2018年学年高中数学人教A版选修45教的学案第一讲一3三个正数的算术-几何平均不等式高品质版

1、3三个正数的算术几何平均不等式对应学生用书P81定理3abc3若是a，b，cR，那么abc，当且仅当abc时，等号建立，用文字语言可表达为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(1)不等式abc3abc建立的条件是：a，b，c均为正数，而等号建立的条件是：当3且仅当abc.(2)定理3可变形为：abc(abc33333abc.3)；abc三个及三个以上正数的算术几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是相同的，即“一正，二定，三相等”2定理3的实行关于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1a2annna1a2an，当且仅当a1a2an时，等号建立对应

2、学生用书P8用平均不等式证明不等式例1已知a，b，cR，求证：bcacababc3.abc思路点拨欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式abc33abc(a，b，cR)，故将所证不等式的左边进行合适的变形证明bcacababcabcbcacab3abcabc3bca3cab333633.abcabc当且仅当abc时取等号证明不等式的方法与技巧(1)观察式子的构造特点，解析题目中的条件若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理若题目中不具备该条件，要注意经过合适的恒等变形后再使用定理证明三个正数的算术几何平均不等式是依照不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式

3、，一般可用比较法证明1111设a，b，c0，求证：a3b3c3abc23.证明：因为a，b，c0，由算术几何平均不等式可得11131113333333，abcabc即1113333(当且仅当abc时，等号建立)abcabc因此1113abc.33c3ababcabc而3abc23222时，等号建立)，abc23(当且仅当abc3abcabc因此1113(当且仅当abc63时，等号建立)33c3abc2ab2已知a1，a2，an都是正数，且a1a2an1，求证：n(2a1)(2a2)(2an)3.证明：因为a1是正数，依照三个正数的平均不等式，有2a111a133a1.同理2aj33aj(j2,

4、3，n)将上述各不等式的两边分别相乘即得(2a1)(2a2)(2an)(33a1)(33a2)(33an)3n3a1a2an.a1a2an1，(2a1)(2a2)(2an)3n.当且仅当a1a2an1时，等号建立.用平均不等式求最值23例2(1)求函数y(x1)(32x)1x1)的最小值思路点拨关于积的形式求最大值，应构造和为定值(2)关于和的形式求最小值，应构造积为定值解：(1)1x0，x10.y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x)x1x132x33131，327当且仅当x1x132x，即x43时，y131，2max27.4(2)x1，x10，yxx1211(x1)421(x1)1

5、22x3114214，32x1x12x1当且仅当111)42，2(x1)(xx12即x3时等号建立即ymin4.利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可获取最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获取定值需要必然的技巧，如：配系数、拆项、分别常数、平方变形等12的最大值为()3设x0，则f(x)4x2x2B42A425C不存在D.2解析：x0，f(x)4x1xx13x2x22x222x22答案：D4若0 x1，则函数yx4(1x2)的最大值是_，此时x_

6、.解析：因为0 x1，因此yx4(1x2)1x2x2(22x2)1x2x222x234，当且32227仅当x2x222x2，即x6时，函数yx4(1x2)获取最大值4.32746答案：273用平均不等式解应用题例3以下列图，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处依旧是不亮的由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光辉与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即sinEkr2.这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么终归应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？思路点拨依照题设条件

7、建立r与的关系式sin将它代入Ekr2获取以为自变量，E为因变量的函数关系式用平均不等式求函数的最值获取问题的解解2，rcos2sincosEk00，y2xx2xx224，当且仅当x1x，即x1时取等号答案：C2设a，bR，且ab3，则ab2的最大值为()A2B3C4D6解析：ab24abb22bb4a22334ab34134，3b当且仅当a1时，等号建立即ab2的最大值为4.答案：C3若logxy2，则xy的最小值是()33832A.2B.33322C.2D.311解析：由logxy2得yx2.而xyxx2xx13xx133x1132即x32时取等号2323，当且仅当2222x22x42x答

8、案：A4已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则以下总建立的是()AVBV11CV8DV8解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h64rVr2264r，因此圆柱的体积为hr22r2(32r)rr32r3.3当且仅当r32r，即r1时取等号答案：B5设0 x1，则x(1x)2的最大值为_.解析：0 x0.故32x1x1x2x1x1x2.33x(1x)24当且仅当x1时取等号.273答案：42716若a2，b3，则aba2b3的最小值为_解析：a2，b3，a20，b30.则ab1(a2)(b3)15a2b3a2b33158.3a2b3a2b3当且仅当a2b31即a3，b4时等号建立a2b3答案：87已知关

9、于x的不等式2x127在x(a，)上恒建立，则实数a的最小值xa为_11解析：2xxa2(xa)(xa)xa22a，xa0.2x13122a，23xaxaxaxa32a，1当且仅当xaxa2即xa1时，取等号12xxa2的最小值为32a.由题意可得32a7，得a2.答案：28设a，b，cR，求证：(abc)1119bcac.ab2证明：a，b，cR，2(abc)(ab)(bc)(ca)33abbcca0.111311130，abbcacabbcac(abc)1119.abbcac2当且仅当abc时，等号建立9设x，y，z0，且x3y4z6，求x2y3z的最大值解：6x3y4zxxyyy4z66

