《数字信号处理》学习指南

1、 NUMPAGES 43- PAGE 43数字信号处理学习指南课程名称：数字信号处理/Digital Signal Processing学时/学分：56/3.5（其中含实验8学时）一、课程的性质与任务本课程是电子信息与通信类本科生的主干必修课程。本课程是数字信号处理的经典课程，通过本课程的学习，要使学生获得时域离散时间信号和系统分析、离散时间信号和系统的频域分析、离散傅里叶变换（DFT）、离散傅里叶变换的快速算法（FFT）、数字滤波器的基本网络结构、无限冲激响应（IIR）滤波器的设计方法、有限冲激响应（FIR）滤波器的设计方法、数字信号处理的MATLAB、多采样率数字信号处理基础（选讲）等数字

2、信号处理的基本概念、基本理论、基本分析方法和基本实现方法，掌握数字信号处理的MATLAB实现方法，为本专业后续相关课程的学习及进一步学习现代数字信号处理的理论、方法以及应用技术打下基础。二、课程的教学内容组织安排 本课程教学主要分为四大模块，与课程章节相关的课程结构描述如下：教学组织、各模块内容及学时安排如下：第一部分 第1章 绪论 2学时（以下每个单元1学时）第1单元 绪论1第2单元 绪论2模块一：离散时间信号与系统的基本理论第二部分 第2章 时域离散时间信号与系统 4学时（以下每个单元1学时）第1单元 连续时间信号的采样第2单元 序列表示、常用序列、序列运算1第3单元 序列运算2、线性系统

3、第4单元 线性非移变系统、差分方程与滤波器第三部分 第3章 离散时间信号与系统的频域分析 8学时（以下每个单元1学时）第1单元 序列的傅里叶变换第2单元 傅里叶变换的性质第3单元 序列的Z变换第4单元 Z变换的基本性质和定理第5单元 逆Z变换第6单元 Z变换、傅里叶变换、拉普拉斯变换之间的关系第7单元 系统函数与频率响应第8单元 频率响应的几何确定法、最小相位系统、全通系统第四部分 模块一 习题课 2学时（以下每个单元1学时）第1单元 模块一 习题课1 综合举例第1单元 模块一 习题课2 综合举例模块二：离散傅里叶变换DFT及其快速算法FFT第五部分 第4章 离散傅里叶变换（DFT） 7学时（

4、以下每个单元1学时）第1单元 傅利叶变换的几种可能形式、离散傅里叶级数DFS的导出第2单元 DFS的反变换、DFS性质第3单元 周期卷积第4单元 离散傅里叶变换DFT的导出第5单元 DFT的物理意义、基本性质第6单元 DFT的对称性第7单元 圆周卷积与线性卷积、圆周相关第8单元 频率采样定理第六部分 第5章 快速傅里叶变换（FFT） 7学时（以下每个单元1学时）第1单元 直接计算DFT、运算量、算法思路第2单元 时间抽选的基-2FFT算法DIT-FFT第3单元 DIT-FFT蝶形图、运算量、算法特点第4单元 频率抽选基2-FFT算法DIF-FFT第5单元 DIF-FFT算法特点、IFFT第6单

5、元 N为复合数的FFT算法、N为实数的FFT算法、FFT编程思想第7单元 快速傅里叶变换的应用-快速卷积、谱分析第七部分 模块二 习题课 2学时（以下每个单元1学时）第1单元 模块二 习题课1 综合举例第2单元 模块二 习题课2 综合举例模块三：数字滤波器的结构、设计理论和设计方法第八部分 第6章 数字滤波器的基本网络结构 4学时（以下每个单元1学时）第1单元 数字滤波器定义、分类、结构的表示方法第2单元 无限长冲激响应（IIR）滤波器的基本网络结构第3单元 转置定理、有限长冲激响应（FIR）滤波器的基本网络结构第4单元 FIR滤波器线性相位结构、FIR滤波器频率取样结构第九部分 第7章 无限

6、长冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法4学时（以下每个单元1学时）第1单元 数字滤波器设计方法、模拟滤波器设计方法、冲激响应不变法第2单元 双线性变换法、频率变换设计法第3单元 数字滤波器网络结构和IIR数字滤波器设计的MATLAB实现第4单元 数字滤波器网络结构和IIR数字滤波器设计的MATLAB实现第十部分 第8章 有限长冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法4学时（以下每个单元1学时）第1单元 线性相位FIR滤波器特点、窗函数法设计FIR滤波器第2单元 窗函数法分析、频率采样设计法第3单元 窗函数与线性相位FIR数字滤波器的MATLAB实现第4单元 FIR数字滤波器设计的MATLAB实

7、现第十一部分 模块三 习题课 2学时（以下每个单元1学时）第1单元 模块三 习题课1综合举例第2单元 模块三 习题课2综合举例第十二部分 数字信号处理的MATLAB实现、总复习 2学时（以下每个单元1学时）第1单元 数字信号处理的MATLAB实现第2单元 课程总结复习模块四：数字信号处理实验第十三部分 数字信号处理实验 8学时（以下每个单元2学时）第1单元 实验1 离散信号与系统的时域分析第2单元 实验1 离散傅里叶变换DFT第3单元 实验3 快速傅里叶变换FFT及其应用第4单元 实验4 数字滤波器DF的设计三、课程学习的重点和难点时域离散时间信号和系统分析重点：连续时间信号的取样定理，离散时

