焦点三角形面积公式

1、焦点三角形面积公式焦点三角形面积公式5/5焦点三角形面积公式椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆x2y21ab）中，焦点分别为F1、F2，点P是椭圆上任（a2b20意一点，F1PF2，则SFPF2b2tan.y12PP证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，由椭圆的第必定义得22FOFx12r1r22a,(r1r2)4a.在F1PF2中，由余弦定理得：r12r222r1r2cos(2c)2.配方得：(r1r2)22r1r222cos4c2.r1r即422r1r2(1cos)4c2.ar1r22(a2c2)2b2.1cos1cos由随意三角形的面积公式得：1sin2sincosSF1PF2r1

2、r2sinb2b222b2tan.2cos221cos22SF1PF2b2tan.2同理可证，在椭圆y2x21（ab0）中，公式仍旧建立.a2b2典题妙解例1若P是椭圆x2y21上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，求10064F1PF2的面积.x2y26,而60.记|PF1|r1,|PF2|r2.解法一：在椭圆1001中，a10,b8,c64点P在椭圆上，由椭圆的第必定义得：r1r22a20.在F1PF2中，由余弦定理得：r12r222r1r2cos(2c)2.配方，得：(r1r2)23r1r2144.4003r1r2144.进而r1r2256.3SF1PF21r1r2sin125

3、63643.22323解法二：在椭圆x2y21中，b264，而60.10064SF1PF2b2tan64tan30643.23解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷了然，两个解法的利害立现！例2已知P是椭圆x2y21上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若259PF1PF21，则F1PF2的面积为（）|PF1|PF2|2A.33B.23C.3D.33解：设F1PF2，则cosPF1PF2160.|PF1|PF2|，2SFPFb2tan9tan3033.122应选答案A.例3（04湖北）已知椭圆x2y21的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上.若P、F1、169F2是一个直角三角形的三个极

4、点，则点P到x轴的距离为（）A.9B.97C.9D.9或9757447解：若F1或F2是直角极点，则点P到x轴的距离为半通径的长b29；若P是直角极点，设a4点P到x轴的距离为h，则SFPF2b2tan9tan459，又SFPF21(2c)h7h,12127h9，h97.故答案选D.7金指点睛1.椭圆y2x21上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线相互垂直，则F1PF2的面积为（）4924A.20B.22C.28D.242.椭圆x2y21的左右焦点为1212PF1PF24F、F，P是椭圆上一点，当FPF的面积为1时，的值为（）A.0B.1C.3D.63.椭圆x2y21的左右焦点为F、F，P是椭

5、圆上一点，当FPF的面积最大时，PF1PF241212的值为（）A.0B.2C.4D.24已知椭圆x2y21（a1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且F1PF260，a2则|PF1|PF2|的值为（）A1B1C4D23335.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为90，F1PF2的面积是20，离心率为5，求椭圆的标准方程.36已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，且PF1PF21，F1PF2|PF1|PF2|2的面积是3，准线方程为43x，求椭圆的标准方程.3答案1.解：F1PF290,b224，SF1

6、PF2b2tan24tan4524.2故答案选D.2.解：设F1PF2，SFPFb2tantan1，45,90，PF1PF20.12222故答案选A.3.解：a2,b1,c3，设F1PF2，SF1PF2b2tantan，22当F1PF2的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，120，PF1PF2|PF1|PF2|cosa2cos1202.故答案选D.4解：F1PF260，b1，SF1PF2b2tantan303，23又SF1PF21|PF1|PF2|sin3|PF1|PF2|，243|PF1|PF2|3，进而|PF1|PF2|4.433故答案选C.5.解：设F1PF2，则90.SFPF2b2tanb2tan45b220，12又eca2b25，aa31b25，即1205.a29a29解得：a245.所求椭圆的标准方程为x2y21或y2x21.452045206解：设F1PF2，cosPF1PF21,120.|PF1|PF2|2SFPF2b2tanb2tan603b23，b1.12又a243，即c2b2c21c14333.c3ccc33c3或c3.3当c3时，a