2022学年28.3 实际问题与二次函数（2） 同步训练（解析版）

1、2022学年数学人教版九年级上册实际问题与二次函数（2）同步训练一、选择题12分有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A米B米C6米D7米【答案】B【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】设该抛物线的解析式为y=a2，在正常水位下=10，代入解析式可得4=a102a=故此抛物线的解析式为y=2因为桥下水面宽度不得小于18米所以令=9时可得y=-=米此时水深64=米即桥下水深米时正好通过，所以超过米时则不

2、能通过故答案为：B【分析】先根据建立的直角坐标系求得拱形桥抛物线的解析式，再求得桥下水面宽度为18米时，水位距拱顶的距离，从而求得正好通过时桥下的水深，即为所求答案22分如图，隧道的截面是抛物线，可以用y=表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（），小于8m【答案】A【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】把y=3代入y=中得：=4，=-4（舍去）每条行道宽应不大于4m故答案为：A【分析】根据已知：该隧道内设双行道，限高为3m，因此将y=3代入函数解析式求出的值，就可得出答案。32分如图所示，已知ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EFBC，交A

3、B于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为则DEF的面积y关于的函数图象大致为（）ABCD【答案】D【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】过点A向BC作AHBC于点H，所以根据相似比可知：，即EF=2（6-）所以y=2（6-）=-26（06）该函数图象是抛物线的一部分，故答案为：D【分析】过点A向BC作AHBC于点H，利用相似三角形的性质求出EF的长，再利用三角形的面积公式，表示出y与的函数解析式，并求出的取值范围，即可解答。42分已知点时水面宽4m水面下降1m，水面宽度为A2mB2mCmDm【答案】A【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】建立如图所示直角坐标系

4、：可设这条抛物线为y=a2，把点（2，2）代入，得2=a22，解得：a=，y=2，当y=3时，2=3解得：=，水面下降1m，水面宽度为2m故答案为：A【分析】将抛物线的顶点设为坐标原点，建立平面直角坐标系，由当拱顶离水面2m时水面宽4m，可得出抛物线上一点额坐标为（2，-2），利用待定系数法可求出函数解析式，再根据水面下降1m，就是将y=-3代入函数解析式，求出的值，然后求出的两个值的差的绝对值。二、填空题91分农贸市场拟建两间长方形储藏室，储藏室的一面靠墙（墙长30m），中间用一面墙隔开，如图所示，已知建筑材料可建墙的长度为42m，则这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为_m2【答案】14

5、7【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：设与墙平行的一边的长为m,则与墙垂直一边长为m，设储藏室的面积为s，根据题意得：S=-212147,30,当=21时，这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为147m2故答案为：147【分析】设与墙平行的一边的长为m,则与墙垂直一边长为m，设储藏室的面积为s，根据矩形的面积公式列出s与之间的函数关系式，根据函数特点即可得出答案。101分如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2则菱形OABC的面积是_【答案】【考点】菱形的性质，二次函数y=a2的性质【解析】【解答】菱形OABC的顶点

6、O、A、C在抛物线上，对角线OB在y轴上，且OB=2，由题意可得：A，C点纵坐标为1，故1=，解得：=，故A（，1），C（，1），故菱形OABC的面积是：2（2）=故答案为：【分析】菱形是轴对称图形，由OB=2，可得出点A、C的纵坐标为1，将y=1代入函数解析式，就可求出点A、C的坐标，再求出AC的长，然后根据菱形的面积等于两对角线之积的一半，可解答。111分已知二次函数y24a4a2a1a为常数，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”如图分别是当at1，at2，at3，at4时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的表达式是_【答案】y1【考点】二次函数与一次函数的综合应用

7、【解析】【解答】y=2-4a4a2a-1=（-2a）2a-1，抛物线顶点坐标为：（2a，a-1），设=2a，y=a-1，-2，消去a得，-2y=2，即y=-1故答案为：y=-1【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再用、y分别代表顶点的横坐标和纵坐标，消去a就可得出y与的关系式。121分如图，线段的长为2，为上一个动点，分别以、为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，那么长的最小值是_【答案】1【考点】解直角三角形，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】设AC=，则BC=2-，ACD和BCE分别是等腰直角三角形，DCA=45，ECB=45，DC=，CE=（2-），DCE=90，故DE2=DC2C

8、E2=2（2-）2=2-22=（-1）21，当=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1，故答案为：1【分析】设AC=，则BC=2-，由ACD和BCE分别是等腰直角三角形，利用解直角三角形可求出DC、CE的长，再在DCE中，利用勾股定理求出DE2与的函数关系式，然后利用二次函数的性质，可得出答案。131分如图，AB5，时，拱高为2m，一艘木船宽2m要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于，那么木船的高不得超过_m【答案】【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】以水面所在水平线为轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，

9、0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（2）（-2）代入点C坐标，求得a=-，即抛物线的解析式为y=-（2）（-2），令=1，解得y=，船顶与桥拱之间的间隔应不少于，则木船的最高高度为米故答案为：【分析】根据题意建立平面直角坐标系，分别得出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，求出=1时y的值，然后根据船顶与桥拱之间的间隔应不少于，就可求出木船的最高的高度。151分如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为0，2、1，0，顶点C在函数y2b1的图象上，将正方形ABCD沿轴正方向平移后得到正方形ABCD，点D的对应点D落在抛物线