8、间信号序列的各种表示方法，离散时间系统的线性、非移变、稳定性和因果性。难点：取样定理，离散时间系统的线性、非移变、稳定性和因果性判断。离散时间信号和系统的频域分析重点：序列的傅里叶变换DTFT及其性质，Z变换及收敛域，Z变换的基本性质和定理，逆Z变换，Z变换与拉氏变换、傅里叶变换之间的关系，系统函数与频率响应。难点：Z变换，Z变换与拉氏变换、DTFT之间的关系，利用系统函数和频率响应确定系统特性。3. 离散傅里叶变换（DFT）重点：傅里叶变换的四种形式及应用场合，利用离散傅里叶级数（DFS）导出离散傅里叶变换（DFT），DFT的物理意义及隐含的周期性，DFT的计算和基本性质。难点：DFT的导出

9、，DFT与DTFT、Z变换之间的关系，频域抽样。4. 离散傅里叶变换的快速算法（FFT）重点：直接计算DFT的问题及改进的基本途径，时间抽选和频率抽选的基-2FFT算法原理推导、流图、运算量、特点及两者的区别与联系，常用IDFT的快速算法（IFFT），N为复合数的FFT算法，实序列的FFT算法，FFT的编程思想，FFT的应用。难点：各种FFT算法原理推导和流图，IFFT，DFT对连续时间信号进行谱分析。5. 数字滤波器的基本网络结构重点：数字滤波器结构的方框图及流图结构表示，IIR滤波器的基本网络结构，FIR滤波器的基本网络结构。难点：线性相位FIR滤波器的特点和基本结构。6. 无限冲激响应（

10、IIR）滤波器的设计方法重点：一般数字滤波器的设计方法、技术要求，模拟滤波器的设计方法，用冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR数字低通滤波器，IIR滤波器的频率变换设计方法。难点：冲激不变法和双线性变换法的原理推导，数字巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器，以及数字高通、带通、带阻IIR数字滤波器的设计问题。7. 有限冲激响应（FIR）滤波器的设计方法重点：线性相位FIR滤波器条件、频率响应特点、零点位置，利用窗函数法设计FIR滤波器的原理，加窗处理产生的影响，各种窗函数的频谱，IIR与FIR数字滤波器比较。 难点：窗函数法设计FIR滤波器的原理及推导。8. 数字信号处理的MATLAB重点：离散时

11、间信号、线性非移变系统、时域分析、频域分析、Z域分析、DFT、FFT、IIR滤波器设计和FIR滤波器设计原理和方法。难点：上述原理和方法的MATLAB编程实现。9. 多采样率数字信号处理基础（选讲）重点：信号的整数倍抽取；信号的整数倍插值；用有理因子I/D的采样率转换；采样频率转换滤波器的实现等。难点：信号的整数倍抽取、插值，采样率转换方法和实现等。四、各章节学习要求、重难点学习指导第2章 时域离散时间信号与系统2.1 基本要求通过本章的学习，应该了解数字信号处理的学科内容、组成结构与基本实现方法；理解和掌握离散时间信号序列的时域运算方法和线性常系统差分方程的求解方法；重点掌握连续时间信号的采

12、样定理及其相关应用，以及离散系统的线性、非移变、稳定和因果特性。2.2 重点、难点学习指导2.2.1 一、信号的采样1. 离散时间信号通常是由连续时间信号经周期采样得到的。理想采样模型是实际采样的一种科学的本质抽象，同时可使数学推导得到简化，其比较如图2.1所示。图2.1 连续时间信号的实际采样和理想采样2. 理想采样脉冲序列为冲激函数序列，即 （2.1）则理想采样输出可表示为 （2.2）二、采样定理1. 理想采样信号的频谱是模拟信号频谱的周期延拓，延拓的周期为采样角频率，如图2.2所示。 （2.3）图2.2 理想采样信号的频谱2. 由图2.2分析可知，在信号的频带受限的情况下，要使采样后能够

13、不失真地还原出原信号，则采样频率应大于或等于信号最高频率的两倍，即 （2.4）此即奈奎斯特（Nyquist）采样定理。采样频率的一半称为折叠频率，信号最高频率两倍的采样频率（即）称为奈奎斯特频率。当采样频率不满足式（2.4）时，周期延拓后的频谱会产生“混叠”现象。三、信号的恢复如果采样信号的频谱不存在混叠，可让采样信号通过一个截止频率为的理想低通滤波器来提取基带频谱，可按采样内插公式从采样信号恢复原信号。2.2.2 一、序列及其表示1. 离散时间信号是指在离散时间变量（为整数）时有定义的信号。若它是从连续时间信号均匀抽样得到的，则在（为抽样周期，为整数）时刻的信号值定义为离散信号值，即 （2.

14、5）通常把在整个定义域内的集合构成的一组有序数列，称为数字序列或序列。2. 序列的表示方法有集合表示、闭合式表达形式及图形表示等，在分析离散时间信号问题时均经常使用。二、常用的典型序列1. 常用序列有单位取样序列、单位阶跃序列、矩形序列、实指教序列、正弦序列、复指数序列或、周期序列等。牢固掌握这些序列的定义、图形表示及相互关系是数字信号处理课程学习的基础。2. 分析上述序列之间的关系，如与之间的关系为 （2.6） （2.7） （2.8）若结合后续内容的学习，单位采样响应和单位阶跃响应之间也有类似的关系。3. 正弦序列和复指数序列的周期特性。当（为数字频率）为有理数时，为周期序列，否则为非周期。

