MBA数学考试概率知识点和常见问题及方法

1、概率知识点/常见问题及方法知识点概率的概念和性质AA PA.APAA 0 PA1.P1.P1. ABBBPAPBPAB.古典概型的可能性相同，这种试验称为等可能概型或古典概型.对古典概型，如果样本空间S 中基本事件的总数是n ，而事件A 包含的基本事件数为m ,那么事件 A 的概率是P A m.n例如：先后抛掷两枚均匀的硬币，计算（1（2枚出现正面，一枚出现反面的概率.【解析】两次抛掷可能出现的结果是“正正”“正反”“反正”“反反”，并且这 4种结果可能性都相同，是等可能事件.A为“两枚都出现正面”4 A包含的结果只P A111 1 .4设事件A2为“一枚出现正面，一枚出现反面”，在 4 种结

2、果中，事件A2P A 2 1 .242A A12，AA2A2A P A P A m12 P A .m，两两互不相容，则PA1AB有PABPAPBPAB.ABC 有PABCPAPBPPABPPACPABC.对立事件的概率PAPAPA1.10 5 5 产品中至多有一件次品的概率.【解析】至多有一件次品，可以分成两类：C1 C 41 1090 .C52 C590 C5100100C5C1 C4所以，至多有一件次品的概率为p90 C510C5 0.9231.相互独立事件100100设 A , B 是两个事件，如果事件 A 的发生和事件 B 的发生互不影响，则称两个A B ，有PAB PAPB； AB至

3、少发生一个的概率B1PAPB1独立事件 A , B 至多发生一个的概率PB1PAPB；这一性质在计算个独立事件至少一个发生”的概率时，是非常有用的.例如：甲、乙两人各独立投篮一次，如果两人投中的概率分别是 0.6 和 0.5,计算：两人都投中的概率；恰有一人投中的概率；至少有一人投中的概率.【解析】设“甲投篮一次，投中”A ，“乙投篮一次，投中”B PA 0.6PB 0.5 ,A B 相互独立.（1）PAB PAPB 0.60.5 0.30，所以两人都投中的概率为0.30.（2）恰有一人投中，可以分为两种情况：AAB PAP 0.610.5 0.3；AAB PPB0.60.50.2； 0.30

4、.20.5.两人都不中的概率为P AB0.510.60.8，故至少一人投中的概率为p 1 P10.51 0.6 0.8伯努利实验进行n 为n 次独立重复试验.n .AA n 重伯努利试验.在伯努利实验中，设事件A 发生的概率为 p ，则在n 次试验中事件 A 恰好发生k k n次的概率为,n.P kCk pk 1 pnk k,n.nn例如：某射手射击 1 次，射中目标的概率是 0.9，则他射击 4 次恰好击中目标的概率是（）.P43C3 p3 1 p43 40.3 0.10.2916.4常见问题及方法一、基本古典概型问题PA m.n合的方法及题型，在此问题中适用.常用正难则反的思路(对立事件)

5、.1.10 4 2 1 率为（）.122813(A)3(B)3(C)15(D)15(E)15C21C2 件，没有一等品的概率为 6C2103112概率为 3 3 .【答案】B2.9 4 包括张三的概率是（）.22145(A)9(B)5(C)3(D)9(E) 9【解析】选张三，再从其余的 8 个人中任意选 3 个即可，即为C 3 ；故包括8C34张三的概率为P8C49【答案】D 9 .3.2 1 少有一个红球的概率为（）.184517(A)9(B)279(D)9(E)27【解析】方法一：可分为两类：乙盒子中有 1 个红球：先从 2 个红球中选 1 个放入乙盒子，另外 1 个红球在3 个盒子中任意