10、上，则点D与其对应点D之间的距离为_【答案】2【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】如图，过C作GH轴，交轴于G，过D作DHGH于H，A（0,2），B（1,0）,OA=2,OB=1,四边形ABCD为正方形，ABC=90，AB=BC，ABOCBG=90，ABOOAB=90，CBG=OAB，AOB=BGC=90，AOBBGC，BG=OA=2，CG=OB=1，C（3,1）,同理得：BCGCDH，D（2,3）,C在抛物线的图象上，把C（3,1）代入函数y=2b-1中得：b=-，y=2-1，设D（，y），由平移得：D与D的纵坐标相同，则y=3，当y=3时，2-1=3，解得：1=4，2=-3（舍）

11、，DD=4-2=2，则点D与其对应点D间的距离为2，故答案为：2【分析】过C作GH轴，交轴于G，过D作DHGH于H，根据正方形的性质及已知条件，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，可证明AOBBGC，利用全等三角形的性质，可证得BG=OA=2，CG=OB=1，可得出点C的坐标，再证明BCGCDH，求出点D的坐标，然后根据平移的性质：D与D的纵坐标相同，则y=3，求出D的坐标，计算其距离即可。三、解答题1615分某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）2（1）求y与的函数表达式；（2）若改造后观花道的面积为13m2，求的值；（3）若要求1，求改造

12、后剩余油菜花地所占面积的最大值【答案】（1）解：y2（8）（6）21448（2）解：由题意，得214486813，解得：11，213（舍去）所以1（3）解：y21448（7）21因为a10，所以函数图像开口向上，当7时，y随的增大而减小所以当时，y最大最大值为答：改造后油菜花地所占面积的最大值为【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）根据题意可知剩余油菜花地所占面积y=两个直角三角形的面积之和，列出y与的函数解析式。（2）由y=13，建立关于的方程，解方程，可得出符合条件的的值。（3）根据（1）的y与的函数解析式，利用二次函数的性质，结合1，可求出y的最大值。1710分已知直

13、线l:y=1与抛物线y=2-4（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当=-2时，求OAB的面积【答案】（1）解：联立化简可得：2-（4）-1=0，=（4）240，故直线l与该抛物线总有两个交点；（2）解：当=-2时，y=-21过点A作AF轴于F，过点B作BE轴于E，联立解得：或A（1-，2-1），B（1，-1-2）AF=2-1，BE=12易求得：直线y=-21与轴的交点C为（，0）OC=1SAOB=SAOCSBOC=OCAFOCBE=OC（AFBE）=（2-112）=2【考点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）将两函数联立方

14、程组，利用加减消元法消去y，得到关于的一元二次方程，再证明b2-4ac0，就可解答。（2）将两函数解析式联立方程组，求出两函数的交点A、B的坐标，过点A作AF轴于F，过点B作BE轴于E，就可求出AF、BE的长，再求出直线AB与轴的交点坐标，然后根据SAOB=SAOCSBOC，计算可解答。185分如图，在等腰ABC中，AB=AC=4cm，B=30，点/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA-AC方向运动到点C停止，若B2），运动时间为（s），求在这一运动过程中y与之间函数关系式【答案】解：作AHBC于H，AB=AC=4cm，BH=CH，B=30，AH=AB

15、=2，BH=AH=2，BC=2BH=4，点/s，Q点运动的速度为1cm/s，点，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系（1）求抛物线的解析式（2）求两盏景观灯之间的水平距离【答案】（1）解：根据题意建立坐标系，如图所示：抛物线的顶点坐标为5，5，与y轴交点坐标是0，1，设抛物线的解析式是y=a525，把0，1代入y=a525，得a=，y=525010；（2）解：由已知得两景观灯的纵坐标都是4，4=525，52=1，1=，2=5所以两景观灯之间的水平距离为5米【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【分析】（1）以水面为轴，建

16、立平面直角坐标系，可得出此抛物线的顶点坐标及抛物线与y轴的交点坐标，设抛物线的解析式为顶点式，利用待定系数法，可解答。（2）根据桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，可得出两景观灯的纵坐标都是4，将y=4代入函数解析式，就可求出的值，再求出的两个值之差的绝对值。2022分如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4，抛物线顶点处到边MN的距离是4，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上（1）如图建立适当的坐标系，求抛物线解析式；（2）设矩形ABCD的周长为L，点C的坐标为（m，0），求L与m的关系式（不要求写自变量取值范围）（3）问这样截下去的矩形

17、铁皮的周长能否等于，若不等于，请说明理由，若等于，求出吗的值【答案】（1）解：MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm，N（4，0），顶点，0），BC=42m，DCm24m，L=2（BCDC）=2m24m8；（3）解：能等于，当L=2m24m8=，即2m24m=0，解得：m1=，m2=【考点】二次函数的应用，二次函数y=a（-h）2的性质【解析】【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，MN在轴上，点M在原点，就可得顶点的方程，解方程可解答。2110分仙游度尾文旦柚，是莆田四大名果之一，获得“国家地理标志保护产品”。近年来，在政府的指导下，该地果农大力种植文旦柚，取得了较好的经济收入。某果园有130棵柚子树，每棵树结150个柚子，现准备多种一些柚子树以提高果园产量，但如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少,根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结1个柚子。假设果园多种了棵柚子树（1）直接写出平均每棵树结的柚子个数n个与之间的关系；（2）果