15、三、序列的运算1. 序列作为自变量的函数可以做各种运算，这些运算是信号与信息处理中经常使用的处理方法。常用且重要的运算有序列的相加、相乘、数乘、位移、反摺、差分、累加、序列重排、卷积和、相关和求能量等。2. 序列运算的几何意义、物理意义和作用，如累加运算相当于一个数字积分器、卷积和运算可用来求解系统的零状态响应、对序列进行压缩或延伸等重新排列运算对其频谱产生的影响等。3. 任意序列都可以表示为单位取样序列的移位加权和，即 （2.9）2.2.3 离散时间系统是将输入序列变换成需要的输出序列的一种系统。 一、线性系统 满足叠加原理的系统称为线性系统。其一般表达式为 （2.10）二、非移变系统 若系

16、统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关，则称该系统为非移变（或非时变）系统。若，则 （2.11）三、线性非移变系统1. 一个既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统称为线性非移变系统，简称LSI系统。2. 线性非移变系统的卷积和表达式为 （2.12）3. 线性非移变系统满足交换律、结合律和分配律等性质。四、稳定系统1. 稳定系统是指对于每个有界输入，都产生有界输出的系统，即所谓BIBO系统。2. 稳定系统的判断：（1）如果（为正常数），有。（2）LSI系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即 （2.13）（3）利用系统函数的极点分布确定系统的稳定性。五、因果系统1. 因果系统是指输出的变化不

17、领先于输入的变化的系统，即因果系统是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的输入的系统。2. 因果系统的判断：（1）的输出只取决于的输入。（2）LSI系统因果的充要条件是 （2.14）（3）利用系统函数的极点分布确定系统的因果性。2.2.4 线性一个阶线性常系数差分方程的输入输出通常表示为 （2.15）一、线性常系数差分方程的求解求解差分方程的基本方法有时域（序列域）求解法和变换域求解法，概括为以下四种方法。 1. 经典解法。这种方法类似于连续时间系统中求解微分方程的方法，它包括求齐次解与特解，再由边界条件确定待定系数。2. 递推解法。递推解法又称迭代法，该方法比较简单，且适合用计算机求解，

18、但一般情况下只能得到数值解，特别对于阶数较高的差分方程更不容易得到闭合形式(公式)解答。3. 卷积和计算法。这种方法用于系统初始状态为零时的求解，一般不直接求解差分方程，而是先由差分方程求出系统的单位取样响应，再与已知的输入序列进行卷积运算，得到系统的输出，即零状态响应。4. 变换域方法。这种方法与连续时间系统的拉普拉斯变换法类似，是将差分方程变换到Z域进行求解，该方法简便有效。二、用差分方程表示滤波器系统差分方程可用来描述信号处理中常用的滤波器系统，通常系统包括加法、乘法和延迟3种基本运算。由差分方程可以得到系统的框图和流图结构。离散递归系统，其单位冲激响应是无限长的,这类系统也称为无限冲激

19、响应系统,简称为IIR系统或IIR数字滤波器。离散非递归系统的冲激响应长度是有限的，故称之为有限冲激响应系统，简称为FIR系统或FIR数字滤被器。第3章 离散时间信号与系统的频域分析3.1 基本要求通过本章的学习，学生应该理解和掌握数字序列的傅里叶变换DTFT、Z变换及其收敛域、逆Z变换、系统函数与频率响应等；重点掌握序列的DTFT和Z变换的基本性质和定理、Z变换与拉氏变换及傅里叶变换之间的关系，利用系统函数和频率响应确定系统特性等。3.2 重点、难点学习指导3.2.1一、序列傅里叶变换的定义 （3.1）反变换表示为 （3.2）二、傅里叶变换的性质离散时间信号的傅里叶变换的主要性质如表3.1所

20、示，表中和表示和的傅里叶变换。表3.1 序列傅里叶变换的主要性质性 质序 列傅里叶变换线性，、是常数时移调制复共轭反折时域卷积时域相乘乘以对称性帕塞瓦尔定理3.2.2 一、Z变换的定义及收敛域序列的Z变换定义为 （3.3）上式是幂级数的形式，能使Z变换收敛的的取值范围称为收敛域（ROC），Z变换存在的条件是该级数满足绝对可和，即 （3.4）满足上式的收敛域可表示为 （3.5）该收敛域为Z平面中的一个环域，可以小到零，可以大到无穷大。在Z平面上，使Z变换为零的点称为零点，使Z变换为无穷大的点称为极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中不包含极点，且收敛域都是以极点为边界的。二、几种序列的Z变换及

21、其收敛域1有限长序列有限长序列Z变换的收敛域通常为，是否包含边界，视有限长序列所处的区间而定。2. 右边序列右边序列Z变换收敛域为。因果序列是一种特殊的右边序列，它在时均为零，其收敛域包括，即；反之，如果右边序列Z变换的收敛域包含无穷大，则必为因果序列。3. 左边序列左边序列Z变换收敛域为。4. 双边序列双边序列的取值一直从到，即双边序列可看成是一个左边序列与一个右边序列之和，其收敛域为环形区域：；如果，则无收敛域，此时序列的Z变换不存在。常见序列的Z变换及其收敛域如表3.2所示。表3.2 一些常见序列的Z变换及其收敛域序 列变换收敛域13.2.3 ZZ变换的基本性质和定理如表3.3所示，表中

22、和表示和的Z变换，收敛域分别为和。表3.3 Z变换的性质和定理序 列Z变换收敛域，为因果序列为因果序列，为因果序列，的极点落在单位圆内部3.2.4一、幂级数法（长除法）将展开成幂级数的形式，幂级数的系数构成的逆Z变换。将展开成幂级数形式的常用方法有两种，一种是利用现有的幂级数公式，另一种是用长除法将有理函数展开。二、部分分式法先将展开成部分分式，然后求部分分式的逆变换。一般可利用表3.2所列出的简单序列Z变换的基本公式和表3.3所列出的Z变换的基本性质和定理进行计算。三、留数法如果在收敛域内是解析的，则可以展开成罗朗级数，即 （3.6）其中为展开为罗朗级数的系数，且有 （3.7）围线是收敛域内

