运城学院参考数理方程二章1课件

1、第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。基本思想：适用范围：特点：令带入方程：令带入边界条件1 求两端固定的弦自由振动的规律一

2、 有界弦的自由振动令带入方程：令带入边界条件1 求两端固定的弦自由振动的规律一特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3） 令 ， 为非零实数 特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常2 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：2 解

3、的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,解：例2求下列定解问题解：例2求下列定解问题运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件初始条件初始条件若l=1,a=10时的震动。若l=1,a=10时的震动

4、。例3 求下列定解问题解：例3 求下列定解问题解：运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件例4 求下列定解问题令带入方程：解：例4 求下列定解问题令带入方程：解：运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件令令令带入方程：令例5 求下列定解问题解：令带入方程：令例5 求下列定解问题解：运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二

5、章1课件例6 求下列定解问题解：例6 求下列定解问题解：运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思若有界杆上的热传导（杆的两端绝热）若有界杆上的热传导（杆的两端绝热）分离变量流程图分离变量流程图三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件例7 求下列定解问题解：例7 求下列定解问题解：运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程

6、二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件例8 求下列定解问题解：例8 求下列定解问题解：运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件2 圆域内的拉普拉斯问题2 圆域内的拉普拉斯问题欧拉方程例9 求下列定解问题解：欧拉方程例9 求下列定解问题解：欧拉方程 令欧拉方程 令运城学院参考数理方程二章1课件例10 求下列定解问题解：例10 求下列定解问题解：欧拉方程 令欧拉方程 令其它为零其它为零例12 求下列定解问题解：例12 求下列定解问题解：运城学院参考数理方程二章1课件欧拉方程 欧拉方程 其他为零其他为零例13 求下列定解问题解：例13 求下列定解问题解：运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件例13 求下列定解问题解：例13 求下列定解问题解：运城学院参考数理方程二章1课件运城学院参考数理方程二章1课件