典型例题：空间向量在立体几何中的应用

1、PAGE37空间向量在立体几何中的应用一、空间直角坐标系1单位正交基底如果三个向量，不共面，那么所有空间向量所组成的的集合就是，这个集合可以看作是由，生成的，从而把称为空间的一个基底，叫做基向量如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且模为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用表示2空间直角坐标系Oy在空间选一点和一个单位正交基底用，以点为原点，分别以，的方向为正方向建立三条数轴轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系，点叫做原点，叫做坐标向量，通过两条坐标轴的平面叫作坐标平面Oy如图，通常使用的是右手直角坐标系轴、轴、轴又称为横轴、纵轴、竖轴3点的坐标AADBBDCCy在空

2、间直角坐标系中，对空间任一点对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组，使，则有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，其中、分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标AADBBDCCy4常见空间直角坐标系的建立正方体如图所示，正方体的棱长为，一般选择点为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为，亦可选点为原点在长方体中建立空间直角坐标系与之类似正四面体BCADOy如图所示，正四面体的棱长为，一般选择在上的射影为原点，、（或）、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为BCADOy，正四棱锥ABCDPOy如图所示，正四棱锥的棱长为，一般选择点在平面的射影为原点，（或

3、）、（或）、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为ABCDPOy，BCACABBCACAByOE正三棱柱如图所示，正三棱柱的底面边长为，高为，一般选择中点为原点，（或）、（为在上的射影）所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为，二、向量的直角坐标运算设，则；或或；设，则这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标yBA若，三点共线则yBA三、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量如图，在空间直角坐标系中，由与确定直线的方向向量是四、平面法向量如果，那么向量叫做平面的法向量下面介绍法

4、向量的求法例1：已知正方体，点、分别是、的中点求平面的法向量解：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为AADBBDAADBBDCCyFGE设平面法向量为，令取平面的一个法向量为亦可以使用注意，一个平面的法向量有无数多条，而且均互相平行五、证明平行问题1证明线线平行AADBBAADBBDCCyFE例2：已知正方体，、分别为和的中点求证：证明：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，即例3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行已知：直线平面，直线平面，、为垂足求证：yjiOABDDBOA证明：以点为原点，以射线为非负轴，建立空间直角坐标系，为沿轴

5、，轴，yjiOABDDBOA，、为不同两点，2证明线面平行ABDCEFMN例4：如图已知四边形和是两个正方形，分别在其对角线、上，且求证：平面ABDCEFMN证明：在正方形和中，存在实数使，、共面平面，平面向量与两个不共线的向量、共面的充要条件是存在实数对，使利用共面向量定理可以证明线面平行问题本题用的就是向量法直线的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则例5：棱长都等于的正三棱柱，点是的中点求证：平面证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为BCACAByBCACAByD，设平面法向量为，令取平面的一个法向量为，平面3证明面面平行平面的法向量为，平面的法向量为，若即则例6：已知正方

6、体求证：平面平面AADBBDCAADBBDCCy，设平面法向量为，令取平面的一个法向量为平面法向量为，令取平面的一个法向量为，平面平面六、证明垂直问题1证明线线垂直证明两直线垂直可用例7：已知在空间四边形中，求证：ABOC证明：，ABOC，即ABOC例8：已知在空间四边形中，求证：ABOC证明：AADBBDCAADBBDCCy证明：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，实际上，正方体的体对角线与任意一条与之异面的面对角线所成角均为直角例10：已知正方体，、分别为和中点求证：是和的公垂线段AADBBDCAADBBDCCyMN，即，是它们的公垂线段例11：在三棱柱中，底面是正

7、三角形，底面，求证：证明：设底面边长为，高为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为CACAByBCACAByBO，即2证明线面垂直AADBBDCCyFE例12：已知正方体，、分别为和AADBBDCCyFE证明：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，又，平面直线的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则解法二：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，设平面法向量为，令取平面的一个法向量为，平面3证明面面垂直平面的法向量为，平面的法向量为，若即则CADSyEB例13：如图，底面是正方形，底面，且，是中点求证：平面平面CADSyEB解：不妨设，建立空间直角坐标

8、系，则相关各点坐标为，,设平面法向量为，令取平面的一个法向量为底面，,平面的一个法向量为，平面平面七、夹角1求线线夹角设，为一面直线所成角，则：；AADBBDCCyEF例AADBBDCCyEF解：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，AACAACBByC和所成角的余弦值是例15：如图直三棱柱的底面和是全等等腰直角三角形，侧棱垂直底面且，求与所成角的余弦值解：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，与所成角的余弦值是BCADFE例16：正四面体边长均为，、分别为和中点，求异面直线和所成角BCADFE解：设，则，异面直线和所成角是OBOBADCDC异面直线和所成角公式