23、包围原点的一条闭合曲线。就是的逆Z变换，即 （3.8）留数法需要判断极点所在位置的情况。3.2.5 一、Z变换与序列傅里叶变换之间的关系因为 （3.9）表示平面的单位圆，上式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。二、Z变换与拉普拉斯变换之间的关系平面到平面的多值映射关系如图3.1所示。采样序列的Z变换等于其理想抽样信号的拉普拉斯变换，即 （3.10）结合采样定理，可得 （3.11）图3.1 平面与平面的多值映射关系 三、序列Z变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例，即。采样信号的频谱是连续信号频谱以抽样频率进行周期延拓的结果，亦即采样序列的Z变换按进行映射的结果。

24、3.2.6系统函数系统函数定义为输入信号与输出信号Z变换的比值，即 （3.12）当输入为时，输出为系统的单位冲激响应。系统函数的实质就是单位冲激响应的Z变换，即 （3.13）如果的收敛域包含单位圆，则 （3.14）称为系统的频率响应。利用系统函数的极点分布确定系统因果性与稳定性系统因果、稳定与系统函数极点及收敛域的关系可归纳如下：（1）线性非移变系统稳定的充要条件是系统函数的收敛域包含单位圆。（2）线性非移变系统稳定的因果条件是系统函数的收敛域包含。（3）一个因果稳定的系统，其系统函数的极点必须在单位圆内。（4）一个因果稳定的系统，其系统函数的收敛域一定从单位圆内到无穷大处。全通系统如果系统的

25、幅度特性满足 （3.15）称该系统为全通系统。信号通过全通系统时只有相位上的改变，而无幅度上的变化，因此全通系统是一个纯相位调节系统，全通系统通常用作相位校正。第4章 离散傅里叶变换（DFT）4.1 基本要求通过本章的学习，应该理解和掌握离散傅里叶级数DFS及其性质、离散傅里叶变换DFT变换、频域抽样等；重点掌握傅里叶变换的四种形式及其应用场合、如何利用DFS导出离散傅里叶变换、DFT的性质、DFT的物理意义及隐含的周期性、DFT与DTFT及Z变换之间的关系。4.2 重点、难点学习指导4.2.1 连续非周期时间信号的傅里叶变换FT若连续非周期信号为，则其傅里叶变换及其反变换可表示为 （4.1）

26、 （4.2）其时域函数是连续的、非周期的，频域函数也是连续的、非周期的。二、 连续周期时间信号的傅里叶变换傅里叶级数FS一个周期为的连续时间信号，展开成离散傅里叶级数的系数及其反变换可表示为 （4.3） （4.4）其时域函数是连续的、周期的，频域函数是离散的、非周期的。离散非周期时间信号的傅里叶变换序列的傅里叶变换DTFT对离散非周期的信号，其频谱及其反变换可表示为 （4.5） （4.6）其时域函数是离散的、非周期的，频域函数是连续的、周期的。离散周期信号的傅里叶变换离散傅里叶级数DFS由上述分析可得出：对于傅里叶变换，如果一个域（时域或频域）是连续的则另一个域（频域或时域）必是非周期的；如果

27、一个域（时域或频域）是离散的则另一个域（频域或时域）必是周期的。由此可得出傅里叶变换的第四种形式，时域离散频域也离散的傅里叶变换，即离散傅里叶级数，以便于计算机进行处理，同时也是本课程研究的重点。4.2.2 一、离散傅里叶级数周期为的周期序列，离散傅里叶级数及其反变换可表示为 DFS （4.7） IDFS （4.8）离散傅里叶级数的性质1线性 DFS2时移特性 DFS3频移特性 IDFS4周期卷积 IDFS周期卷积与线性卷积的计算步骤类似，但周期卷积不同于线性卷积，它们之间的区别主要有以下几点：（1）周期卷积运算中两序列都是周期的，卷积的结果也是周期序列；而线性卷积的两序列是有限长（或无限长）

28、的，卷积的结果也是有限长（或无限长）的。（2）周期卷积的求和只在序列的一个周期上进行；而线性卷积的求和在整个序列上进行。4.2.3 一、离散傅里叶变换的导出把一个长度为的有限长序列，以为周期进行周期延拓，形成周期序列，然后求的离散傅里叶级数，再取出的一个周期，这样就相当计算了有限序列的离散频谱。定义有限长序列的离散傅里叶变换为DFT， （4.9）的反变换定义为 IDFT， （4.10）离散傅里叶级数与离散傅里叶变换都有个独立的值，所以在信息上等量的，因此在本质上是一致的。离散傅里叶变换的物理意义及隐含的周期性1DFT的物理意义DFT与DTFT及Z变换之间的关系如下： （4.11） （4.12）

29、 （4.13）离散傅里叶变换是的频谱在上的点等间隔采样，是对序列频谱的离散化，此即DFT的物理意义。既然离散傅里叶变换是对序列频谱的点等间隔采样，那么当变换区间不同时，所得的结果是不一样的，当越大表示采样的谱线越密，的包络线就越逼近曲线。2DFT隐含的周期性（1）DFS的周期性决定DFT具有隐含的周期性；（2）的周期性决定DFT具的周期性。4.2.4 线性如果，则DFT （4.14）二、复共轭序列DFT有限长复数序列，其共轭序列的离散傅里叶变换DFT （4.15）三、序列的圆周移位定理1圆周移位序列可定义为 （4.16）2圆周移位定理若的离散傅里叶变换为，圆周移位以后的离散傅里叶变换为，则有

