数值分析试题参考汇总

1、数值分析试题一、填空题（202）1.322A1,X23设x=0.231是精准值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。2.若f(x)=x7x31，则f20,21,22,23,24,25,26,27=1，f20,21,22,23,24,25,26,27,28=。设，A_5_，X_3_，AX_15_。4.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间知足|(x)|1，计算时不会放大f(x)的偏差。ii8.要使20的近似值的相对偏差小于0.1%，最少要取4位有效数字。对随意初始向量X(0)及随意愿量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精准解x

2、*的充分必需条件是(B)1。10.由以下数据所确立的插值多项式的次数最高是5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|0。根源于网络14.使用迭代计算的步骤为成立迭代函数、采纳初值、迭代计算。二、判断题（101）1、若A是n阶非奇怪矩阵，则线性方程组AXb必定能够使用高斯消元法求解。()2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*周边是平方收敛的。()3、若A为n阶方阵，且其元素知足不等式则解线性方程组AXb的高斯塞德尔迭代法必定收敛。()4、样条插值一种分段插值。()5、假如插值结点同样，在知足同样插值条件

3、下全部的插值多项式是等价的。()6、从实诘问题的精准解到实质的计算结果间的偏差有模型偏差、观察偏差、截断偏差及舍入偏差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法合用于任何线性方程组AXb。()8、迭代解法的舍入偏差预计要从第一步迭代计算的舍入偏差开始预计,直到最后一步迭代计算的舍入偏差。()9、数值计算中的总偏差假如只考虑截断偏差和舍入偏差，则偏差的最正确分派原则是截断偏差舍入偏差。()10、插值计算中防范外插是为了减少舍入偏差。()三、计算题（510）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答：（1，5，2）最大元5在第二行，互换第一与第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化

4、为：-0.2,2.6）最大元在第三行，互换第二与第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛顿埃尔米特插值法求知足以下表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上拥有直到五阶连续导数)。xi012根源于网络f(xi)1-13f(xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x

5、(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下边的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的原因。解答：互换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：2x1x2x41雅克比迭代公式：x13x2x33数值分析试题x24x3x4计算机数学基础(2)8x11.x35x46一、单项选择题(每题3分，共15分)s(a10)的绝对偏差*已知正确值x*与其有t位有效数字的近似值x0.0a1a2an10 xx()

6、(A)0.510s1t(B)0.510st(C)0.510s1t(D)0.510st2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()21005210(A)12101410012，(B)1411100120012根源于网络5210421114211410(C)141(D)14122001213153.过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=()(A)3x10 x2(B)3x10 x2223x102x33x2102x3(C)3x10 x2(D)3x10 x2223x102x3x42x34.等距二点的求导公式是()f(xk)1(ykyk1)f(xk)1(ykyk1)(A)h(B)h1

7、(yk1(ykf(xk1)yk1)f(xk1)yk1)hhf(xk)1(ykyk1)(C)h1(yk1(D)f(xk1)yk)h解常微分方程初值问题的均匀形式的改良欧拉法公式是那么yp,yc分别为()(A)ypykhf(xk,yk)(B)ypykhf(xk1,yk)ycykhf(xk1,yk)ycykhf(xk,yp)(C)ypykf(xk,yk)(D)ypykhf(xk,yk)ycykf(xk,yp)ycykhf(xk1,yp)设近似值二、填空题(每题3分，共15分)6.12知足(x1，2，那么12x,x)=0.05(x)=0.005(xx)=7.三次样条函数S(x)知足：S(x)在区间a,

8、b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且知足S(x)在每个子区间xk,xk+1上是bnn.Akf(xk)，则Ak8.牛顿科茨求积公式f(x)dxak0k09.解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)知足在有根区间内，则在有根区间内随意取一点作为初始值，迭代解都收敛解常微分方程初值问题的改良欧拉法预告校订公式是预告值：yk1ykhf(xk,yk)，校订当：yk+1=三、计算题(每题15分，共60分)用简单迭代法求线性方程组根源于网络的X(3)取初始值(0,0,0)T，计算过程保存4位小数已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6

9、)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)13.将积分区间8均分，用梯形求积公式计算定积分32dx，计算过程保存4位小数1x1用牛顿法求115的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保存4位小数四、证明题(此题10分)证明求常微分方程初值问题在等距节点a=x0 x1xn=b处的数值解近似值的梯形公式为y(xk+1)yk+1=yk+hf(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)2此中h=xk+1xk(k=0,1,2,n1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每题3分，共15分)1.A2.B3.A二、填空题(每题3分，共15分)2+0.005x

