二次函数中平行四边形通用解决方法

1、-探究1在图 1 中，线段AB，CD，其中点分别为E，F。假设-1，0，则E点坐标； 假设-2，2-2，-1，则F点坐标；22 中，线段AB 的端点坐标为a，bBc，dABD标用含a，b，c，d归纳无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为中点为时；不必证明 运用在图2中，一次函数y=*-2与反比例函数的图象交点为。求出交点A，B 的坐标； 假设以 A，O，B，P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P 的坐标。以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题两个结论，解题的切入点标公式，我们

2、可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。线段中点坐标公式A *,yB *,yAB 的中点坐标为1122( x1 x2 , y1 y2 ).22证明 ： 如图 1，设 AB 中点 P 的坐标为(*,y).由*-*=*-*，得* x2 ，同理PPP12PP2yy1 y2 ，所以线段AB x2, y1 y2 ).P222平行四边形顶点坐标公式,y,y,y,y)，则：*+*=*+*；y+y=y+y.AABBCCDDACBDACBD1证明：如图2，连接、相交于点EAC的中点，ExxA2, y A yC ).2又点EBD的中点，ExB xD2, yB yD ).2*+*=*+*；y+y=y+y.ACBDA

3、CBD即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等一个根本领实，解题的预备知识图33，不在同一直线上的三点，在平面内另找一个点，使以D为.z.-顶点的四边形是平行四边形答案有三种：以ABAC1ABCDBC23两类存在性问题解题策略例析与反思三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题1例 1抛物线y=22*+(与y轴相交于点顶点为直线y=2 *-a分别轴、y轴相交于C两点，并且与直线AM相交于点填空：试用含a的代数式分别表示点MN的坐标，则(), 4，将NACyN与*轴交于点，连接a的值和四边形AD的面积；在抛物线y=2*+0上是否存在一点，使得以、N为顶点的四边形是平行四边形？假设

4、存在，求出点P419189解：(1(1a1(3a,-3a(2)a=-4 ；S四边形A=16 ；41(3)由条件易得(0(0-(3a,-3a).设(2).当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式解题时熟练推导出0 0a mm 53,1215 .a a am2 2maa 35581P(2 ,-8 )；1当以AN0 4 a 0 m3m 52115 aaam2 2maa 384当以为对角线时，得:0 4 a 0mm 13,2 .13aaam2 2maa 31782P(-2 ,8 ).25517在抛物线上存在点P2 ,8 P(2 8 )，使得以N为顶点的四边形是12平行四边形.3.2两个定点、两个动

5、点，探究平行四边形存在性问题例 2 如图 5，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.1求该抛物线的表达式；.z.-2点Qy轴上，点P在抛物线上，要使以点、B顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P1y=1 x 2 2 x 1 ；33(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q)；点P在抛物线上，P1 m 2 2 m 1).33尽管点Qy轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了当以AQ1当以BQ(4,5 )；23当以AB(2,-1).35123综上，满足条件的点P为PP(4,3 )、P(2,-1).123反思：y 轴或对称轴或*轴上，纵坐标为0

6、，则用平 yQ的纵坐标t例3如图6，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点1求抛物线的解析式；2MM的横坐标为的面积为S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；3假设点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标1易求抛物线的解析式为y=2 +*；2s=-440s=过程略；最大3尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程由题意知1由于点Q是直线y=-上的动点，设-)，把Q看做定点；设(,2 2+-4).当以OQ为对角线时，25 .Q25 ,2-25 )，Q25 ,2+25 )；12当以BQ为对角线时，s =-4，s =0(舍).126Q(-4,4)；3当以

7、OB为对角线时，s =4，s =0(舍).12Q(4,-4).4.z.-综上满足条件的点Q为Q25 ,2-25 )Q25 ,2+25 )QQ(4,-4).1234Q 是直线上的动点，设动点Q )，把Q 4问题总结用*如图，在平面直角坐标系中，RtAOB 的两条直角边OA、OB 分别在y 轴和轴上，并且OAOB*27*+12=0P 从点A 开场在线段AO 上以每秒lO 运动；同时，动点QB 开场在线段BA2速度向点A、Qt求A、B求当t，APQAOBQ当t=2 时，在坐标平面内，是否存在点M，使以PM形假设存在，请直接写出M如图，抛物线经过1，0，B5，0，C0，三点1求抛物线的解析式；2在抛物

8、线的对称轴上有一点P，使PA+PCP3点M 为*轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？假设存在，求点N 的坐标；假设不存在，请说明理由1*Oyy=2*+4y 轴交于ABC1y=*2+b*+c、B轴另一交点为C1求抛物线解析式及C 点坐标1211212121在以点M、Q、P、B 为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，直接写出P 点坐标；不存在， 请说明理由如图，在平面直角坐标系中，直线y=3*3 与*轴交于点A，与y 轴交于点C抛物线y=*2+b*+c 经过 A，C 两点，且与*轴交于另一点B点B 在点A 右侧1求抛物线的解析式及点B 坐标；.z.-2假设