30、（4.17）四、DFT的对称性长度为的有限长序列，共轭对称序列为 （4.18）圆周卷积1圆周卷积的定义圆周卷积也称为循环卷积，若、的离散傅里叶变换分别为、，且有，则 IDFT （4.19）式（4.19）为圆周卷积的定义，记为。2. 圆周卷积的计算圆周卷积与周期卷积的卷积过程一样，具体步骤如下：第一步：在哑元坐标上做出与；第二步：把沿着纵坐标翻转，得；第三步：对做圆周移位，得；第四步：与对应相同的的值进行相乘，并把结果相加，得到对应于自变量的一个；第五步：换另一个，重复三、四步，直到取遍到所有的值，得到完整的。3. 圆周卷积与周期卷积和线性卷积（1）有限长序列圆周卷积结果的周期延拓，等于它们周期

31、延拓后的周期卷积；亦即周期卷积的主值序列，是各周期序列主值序列的圆周卷积；周期卷积得到是周期序列，圆周卷积得到的是有限长序列，而且长度等于参加卷积的序列的长度。（2）与点的圆周卷积，是与的线性卷积以为周期进行周期延拓，然后再取主值序列的结果。利用用圆周卷积计算线性卷积的条件，即是圆周卷积的长度必须满足 （4.20）否则周期延拓会发生混叠。帕塞瓦尔（Pavseval）定理 （4.21）4.2.5离散傅里叶变换的实质是序列的傅里叶变换在区间上的等分采样值。是的周期延拓，是序列单位圆上的Z变换，所以的实质是序列的Z变换在单位圆上的等分采样值，这样就实现了频域的采样。对于长度过的有限长序列，频域采样不

32、失真恢复出的条件是序列的长度小于等于频域采样的点数，这就是频率采样定理。第5章 快速傅里叶变换（FFT）5.1 基本要求通过本章的学习，应该理解和掌握直接计算DFT的运算量及其改进措施、基-2FFT算法、离散傅里叶反变换的快速算法（IFFT）、为复合数的快速离散傅里叶变换、快速傅里叶变换编程思想及实现等；重点掌握按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)算法原理、DIT-FFT的运算量、DIT-FFT算法的特点、为4,6,8,9,12,16等的算法推导、蝶形图、各级运算结果及其分析等，利用快速傅里叶变换进行卷积运算、利用DFT对连续时间信号进行谱分析等。5.2 重点、难点学习指导5.2.1

33、一、算法原理设，时域下的序列按序列的奇偶分组，频域下序列按序号前后分组。时域蝶形运算流图如图5.1所示，点的蝶形流图如图5.2所示。图5.1 DIT-FFT蝶形运算流图图5.2 时的DIT-FFT蝶形图DIT-FFT的运算量直接计算DFT与DIT-FFT的复数乘法的运算量之比为 （5.1）越大，DIF-FFT的运算量就减少的越多，FFT的优越性就更加突出。三、DIT-FFT算法的特点1原位运算蝶形运算的关系式可表示为 （5.2） 2倒序规律倒序的形成的原因是FFT不断对序列进行奇偶分组造成的，重新排列了序列的存放顺序，因此它是按码位倒置顺序排放的。3蝶形运算两结点之间的“距离”第一级蝶形每个蝶

34、形运算两结点之间的“距离”为1，第二级每个蝶形运算两结点之间的“距离”为2，第三级每个蝶形运算两结点之间的“距离”为4。由此类推，对于的DIT-FFT，可以得出第级蝶形每一个蝶形运算两结点“距离”为。4旋转因子的变化规律对于第级蝶形，旋转因子的指数， 5.2.2一、算法原理序列的长度满足，在时域下对输入前后分组，输出按其顺序奇偶进行分组。点的蝶形流图如图5.3所示。图5.3 时的DIF-FFT蝶形图二、DIT-FFT与DIF-FFT的区别与联系DIT-FFT的运算规律实质是在时域不断奇、偶分组，DIF-FFT是在频域不断奇、偶分组，从时域与频域的对偶性就可推断它们之间的联系，从蝶形图的结构上来

35、看两种算法也很相似，总结以下：（1）DIF-FFT输入是自然顺序，输出是倒序；而DIT-FFT则恰好相反，输入是倒序，输出是自然顺序。（2）DIT-FFT的蝶形运算是先乘以旋转因子，后进行加减运算；而DIF-FFT蝶形运算则是先进行加减运算，后乘以旋转因子。（3）DIT-FFT与DIF-FFT的运算量完全相同，需要 次复数乘法， 次复数加法。（4）DIT-FFT与DIF-FFT互为转置。需要说明的是，这两种运算的蝶形图都不是唯一的，只要保证各支路传输系数不变，改变输入与输出结点以及中间结点的排列顺序，就可以得到其它变形的FFT蝶形图。5.2.3 只要将DFT运算式的旋转因子由变成，最后再乘以，

36、就得到IDFT的运算式。所以就可以用前面讨论的FFT的算法来计算IDFT，只不过这个时候蝶形图的输入是，输出是。在实际运算中，为了防止溢出，经常将常数分配到各级运算之中，所以每一级蝶形的每一个输出支路都有一个的系数。如果想直接调用FFT的程序来计算IDFT，则可以通过以下两种方法。方法1：先将取共轭，然后直接调用FFT程序，再对运算结果取共轭，并乘以常数，就可以得到时域下的。 （5.3）方法2：令 DFT计算 = （5.4）即先调用FFT程序计算的DFT，然后把运算结果翻褶后平移位，最后再乘以常数，就得。5.2.4 为复合数的FFT算法在实际中往往不满足的条件，一种方法是对序列补零，使频域的抽