10、17.3次多项式8.ba9.(x)r110.y+f(xk,yk)f(xk1,yk1)hf(x,yk1)khk12三、计算题(每题15分，共60分)写出迭代格式X(0)=(0,0,0)T.获得X(1)(2.5，3，3)T(2)T获得X=(2.875，2.3637，1.0000)计算均差列给出k一阶均二阶均三阶均四阶均f(x)差差差差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4,1,3)=62201234568x7=2.75，x8=3.0.函数值：f(1.0)=1.4142，f(1.25)=1.6008，f(1.5)=

11、1.8028，f(1.75)=2.0156，f(2.0)=2.2361，f(2.25)=2.4622，f(2.50)=2.6926，f(2.75)=2.9262，f(3.0)=3.16232(f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(x5)f(x6)f(x7)(9分)0.251.4142+3.1623+2(1.6008+1.8028+2.01562根源于网络+2.2361+2.4622+2.6926+2.9262)=0.125(4.5765+215.7363)=4.506114.设x为所求，即求x2115=0的正根f(x)=x2115由于f(x)=2x，f(x)=2，f(10)f(10)=(

12、100115)20取x0=11有迭代公式xk+1=xkf(xk)=xkxk2115xk115(k=0,1,2,)f(xk)2xk22xk11111510.7273x=2211x2=10.7273211510.7238210.7273x3=10.7238211510.7238210.7238x*10.7238四、证明题(此题10分)15.在子区间xk+1,xk上，对微分方程两边对于x积分，得y(xk+1)y(xk)=xk1xkf(x,y(x)dx用求积梯形公式，有y(xk+1)y(x)=f(xk,y(xk)f(xk1,y(xk1)kh2将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1代替，获得hy(

13、xk+1)yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2,n1)2数值分析期末试题一、填空题（21020分）152（1)设A210，则A_13_。3822x15x21，Jacobi迭代法的迭代矩阵是BJ02.5。（2)对于方程组4x2310 x12.503)3x*的相对偏差约是x*的相对偏差的1倍。3（4）求方程xf(x)根的牛顿迭代公式是xn1xnxnf(xn)。1f(xn)（5）设f(x)x3x1，则差商f0,1,2,31。根源于网络（6）设nn矩阵G的特色值是1,2,n，则矩阵G的谱半径(G)maxi。1in（7）已知A1290，则条件数Cond(A)1（）为

14、了提升数值计算精度，当正数x充分大时,应将ln(xx21)改写为ln(xx21)。8（9）n个求积节点的插值型求积公式的代数精准度最少为n1次。（10）拟合三点(x1,f(x1)，(x2,f(x2)，(x133,f(x3)的水平直线是yf(xi)。3i12x1x2x31二、（10分）证明：方程组x1x2x31使用Jacobi迭代法求解不收敛性。x1x22x31证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为BJ的特色多项式为BJ的特色值为10，21.25i，31.25i，故(BJ)1.251，因此迭代法不收敛性。三、（10分）定义内积试在H1Span1,x中追求对于f(x)x的最正确平方迫近元素p(x)。

15、解：0(x)1，1(x)x，(0,0)dx1，(1,0)xdx1，(1,1)x2dx1，(0,f)xdx2，11110020303(1,f)xxdx2。105法方程解得c04，c112。所求的最正确平方迫近元素为1515px412x，0 x11515四、（10分）给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解:y(x)c0c1xc2x2c3x3根源于网络1248501001111010034A1000，ATA111110034003401301248法方程的解为c00.4086，c10.39167，c20.0857，c30.00833获得

16、三次多项式偏差平方和为30.000194五.(10分)依照以下函数值表012419233成立不超出三次的Lagrange插值多项式，用它计算f(2.2)，并在假定f(4)(x)1下，预计计算误差。解:先计算插值基函数所求Lagrange插值多项式为311x345x21x1进而L3(x)f(xi)li(x)l0(x)9l1(x)23l2(x)3l3(x)i0442f(2.2)L3(2.2)25.0683。据偏差公式R3f(4)()(xx0)(xx1)(xx2)(xx3)及假定f(4)()1得偏差预计：4!x六.(10分)用矩阵的直接三角分解法解方程组解设由矩阵乘法可求出uij和lij解下三角方程组有y15，y23，y36，y44。再解上三角方程组得原方程组的解为x11，x21，x32，x42。七.(10分)试用Simpson公式计算积分的近似值,并预计截断偏差。解：截断偏差为八.(10分)用Newton法求方程xlnx2在区间(2,xkxk1108。)内的根,要求xk根源于网络解：此方程在区间(2,)内只有一个根s，并且在区间（2，4）内。设则f(x)11，f(x)1xx2Newton法迭代公式为xk1xkxklnxk2xk(1lnxk