三角形全等的判定

三角形全等的判定（第4课时）

前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形.

因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了．

如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？思考

仿照前面对三角形全等条件的探究过程，你能解决这个问题吗？

如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′＝∠C＝90°，A′B′＝AB，B′C′＝BC，这两个三角形全等吗？探究

如图，由∠C′＝∠C＝90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A′与射线CA重合，那么射线C′B′与射线CB重合.再由B′C′＝BC,可知点B′与点B重合.

为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.设点M在直角边AC（不包括端点）上，连接BM，则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交与点M′,则有AB＞BM′＞BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得可得BN＞AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A′在射线CA上，A′B′＝AB.可知A′与点A重合.这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′≌△ABC.归纳

由前面的操作可以得到判定两个直角三角形全等的方法：斜边和一直角边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．“HL”是仅适用于直角三角形全等的特殊判定方法．仔细观察下面的动图，感受“HL”的探究过程．仔细观察下面的动图，感受“HL”的探究过程．

例1如图，已知BC＝AD，∠C＝∠D＝90°．求证：Rt△ABC≌Rt△BAD．证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC，△BAD是直角三角形．在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．ABCD

你能根据例1的解题过程，总结出利用“HL”

证明三角形全等需要注意什么吗？（1）两个三角形必须都是直角三角形（2）带“Rt△”，且大括号中含两个条件（3）结论带“Rt△”证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC，△BAD是直角三角形．在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．归纳

直角三角形全等的判定方法（1）用“HL”：当两个三角形是直角三角形时，首先考虑“HL”；（2）可以作为一般三角形，用“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”进行判定．

（1）“HL”

只适用于直角三角形，因此在应用“HL”时，“直角三角形”是前提条件．（2）判定一般三角形全等的方法在直角三角形中同样适用:

①当有两条直角边分别对应相等时，用“SAS”来判定两个直角三角形全等；

②当有一条边与一个锐角分别对应相等时，用“ASA”或“AAS”来判定两个直角三角形全等．

例2

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD．分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC＝AD.由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件.

例2

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD．证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C＝∠D＝90°．在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴BC＝AD．

例3

如图，已知

AD为△ABC的高，E为

AC上一点，BE交AD于点

F，且有

BF＝AC，FD＝CD．求证：BE⊥AC．

分析：要证

BE⊥AC，可证∠C+∠1＝90°，而∠2+∠1＝90°，只需证∠2＝∠C，从而转化为证明它们所在的△BDF与△ADC全等．由条件知，在Rt△BDF与Rt△ADC中有

BF＝AC，DF＝DC，故这两个三角形全等，从而问题得证．证明：∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°．在Rt△BDF和Rt△ADC中，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠2＝∠C．

例3

如图，已知

AD为△ABC的高，E为

AC上一点，BE交AD于点

F，且有

BF＝AC，FD＝CD．求证：BE⊥AC．∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠C＝90°．∵∠1+∠C＋∠BEC＝180°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC．

例3

如图，已知

AD为△ABC的高，E为

AC上一点，BE交AD于点

F，且有

BF＝AC，FD＝CD．求证：BE⊥AC．

“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学的四种判定方法有什么不同？

此判定方法在三角形是直角三角形的前提下，只需满足两条边（斜边与一直角边）相等即可，之前的判定方法都需满足三个条件．问题

“HL”判定方法：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．此判定方法只适用于直角三角形．判定直角三角形全等的方法直角三角形已知对应相等的元素可选择的判定方法需寻找的条件一锐角（A）ASA或AAS直角与已知锐角的夹边对应相等及锐角（或直角）的对边对应相等斜边（H）HL或AAS一条直角边对应相等或一组锐角对应相等一直角边（L）