第二章第十节第五课时利用导数研究函数零点问题

1、文档编码 : CV8O3I4Z2N9 HO2R5R7Z8I7 ZG3S4L4L3E31.已知函数 fxaxln xa0. A 组基础保分练 授课提示：对应同学用书第281 页1求 fx的单调区间；2试求 fx的零点个数,并证明你的结论 . 解析： 1 函数 fx的定义域是 0, ,fxxln xx1 xx（ln x2）. 2x令 fx0,解得 xe2,令 fx0,解得 0 xe2,所以 fx在0,e2上单调递减,在e2, 上单调递增 . 22由 1得 fxminfe 2ae,明显当 a2 e时, fxmin0,fx无零点,当 a2 e时, fx min0,fx有 1 个零点,当 a2 e时,

2、fx min0,fx有 2 个零点 . 2.已知函数 fx2ln x1x1 2. 1求函数 fx的单调递增区间；2如关于 x 的方程 fxx23x a0 在区间 2,4 内恰有两个相异的实根,求实数 a 的取值范畴 . 解析： 1 由题意得函数 fx的定义域是 1, ,1 2x（x2）fx2 x1（ x1） x1, x1,令 fx0,解得 1 x2,所以函数 fx的单调递增区间是 1,2. 2由 fx x 2 3xa 0,得 xa12ln x10,令 gxxa1 2lnx1,就 gx12x1x3x1,x1由 gx0,得 x3,由 gx0,得 1x3,所以函数 gx在2,3上单调递减,在 3,4

3、上单调递增,作出函数 gx在区间 2,4上的大致图像 图略 ,可知方程 fxx23x a0 在区间 2,4上恰有两个相异的实根,就g（2）0,即a30,g（3） 0,a42ln 2 0,g（4） 0,a52ln 3 0,解得 2ln 35a2ln 24,所以实数 a 的取值范畴是 2ln 3 5,2ln 2 4. 1.已知函数 fx2ln xax2. B 组才能提升练 1如 a 1,证明： fx10；2当 a1 e时,判定函数 fx有几个零点 . 解析： 1 证明：当 a1 时, fx2ln xx2,x0, . fx2 x2x2（1xx 2）2（1x）（ 1 x）x . 当 x 变化时,函数

4、fx,fx变化情形如下表所示：0,1 1 1, fx0fx 极大值fx在 x1 处取得极大值,也是最大值,函数 fx的最大值为 1,即当 x0, 时, fx 1,x 0, 时, fx10. 2当 ae时, fx2ln x 1 ex2,x0, . fx2 x2 ex2（ ex2）2（e x）（ex）. e, exex当 x 变化时,函数fx,fx变化情形如下表所示：0,eefx0fx极大值fx在 xe处取得极大值,也是最大值. fe2lne1 e e20,函数 fx在0, 上只有一个零点. 当 a1 e时,函数 fx在0, 上只有一个零点. 2.已知函数 fxxe xaln xx,aR. 1当

5、a e 时,求 fx的单调区间；2如 fx有两个零点,求实数 a 的取值范畴 . 解析： 1由题意得,函数 fx的定义域为 0,当 ae 时,fxxexeln x ex,就 fx（1x）（ xe xe）x .所以函数 fx在0,1上单调递减,在 1, 上单调递增 . 2记 tln xx,就 tln xx 在 0, 上单调递增,且tR.所以 fxxe xaln xxe tatgt.所以 fx在 x0 上有两个零点等价于 gte tat 在 tR 上有两个零点 . 当 a0 时, gte t 在 R 上单调递增,且gt0,故 gt无零点 . 当 a0 时,gte tat 在 R 上单调递增,又g0

6、10,g1 1 ae a10,故 gt在 R 上只有一个零点 . 当 a0 时,由 gte ta0 可知 gt在 tln a 时有唯独的一个微小值 gln aa1ln a. 如 0ae, gtmin a1ln a0,gt无零点；如 ae,gtmin0,gt只有一个零点；如 ae 时, gt mina1ln a0,而 g010,由于 hxln x x在 xe 时为减函数,可知ae 时,e aaea2.从而 gae aa20,所以 gt在0,ln a和ln a,上各有一个零点 .综上可知, a e时 fx有两个零点,即实数a 的取值范畴是 e, . C 组 创新应用练 已知函数 fx1 2x21a

7、xaln x,aR. 1如 fx存在极值点为 1,求 a 的值；2如 fx存在两个不同的零点 x1,x2,求证： x1 x2 2. 解析： 1 由已知得 fx x1aa x,由于 fx存在极值点为a1,经检验符合题意,所以 a1. a a2证明： fxx 1axx1 1x x0,1,所以 f10,即 22a0,当 a0 时, fx0 恒成立,所以 fx在0, 上为增函数,不符合题意；当 a0 时,由 fx0 得 xa,当 xa 时, fx0,所以 fx单调递增,当 0 xa 时, fx0,所以 fx单调递减,所以当 xa 时, fx取得微小值 fa. 又 fx存在两个不同的零点 x1,x2,所以 fa0,即1 2a 21aa aln a0,1整理得 ln a 12a,作 yfx关于直线 x a 的对称曲线 gx f2ax,令 hxgxfxf2axfx2a2ax2xaln x,2a2 2a2就 hx 2（2ax）x 2（ xa）2a 2 0,所以 hx在 0,2a上单调递增