10、x2y3z，22x2x3z1当xy4z时，取“”.2x2，y1，z1时，x2y3z获取最大值1.410有一块边长为36cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？解：剪下的三个全等的四边形以下列图，设A1F1x，则AF13x，A1B1F1F23623x.V324(3623x)x32(63x)(63x)2x.0 x63，63x0.V3363x63x2x3.23又(63x)(63x)2x123，当63x2x，即x23时，V有最大值，这时V最大323(43)3864(cm3)S四边形A1

11、F1AE2x3x3x2123(cm2)，三个四边形面积之和等于363cm2.随着年龄的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的可是稗子，低头的才是稻子；越是丰饶的人，越是尊贵，因为真切的丰饶是灵魂上的尊贵以及精神世界的丰饶；越是优秀的人，越是努力，因为优秀向来不是与生俱来，向来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实其实不拥挤，因为能够坚持终归的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的成功，其实最后就是自己价值观的成功。人到中年，突然间觉醒好多，总算理解：人生，只有将人间的路一一走遍，才能到终点；生活，只有将世间况味各种尝遍，才能熬出头。

12、此人间，向来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总感觉人间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之渐渐腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光辉四射。我真的难以想象，那些向来不早起的人，一世终归能够看到几回日升？那些向来没有优秀习惯的人，活到最后终归该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：清早不起，误一天的事；幼时不学，误一世的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有时间颓丧。每当走在破晓的曙光里，看到那些脚扎实地干净城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得

13、很努力很认真。每当看见那些奔跑在晨晖绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予别人能量。我总感觉：你能够不优秀，但你必定有认真的态度；你能够不行功，但你必定努力。这个世界上，向来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也向来认为：一个活得很努力的人，自带光辉万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他的人生也就成功了大多数。人间每一种的好，向来都只为懂得努力的人盛装而来。有时，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生

14、不易，越努力越好运；余生不长，越珍惜越优秀。人生，是一本太急促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年光痛惜，不要为前路的茫茫而阻滞不前愿你相信所有的坚持总能奏响破晓的军号，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不相同意自己颓丧松散，越是优秀的人越是努力生活中好多时候，我们遇到一些复杂的情况，会很简单被眼前的阻挡所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，若是能从当前的环境走开出来，从一个新角度去解决问题，也许就会峰回路转。一个土豪，每次出门都担忧家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思许久后终得一法：每次出门前把WiFi更

15、正成无密码，尔后放心出门每次回来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口，今后无忧。护院，未必必然要养狗换个角度想问题，结果大不相同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块7。”大爷：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提示大爷注意秤时，大爷沉着的拿出了七毛钱，拿起方才去掉的那个大的西红柿，潇洒地换种算法，自成一家，你会发现解决问题的另一个方法。生活中，我们特别简单坠入非A即B的思想死角，但其实，遭到两难困境时换个角度思虑，也许就会理解：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓到的就送

16、一只鸡。好多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很快乐！感觉老板很够意思。此后，垂钓场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存，还让顾客心甘情愿买单。新时代，做营销，必定打破传统思想。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵光一闪说：儿子，我来做作业，你来检查怎样？孩子快乐的答应了，并且把爸爸的“作业”认真的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了一遍但是他可能怎么也不理解为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙变换角色，退后一步，有时是另一种前进。一个博士群里有人提问：一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就喧杂起来，各种公式，各种假

17、设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足谈论了近一个小时此后，一个不小心进错群的人静静问了一句：你们没有淋过雨吗人们经常简单被平常思想所监管，而忘记了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕业后一起到广州闯天下。甲很快做成一单大买卖，升为部门经理；乙业绩很差，还是一个业务员，并且是甲的手下。乙心理不平衡，就去庙里找和尚，求神明互帮。和尚说：“你过三年再看。”三年后，他找到和尚，很沮丧地说甲现在已经是总经理了。和尚说：再过三年再看。三年又过去了，他又去见和尚，大发雷霆地说：甲已经自己当老板了。和尚说：我也从一般和尚升为方丈了。我们都是自己，你是谁？我们都为自己活着，看守着自己的责任，你在干什么？你

18、悲伤地为甲活着，看守着他，你丢的不是职位、金钱和面子，你抛弃了自己。一年后，乙又来了，坐视不救地说：和尚你不对，甲企业破产，他坐牢了。和还没有语，心里悲悯：坐牢了，破产了，甲还是他自己。但是你这个可怜的人啊，还不是你自己呀。十年后，甲在牢狱里服刑时，考虑人生，写了一本书，很惊动，成了热卖书。签字售书，成了名人，风光无量。甲还在电视上与和尚一起，作为名人谈经论道、感人众生。乙在出租屋里看电视，手里翻着甲的书，心里极度悲伤。他给和尚发短信：我相信命运了，甲坐牢都能坐出好风光来。你还没找到自己乙就这样一辈子把自己给弄丢了。你看到别人一路畅达时，心中可否会忿忿不平？看到别人失意落魄时，又可否会坐视不救，洋洋喜悦？其实别人的好与坏，与你又有什么关系呢？你需要要做的其实可是自己。真切智慧的人，在人生追求的路上，只有不断的自我升级，比较别人的所有，不断的鼓舞自己，一路坚持，才能不断的升华，实现人生的梦想。一位少年家境贫困，为了生计，他到一个庄园主家里当工人。他很勤奋，也很专心，生怕自己干不好被辞退。庄园主是一位绅士，对待工人很友善。一天，他突然接到一个电话，那里传来一其中年人的声音：“先生，您需不需要工人？”庄园主摇了摇头，轻声地说：“