6、选择，即C1 C1 3 ；22乙盒子中有 2 个红球：先将 2 个红球放入乙盒子，白球可以在 3 个盒子中任意选择，即C13223C1 C1 3C1 5 .2239方法二：剔除法.乙盒中没有红球，则红球在甲丙两个盒子中任意选择，白球在 3 个盒子中任意选择，即22 C1 1 个红球的概率为13二、古典概型之骰子问题骰子问题必用穷举法.22 333 5 .9常与解析几何结合考查，一般需要转化为不等式求解.1 若以连续掷两枚骰子分别得到的点数a 与b 作为点M x2 y2 18 内(不含圆周）的概率是（）.73629145181136【解析】点M x2 y2 18 内，即a2 b2 18 ，则a,

7、b 2,310 P 【答案】D10 5 .36182 若以连续两次掷色子得到的点数a 和b P Pa,b落x y 6 和两坐标轴围成的三角形内的概率为（）.167362914518【解析】落在三角形内部，只需要a b 6 P 、2,3、共10 6636(种).P 【答案】E10 5 .3618三、古典概型之几何体涂漆问题将一个正方体六个面涂成红色，然后切成n 3 个小正方体，则（1）3 面红色的小正方体：8 个，位于原正方体角上.（2）2 面红色的小正方体：12n 2个，位于原正方体棱上.（3）1 面红色的小正方体： 6n 22 个，位于原正方体面上(不在棱上的部分).个，位于原正方体内部.例

8、1将一个白木质的正方体的六个表面都涂上红漆，再将它锯成64 个正方体.从中任取3 个其中至少有1 个三面是红漆的小正方体的概率（(A)0.065(B)0.578(C)0.563(D)0.482(E)0.3353 8 3 1 3 1 个三面是红漆，故所求概率为【答案】EC3P1C3641651 248 0.335.例2将一块各面均涂有红漆的正立方体锯成125个大小相同的小正立方体从这些小正立方体中随机抽取一个所取到的小正立方体至少两面涂有红漆的概率是（）.(A)0.064(B)0.216(C)0.288(D)0.352(E)0.235【解析】小立方体位于大正立方体的角上时，有 3 面为红色，数量

9、为 8 个；2 36 个.故所求概率P 44 0.352.125【答案】D1 3 为（ ）平方厘米.(A)32(B)64(C)78(D)27(E)181，1，33,3,5.故表面积为 23345378(平方厘米).四、数字之和问题例 1袋中有 6 只红球、4 只黑球，今从袋中随机取出 4 只球，设取到一只红球得 2 分，取到一只黑球得 1 分，则得分不大于 6 分的概率是（）.2342513(A)42(B)7(C)42(D)21【解析】得分不大于6,分为三种情况：两红两黑，三黑一红，四黑；故得分不大于 6 的概率为C2C2 C1C3 C0C423【答案】A646C41064 42.例 2若从原

10、点出发的质点M x 轴的正向移动一个和两个坐标单2 甿甩213 3 3 个坐标单位，到达 x 3 的概率是（）.192072223(A)27(B)27(C)9(D)27(E)27【解析】3 1 2 2 1 111，故可分为三类：P211 2 ；2332 12；1 P3 2 3133x 3 P P P P12327 20.【答案】B五、袋中取球问题3 类：（1）无放回取球模型.设口袋中有 a 个白球， b 个黑球，逐一取出若干个球，看后不再放回袋中，Cm Cn则恰好取了mm n P abCmnab；【拓展】抽签模型.；设口袋中有 a 个白球， b 个黑球，逐一取出若干个球，看后不再放回袋中，则第

11、k P （2）一次取球模型.a，与k无关.a b设口袋中有a 个白球，b 个黑球，一次取出若干个球，则恰好取了mm aCm Cn；可见一次取球模型的概率与无放n P abCmnab回取球相同.（3）有放回取球模型.设口袋中有ab 好 取 了 k a 个 白 球 ， nkk b 个 黑 球 的 概 率 是 P Ck a b a b n 上述模型可理解为伯努利概型：口袋中有a b 个球，将这个实验做n 次，出现了k n k 次黑球.例 1袋中有 5 个白球和 3 个黑球，从中任取 2 个球，求：取得的两球同色的概率；取得的两球至少有一个是白球的概率.【解析】从 8 个球中任取 2 个球的取法为C

