导一定连续证毕.10/11第三章 导数与微分特别地（为常数）例3求的导数解10/14/2022第三章 导数与微分特别地（为常数）例3求第三章 导数与微分例4求的导数解10/14/2022第三章 导数与微分例4求的导数解10/6、对数函数的导数第三章 导数与微分设

4、10/14/20226、对数函数的导数第三章 导数与微分设10/11/7、三角函数的导数第三章 导数与微分（1）设连续同理可得（2）设10/14/20227、三角函数的导数第三章 导数与微分（1）设第三章 导数与微分（3）设同理可得（4）设10/14/2022第三章 导数与微分（3）设同理可得（4）设10/11第三章 导数与微分（5）设（6）设10/14/2022第三章 导数与微分（5）设（6）设10/11/202第三章 导数与微分例5求的导数解10/14/2022第三章 导数与微分例5求的导数第三章 导数与微分设是的一个复合函数若在处有导数则在对应点处有导数复合函数在点处的导数也存在，且或写

5、成（二）复合函数的求导法则10/14/2022第三章 导数与微分设是的一个复合函数若在第三章 导数与微分则所以故证明因为在点处可导，（当时，）所以证毕.可导一定连续10/14/2022第三章 导数与微分则所以故证明因为在点处可第三章 导数与微分此法则可推广到多个中间变量的情形若链式法则关键弄清复合函数结构，由外向内逐层求导10/14/2022第三章 导数与微分此法则可推广到多个中间变量的情形第三章 导数与微分例6求的导数解设例7求的导数解10/14/2022第三章 导数与微分例6求的导数解设第三章 导数与微分例8求的导数解例9求的导数解10/14/2022第三章 导数与微分例8求的导数解例9第

6、三章 导数与微分例10求的导数解10/14/2022第三章 导数与微分例10求的导数解1第三章 导数与微分例11求的导数解10/14/2022第三章 导数与微分例11求的导数第三章 导数与微分解例12设存在，导数求的10/14/2022第三章 导数与微分解例12设存在，导数求第三章 导数与微分证例13证明（为任意常数）证毕.10/14/2022第三章 导数与微分证例13证明（为任意常数）证第三章 导数与微分设在点处可导，且则又设反函数在相应点处连续，存在，且或（三）反函数的求导法则10/14/2022第三章 导数与微分设在点处可导，且则又设反函第三章 导数与微分证设反函数的自变量取得改变量时，

7、因变量取得相应的改变量，当时，必有，否则由得因为函数的变量是一一对应的，所以这与的假设相矛盾。10/14/2022第三章 导数与微分证设反函数的自变量取得改第三章 导数与微分因此，有当时，再由假设得当时，又由的连续性知，证毕.10/14/2022第三章 导数与微分因此，有当时，再由假设第三章 导数与微分反三角函数的导数（1）由于的反函数是10/14/2022第三章 导数与微分反三角函数的导数（1）由于第三章 导数与微分（2）同理可得（3）（4）10/14/2022第三章 导数与微分（2）同理可得（3）（4）1第三章 导数与微分解例14求的导数例15求的导数解10/14/2022第三章 导数与微

8、分解例14求的导数第三章 导数与微分（四）隐函数的求导法则且可导，设方程 确定了是的函数，并再利用复合函数的两边同时对求导，求导公式可求隐函数对的导数。10/14/2022第三章 导数与微分（四）隐函数的求导法则且可导，设第三章 导数与微分例16方程确定是的函数，求解方程两边同时对求导解得是的函数10/14/2022第三章 导数与微分例16方程确定是的函数第三章 导数与微分例17方程确定是的函数，求解方程两边同时对求导解得10/14/2022第三章 导数与微分例17方程确定是的函数第三章 导数与微分求其曲线上点处的切线和法线方程例18方程确定是的函数，解方程两边对求导得切线方程法线方程10/1

9、4/2022第三章 导数与微分求其曲线上点处的切线和法线方程第三章 导数与微分指数函数的导数设两边取对数，写成隐函数的形式两边对求导解得10/14/2022第三章 导数与微分指数函数的导数设两边取对数，写成第三章 导数与微分例19求函数的导数解例20求函数的导数解例21方程确定是的函数，求解方程两边对求导解得10/14/2022第三章 导数与微分例19求函数的导数解第三章 导数与微分（五）对数求导法则例22求函数的导数两边取对数，写成隐函数的形式两边对求导解得解此函数既不是幂函数也不是指数函数称其为幂指函数。不能用幂函数或指数函数的求导公式，10/14/2022第三章 导数与微分（五）对数求导

10、法则例22求函数第三章 导数与微分例23求函数的导数两边对求导解此函数若直接求导会很复杂。两边取对数（设）10/14/2022第三章 导数与微分例23求函数的导数第三章 导数与微分解得当时，当时，用同样的方法求导可得与上面相同的结果。10/14/2022第三章 导数与微分解得当时，当时，用同第三章 导数与微分（六）由参数方程所确定的函数的求导法则若参数方程确定是的函数，则称此函数关系为由参数方程所确定的函数。设有连续反函数又存在，且则有10/14/2022第三章 导数与微分（六）由参数方程所确定的函数的求导法第三章 导数与微分例24已知求解例25已知求解10/14/2022第三章 导数与微分例

11、24已知求解例25已知第三章 导数与微分（七）导数公式基本初等函数的导数公式10/14/2022第三章 导数与微分（七）导数公式基本初等函数的导数第三章 导数与微分说明在公式中均为常实数。10/14/2022第三章 导数与微分说明在公式中均为常实数。10/11/2第三章 导数与微分说明在公式中为常实数，运算法则均为函数。10/14/2022第三章 导数与微分说明在公式中为常实数，运算法则均为第三章 导数与微分（八）综合杂例例26设求解10/14/2022第三章 导数与微分（八）综合杂例例26设求解第三章 导数与微分例27设求解函数，求例28确定是的解整理得10/14/2022第三章 导数与微分

12、例27设求解函数，求例28第三章 导数与微分例29设求解当时，当时，当时，当时，10/14/2022第三章 导数与微分例29设求解当时，当第三章 导数与微分由上节例10知不存在，不存在，故有10/14/2022第三章 导数与微分由上节例10知不存在，不存在，故有1第三章 导数与微分例30已知可导，求解其中为常数10/14/2022第三章 导数与微分例30已知可导，求解其中第三章 导数与微分例31已知若求证证证毕.10/14/2022第三章 导数与微分例31已知若求证证证毕.10/第三章 导数与微分求当球半径时，例32设球半径以的速度等速增加，其体积增加的速度。解两边对时间求导当时（此题为相关变化率问题）10/14/2022第三章 导数与微分求当球半径时，例32设球半内容小结1.导数公式2.函数的求导法则3.隐函数求导法则4.对数求导法则作业P138 15-45第三章 导数与微分和、差、积、商反函数、复合函数由参数方程确定的函数10/14/2022内容小结1.导数公式2.函数的求导法则3.隐函数求导法备用题第三章 导数与微分1.已知则（2019）解10/14/2022备用题第三章 导数与微分1.已知则（2019）解1第三章 导数与微分2.已知可导，解（1）（1）求下列函数的导数（2）（2）10/14