37、样点增加，谱线变密，但不会影响它所对应的频谱的形状。当为复合数时，采用复合数的算法，将点DFT分解成个点的DFT或个点的DFT来计算。5.2.5一、一个点FFT去计算两个点实序列DFT设与都为点实数序列，且，则离散傅里叶变换与分别表示为 二、点FFT计算一个点实序列的DFT将一个点的实序列，分解成偶数组与奇数组， 按时间抽取的FFT算法原理，有 5.2.6一、利用FFT计算线性卷积其原理框图如图5.4所示。在实际应用中，常遇到的问题是参与卷积的两个序列的长度相差较大，这样长度小的序列就需补很多的零点，需要大的存储量，运算时间也会变长。常用的解决方法有两种，一是重叠相加法，另一种是重叠保留法。图

38、5.4 用FFT来计算线性卷积二、利用DFT对连续时间信号进行谱分析谱分析的原理DFT的快速算法FFT给频谱分析提供了快速分析方法。对连续函数、傅里叶变换、采样信号、傅里叶变换或、离散信号与其DFT的示意图如图5.5所示.图5.5 用FFT进行谱分析的原理图参数选择按照采样定理，假设所处理的模拟信号的最高频率为，为了不产生混叠，采样频率应该满足 （5.5）从而采样周期应满足 （5.6）对在区间上进行点采样，采样间隔（频率分辨率）满足 （5.7）记录长度满足 （5.8）采样点数必须满足 （5.9）计算幅度谱、相位谱和功率谱 （5.10） （5.11） （5.12）第6章 数字滤波器的基本网络结构

39、6.1 基本要求通过本章的学习，应该理解和掌握数字滤波器结构的方框图及流图结构表示方法、无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器的基本网络结构、数字滤波器的格型结构等；重点掌握IIR滤波器的典范型、级联型和并联型网络结构、FIR滤波器的直接型网络结构、线性相位FIR滤波器的特点和基本结构等。6.2 重点、难点学习指导6.2.1一、数字滤波器的功能和特点数字滤波器，通常是指一种算法，或一种数字处理设备，它的功能是将一组输入的数字序列经过一定的运算后变换为另一组输出的数字序列。与模拟滤波器相比，数字滤波器具有精度高、稳定性高、设计灵活、便于大规模集成和可以实现多维滤波等优点。

40、二、数字滤波器的种类从频域特性上看，有低通、高通、带通和带阻之分；从结构上来看，数字滤波器可以分为递归型（IIR）与非递归型（FIR）两大类等。三、数字滤波器的表示方法数字滤波器可用差分方程、单位取样响应、系统函数和频率响应等方式来表示，而且还可利用系统框图和信号流图表示。数字滤波器用描述输入输出关系的常系数线性差分方程可表示为 （6.1）用系统函数表示为 （6.2）实现一个数字滤波器需要三个基本的运算单元加法器、单位延迟器和常数乘法器，这些基本单元可以有两种表示法方框图法和信号流图法。利用信号流图表示滤波器的结构，可以一目了然地得到系统的运算步骤、乘法运算和加法运算的次数以及所用存储单元的数

41、量等等。不同结构所需的存储单元和乘法次数是不同的，前者影响复杂性，后者影响运算速度。此外，在有限精度（有限字长）情况下，不同运算结构的误差、稳定性是不同的。6.2.2一、直接型结构由式（6.1）和式（6.2）可得IIR滤波器的直接型结构如图6.1所示。该网络可看作是两个子系统的级联：第一级实现的是系统各零点，第二级实现的是系统各极点，并且直接型结构需要个延迟器和个乘法器。图6.1 阶IIR系统直接型流图二、直接型结构将图6.1的零极点实现次序对换，可先实现极点再实现零点，且把延时单元合并成，则构成了图6.2所示的直接型结构，这是阶滤波器所需的最少延时单元，故又称典范型结构。图6.2 阶IIR系

42、统直接型流图三、级联型结构如果将阶IIR系统函数分解成二阶因式连乘积，可被看成全部由实系数二阶子系统的级联形式构成，即 （6.3）每个二阶基本节子系统可用直接型来实现。该结构的主要优点是存储单元少，二阶基本节搭配灵活，滤波器的性能可通过分别调整单独的零、极点的分布而得到控制。四、并联型结构IIR滤波器的并联结构形式是基于对的部分分式展开来实现，即 （6.4）其并联构成如图6.3所示，其主要优点是有较高的运算精度，可控制极点，各子系统的误差互不影响。图6.3 IIR系统的并联结构形式五、转置型结构如果将原网络中所有支路的方向加以反转，支路增益保持不变，并将输入和输出相互交换，则网络的系统函数不会

43、改变。利用网络的转置定理，可以将以上讨论的各种结构进行转置处理，从而得到各种网络转置结构。6.2.3 一、直接型结构FIR系统的系统函数和差分方程分别表示为 （6.5） （6.6）其直接型结构如图6.4所示，式（6.6）是LSI系统的卷积和公式，该结构又称为卷积型结构，有时还称为横截滤波器结构。图6.4 FIR系统的直接型结构二、级联型结构如果将分解成二阶因子的乘积，则得到FIR系统的级联结构为 （6.7）级联结构的主要特点是零点可以分别控制。三、快速卷积型FIR系统的是有限时宽序列，因而可用FFT技术来实现快速卷积，如图6.5所示。图6.5 FIR系统的快速卷积型结构四、线性相位FIR滤波器