12、2 ，所以8C2 C2任取两球同色的取法为C2 C2 ,所以取两球同色的概率为P 53 .53C28C2任取两球全是黑球的概率 3C28C2，所以，任取两球至少有一白球的概率为P 13 .C28210 7 个黑球，3 2 球，至少有一个是红球的概率为（）.【解析】方法一： C1 C17恰好有1 个红球的概率为PA73 C21015 ；恰好有个红球的概率为 C21；2P 3C215C10所以至少有一个红球的概率是PAB P A P B 7 1 8.方法二：剔除法.C27151515C10 2 个，全为黑球的概率为 7C210 15 ,事件 A 是“从 10 个球中任取 2 球，至少一个是红球”的

13、对立事件，所以至少78有一个红球的概率P 1.【答案】D151532 个白球、m 只有颜色不同.则m 3 .0.2；0.3.【解析】单独显然不充分，联立两个条件：（12 n 0.2 n 10 10 个球；由条件（2P 故联立起来充分.【答案】Cm10 0.3 ，得m 3 ，可知黄球为 3 个；0 9 3 3 3 人能够启动此装置的概率为（）.11111(A) 120(B)168(C)240(D)720(E)1000【解析】分为三类：11第一类：尝试一次即成功的概率为；7201071911第二类：第一次尝试不成功，第二次尝试成功的概率为；72071972071971811720719718720

14、由加法原理，能启动装置的概率为311.720240【快速得分法】抽签原理的应用(不放回的取球).31720 3 720 【答案】C六、独立事件的概率PAB PAPB.240 .例 1档案馆在一个库房中安装了n 个烟火感应报警器，每个报警器遇到烟火成功报警的概率为 p .该库房遇烟火发出报警的概率达到 0.999.（1）n3，p0.9；（2）n2，p0.97.【解析】条件（ 1）:均未报警的概率为 1 0.93 0.001 ，故报警概率为10.001 0.999 ,条件（1）充分.条件（2 ）均未报警的概率为 0.0009 ， 故报警概率为10.0009 0.9991，故条件（2）充分.【答案】

15、D例2图79是一个简单的电路图，S ,S ,S123表示开关，随机闭合S S S123中的两个，灯泡发光的概率是（）.11112(A)6(B)4(C)3(D)2(E)3【解析】闭合两个开关，灯泡发光的情况为：S S12或S S2，共 2 种情况；闭2合两个开关的所有可能情况为： S S12或 S S1 3或S S2，共 3 种情况.故概率为 3 .【答案】E例 3在 10 道备选试题中，甲能答对 8 题，乙能答对 6 题.若某次考试从这10 道备选题中随机抽出 3 道作为考题，至少答对 2 题才算合格，则甲、乙两人考试都合格的概率是（）.28214268(A)45(B)3(C)15(D)45(

16、E)15C3 C2C114【解析】甲考试合格的概率是88C310； 乙考试合格的概率是C3 C2C12664 C331014228甲、乙两人相互独立，所以他们考试都合格的概率为.15345【答案】A七、闯关问题PABPAPB；必是每关都试一下成功不成功.所以要根据题意进行合理分类.例 1在一次竞猜活动中，设有 5 关，如果连续通过 2 关就算闯关成功，小1王通过每关的概率都是 2 ，他闯关成功的概率为（）.1 13 161 13 16212 21124117 .2 2 2 2 2 8乙获胜：首次正面出现在第 2，5，8，次，概率为 1 1 4 1 7 21 1 1 4 1 7 212 212111 27 .2222228丙获胜概率为1 4 2 1 .777【答案】D八、伯努利概型PnkCk 1Pnk k 1,2,n.k A 才首次发生的概率为,n.P 1Pk1 Pk,n.k7 4 胜制.0.7，则甲