44、的结构FIR系统最大特点之一就是能够做成严格的线性相位。所谓线性相位特性是指滤波器对不同频率的正弦波所产生的相移与正弦波的频率成线性关系。具有线性相位的因果FIR滤波器的单位冲激响应具有式（6.8）所示的偶对称或奇对称性质，其对应如图6.6和图6.7所示。 （6.8）为奇数和偶数时的线性相位滤波器的直接结构流图分别如图6.8和图6.9所示。图6.8 为奇数时线性相位FIR滤波器的直接型结构图6.9 为偶数时线性相位FIR滤波器的直接型结构五、频率取样型结构频率取样结构形式是FIR系统所特有的，它是用单位圆上的频率取样值来描述系统函数并构造出对应的结构。第7章 无限长冲激响应(IIR)滤波器的设

45、计方法7.1 基本要求通过本章的学习，应该理解和掌握数字滤波器的技术要求及设计方法、常用巴特沃斯（Butterworth）滤波器和切比雪夫（Chebyshev）滤波器的特性等；重点掌握用冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR数字低通滤波器的变换原理、幅频和频率变化分析、模拟滤波器的数字化方法，以及两种方法的优缺点和应用场合比较，同时掌握IIR数字滤波器的频率变换法设计高通、带通、带阻数字滤波器等。7.2 重点、难点学习指导7.2.1 一般一、数字滤波器的技术要求实际中通常使用的数字滤波器一般属于选频滤波器，数字滤波器的频率响应可表示为| （7.1）|称为幅频特性，称为相频特性。本章主要研究由幅

46、频特性提出指标的选频滤波器的设计。在一般情况下，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征，如图7.1所示。图7.1 理想低通滤波器逼近的误差容限和分别称为通带截止频率和阻带截止频率，通带内允许的最大衰减和，阻带内允许的最小衰减用分别定义为 dB (7.2) dB (7.3)将|归一化为l，则表示成 dB (7.4) dB (7.5)当幅度下降到时，此时=3dB，对应为3dB通带截止频率。二、数字滤波器的设计方法实际中的数字滤波器设计都是用有限精度算法实现的线性非移变系统，一般的设计内容和步骤包括：（1）根据实际需要确定数字滤波器的技术指标。例如滤波器的频率响应的幅度特性和截止频

47、率等。（2）用一个因果稳定的离散线性非移变系统的系统函数去逼近这些性能指标。具体来说，就是用这些指标来计算系统函数。（3）利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构、进行误差分析和选择合适的字长等。（4）实际的数字滤波器实现技术，包括采用通用的计算机软件或专用的数字滤波器硬件来实现，或采用通用或专用的数字信号处理器（DSP）来实现。7.2.2 为了从模拟滤波器出发设计IIR数字滤波器，必须将数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，即先设计对应的模拟原型滤波器。一、巴特沃斯（Butterworth）滤波器 巴特沃斯滤波器的特点是具有通带内最大平坦的幅度特性，而且随着频率的升高而单调

48、地下降，其幅度平方函数可写成 （7.6）巴特沃斯滤波器幅度特性随阶数的变化关系曲线如图7.2所示。图7.2 巴特沃斯滤波器幅度特性及其与的关系巴特沃斯滤波器幅度平方函数可写成 （7.7）该滤波器零点全部在处，在有限平面只有极点，因而属于“全极点型”滤波器。幅度平方函数的各极点表示为 （7.8）共有个极点，它们等角度地分布在平面半径为的巴特沃斯圆周上，极点间的角度间隔为弧度。左半平面的极点即为所求的极点，因而 （7.9）二、切比雪夫（Chebyshev）滤波器切比雪夫滤波器的幅度特性具有等纹波特性。它有两种型式，切比雪夫型滤波器在通带内为等纹波的，在阻带内是单调的；切比雪夫型滤波器在通带内是单调

49、的，在阻带内是等纹波的。在实际应用中，可根据具体要求来确定采用何种型式的切比雪夫滤波器。图7.3和图7.4分别给出了为奇数与为偶数时的切比雪夫型、型滤波器的幅度特性。图7.3 切比雪夫型滤波器的幅度特性（通带纹波2dB）图7.4 切比雪夫型滤波器的幅度特性切比雪夫型滤波器的幅度平方函数为 （7.10）式中为小于1的正数，是与通带波纹有关的参量，值愈大通带波动愈大；为对频率的归一化频率，为有效通带截止频率；是阶切比雪夫多项式，定义为 （7.11）在实际设计中，根据给定的指标确定切比雪夫滤波器特性的三个基本参数：及。7.2.3 利用模拟滤波器成熟的理论和设计方法来设计IIR数字滤波器是最常用的方法

50、。其设计过程如下：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数，再按一定的转换关系将转换成数字低通滤波器的系统函数，即将平面上的映射到平面上的。为了保证转换后的稳定且满足技术要求，该映射变换关系，必须满足以下两个基本条件：（1）因果稳定的应能映射成因果稳定的，亦即平面的左半平面（）必须映射到平面单位圆的内部（|）。（2）的频率响应要能模仿的频率响应，即平面的虚轴必须映射到平面的单位圆上，亦即频率轴要对应，使相应的频率之间成线性关系。 一、冲激响应不变法变换原理该方法使数字滤波器的单位冲激响应序列模仿模拟滤波器的单位冲激响应。将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔的抽样，使正好

51、等于的抽样值，即满足 (7.12)其中为抽样周期。由的拉普拉斯变换与的变换关系可得 (7.13)该式反映了是和的周期延拓之间的变换关系，故冲激响应不变法从平面到平面的映射不是简单的单值映射关系，这正是采用该方法设计的数字滤波器频率响应产生混叠失真的根本原因。二、混叠失真用冲激响应不变法得到的数字滤波器频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 (7.14)即数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。如果模拟滤波器在折叠频率以上的频率响应衰减越大、越快，那么这种混叠失真就越小，采用冲激响应不变法设计的数字滤波器才能满足精度的要求，此时有 | （7.15）三、模拟滤波器的数字化方法冲激响应

52、不变法最适合于可以用部分分式表示的模拟系统函数，设计IIR数字滤波器的具体步骤如下：（1）将展开成部分分式 （7.16）对求拉氏反变换得 （7.17）（2）求数字滤波器的单位冲激响应 （7.18）（3）对求变换，即得数字滤波器的系统函数 （7.19）由于数字滤波器频率响应与抽样间隔成反比，如果抽样频率很高，即很小，则数字滤波器具有不希望有的高增益，因而希望数字滤波器的频率响应不随抽样频率而变化，故作以下简单修正，令，则有 （7.20）四、映射前后的极点和稳定性分析经冲激响应不变法映射后，与的部分分式的系数是相同的；平面的单极点变换到平面上处的单极点；如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点位于平面的

53、左半平面，变换后的的全部极点都在单位圆内，因此数字滤波器也是稳定的。五、优缺点和应用场合分析 冲激响应不变法使得数字滤波器的能完全模仿模拟滤波器的，亦即时域逼近良好，且模拟频率和数字频率之间呈线性关系，因此频率之间不存在失真。但由于映射不是简单的代数映射，从而使所设计的数字滤波器的幅频响应产生失真，所以冲激响应不变法仅适用于基本上是限带的低通或带通滤波器；对于高通或带阻滤波器不宜采用冲激响应不变法，否则要加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，以避免混叠失真；对于低通和带通滤波器，需充分限带，当阻带衰减越大时，混叠失真越小。7.2.4 一、变换原理该变换完成平面与平面之间的单值映射关系，定义

54、为 （7.21） （7.22）二、逼近情况分析该变换平面的左半平面映射到平面的单位圆内，平面的右半平面映射到平面的单位圆外，平面的虚轴映射到平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。三、模拟滤波器的数字化可由模拟系统函数通过代数置换的方式直接得到数字滤波器的系统函数，即 （7.23）频率响应也可直接置换得到 （7.24）四、优缺点分析双线性变换法最大的优点是避免了冲激响应不变法幅频响应的混叠失真，但模拟角频率与数字角频率之间的变换为非线性关系，如式（7.22）所示。这种频率标度之间的非线性在高频段较为严重，而在低频段接近于线性，所以按式（7.21）和（

55、7.22）设计的低通数字滤波器的频率特性能够较好地逼近模拟滤波器的频率特性。对于分段常数的滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但各个分段边缘的临界频率应采用预畸变方法来补偿非线性失真。7.2.5一、高通、带通和带阻等IIR数字滤波器的设计方法一种方法是首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换成所需要的模拟高通、带通或带阻滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换法变换成相应的数字高通、带通或带阻滤波器。该方法的缺点是有混叠失真，因此不能用于高通或带阻滤波器的设计。第二种方法是先设计了一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤

56、波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。二、频率变换设计从数字原型低通滤波器变换到数字高通、带通或带阻滤波器的设计过程，类似于双线性变换方法。设是数字原型低通滤波器的系统函数，是所要求的滤波器的系统函数。为了得到稳定和因果的变换，要求（1）平面到平面的映射必须是的有理函数；（2）平面的单位圆内部映射到平面的单位圆内部。若和分别表示平面和平面的频率变量，即。表7.1从平面的低通滤波器变换成平面的高通、带通或带阻滤波器的变换公式和有关参数的计算。表7.1 频率变换公式和有关参数的计算滤波器原型变换公式有关设计公式低 通要求的截止频率高 通要求的截止频率带

57、 通要求的上、下截止频率带 阻要求的上、下截止频率第8章 有限长冲激响应(FIR)滤波器的设计方法8.1 基本要求通过本章的学习，应该理解和掌握线性相位FIR滤波器的特点、线性相位条件、线性相位FIR滤波器的频率响应特点、FIR滤波器的频率抽样法设计方法等；重点掌握利用窗函数法设计FIR滤波器的设计原理、加窗处理产生的影响、各种窗函数的特点、窗函数法的设计步骤等。8.2 重点、难点学习指导8.2.1 线性相位FIR滤波器的FIR系统最大特点之一就是能够做成严格的线性相位。FIR滤波器的线性相位条件、频率响应及幅频特特性可归纳如表8.1所示。表8.1 四种线性相位FIR滤波器的特性8.2.2 利

58、用窗函数法设计一、设计原理窗函数设计法也称为傅里叶级数法。窗函数法的设计原理是将理想低通滤波器的无限长冲激响应序列进行加窗截短，用得到的有限长序列逼近理想低通滤波器。理想滤波器频率响应的单位取样响应可表示为 （8.1）要用有限长的来逼近无限长的，最有效的方法是用一个有限长度的窗口函数序列来截取，即 （8.2）二、加窗处理产生的影响按照复卷积公式，所设计的低通滤波器的频率响应为 （8.3）理想低通滤波器频率响应为 （8.4）因而逼近的好坏，完全取决于窗函数的频率特性。加窗处理对理想频率响应产生以下几点影响：加窗处理使理想频率特性在不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度； 在截止频率的两边肩峰，并在其两侧形成起伏振荡，