9、：证明：将平移单位到平面内与交于点，夹角为，则有得，解法二：BCADFE连结、，有，可得BCADFE，异面直线和所成角是解法三：以点在上的射影为原点建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，BCADOFEy、分别为BCADOFEy，异面直线和所成角是需要注意，、坐标求法满足线段的定比分点公式设，在上求一点使它分所成的比为，即，从而，当时，点是线段的中点，则，由中点公式，可得以，为顶点的三角形重心例17：如图，是正三角形所在平面外一点，、分别是和的中点，且求异面直线与所成角解：不妨设，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，SABCMNSABCMNy，异面直线与所成角为例18：已知矩形与全等，为直二面

10、角，为中点，与所成角为，且求与的边长之比解：设，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点坐标为CDBAFCDBAFENMy，整理得，2求线面夹角nOPA如图，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得nOPA例19：正三棱柱的底面边长为，高为求与侧面所成的角解：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为BACACByDBACACByD设平面法向量为，令取平面的一个法向量为，设为与侧面所成的角则，与侧面所成的角是例20：正四面体棱长为，为的中点求与底面所成角解：以点在上的射影为原点建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，设平面法向量为，BCA

11、BCADOEy令取平面的一个法向量为，设为与底面所成角则，与底面所成角是同样本题也可以选择基底来做解法二：作底面于设，与所成的角为，则与底面所成角为，（详见例16），与底面所成角是3求面面夹角设、分别是二面角两个半平面、的法向量，当法向量、同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为；当法向量、一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的大小为例21：已知正方体的棱长为，是的中点求二面角的大小AADBBDCAADBBDCCyP，设平面法向量为，令取平面的一个法向量为平面法向量为，令取平面的一个法向量为，且二面角为锐角，二面角的大小为例22：底面是直角梯形的四棱锥，底面，求平面与平面所成的二

12、面角的正切值解：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为ASCDBy，ASCDBy设平面法向量为，且，取平面的一个法向量设平面法向量为，令取平面的一个法向量为，且平面与平面所成的二面角为锐角，平面与平面所成的二面角的余弦值为，平面与平面所成的二面角的正切值为例23：过正方形的顶点引平面，并使平面、与平面成角求二面角的大小解：不妨设，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，设平面法向量为，CBDCBDASy令取平面的一个法向量为设平面法向量为，令取平面的一个法向量为，设平面法向量为，令取平面的一个法向量为，二面角的为钝角，二面角的大小为例24：已知正方体，是中点求平面和底面所成角的余弦值AA

13、DBBDCAADBBDCCyE，设平面法向量为，令取平面的一个法向量为设平面法向量为，且，底面，又，平面的一个法向量为，且平面和底面所成角为锐角，平面和底面所成角的余弦值为公式法求解二面角：射影面积公式解法二：解：连结底面，底面，是在底面上的射影设平面和底面所成的角为，则不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，且平面和底面所成角为锐角，平面和底面所成角的余弦值为三角形面积用向量表示就是上题中的证明过程如下：设三角形两边向量为，三面角余弦公式OABC设为一个三面角，二面角的平面角为，则有OABC当、中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立。例25：已知正三棱锥的侧面与底面所

14、成角为，任两侧面夹角为，求证：ABOC证明：如图所示，设正三棱锥，的平面角为，的平面角为，ABOC由公式得：；整理得八、距离1求点点距离设，则，即，其中表示与两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式例26：已知正方体，、分别为和中点且是和的公垂线段求直线与间的距离AADBBDCAADBBDCCyMN，直线与间的距离是例27：已知平行六面体，求体对角线长BCABBCABDCAD体对角线长为例28：已知正方形的边长是，平面外的一点到正方形各顶点的距离都为，、分别是、上的点，且求线段的长ADBCNPOyM解：ADBCNPOyM，即，线段的长为异面直线上两点距离公式其中，是异面直线和的距离，为和所成的

15、角，、分别是异面直线、上的点、到公垂线与、的交点、的距离。如果点或在点或的另一侧时，则公式中取“”号BlADC例29：如图，在直二面角，点、，且，且，若，求线段的长BlADC解：2求点线距离已知一条直线上两点，直线外一点为，则有点与直线的距离，其中向量积有公式此公式亦可记为例30：过的直角顶点作线段垂直于这个三角形所在平面，已知，求点到的距离ACBDyACBDy，BDCAPy点BDCAPy例31：如图，垂直矩形所在平面，且，求点到的距离及的面积解：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，点到的距离为平方单位，的面积为平方单位3求点面距离如图，为平面任一点，已知为平面的一条斜线，为平面的

16、一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得nOPAnOPA即点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值例32：已知正方体求点到平面的距离解：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，AADBBDAADBBDCCy，令取平面的一个法向量为，点到平面的距离为例33：如图，已知正方形的边长为，、分别是、的中点，平面，且，求点到平面的距离ABGEFABGEFDCy，设平面法向量为，令取平面的一个法向量为，点到平面的距离为4求线线距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线公垂线和两条异面直线都相交，公垂

17、线上两个交点间的部分叫做异面直线的公垂线段例34：已知正方体，棱长为求直线与的距离解：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为AADBBDCCAADBBDCCy设点，点，且有，则，此时就是与公垂线段，直线与的距离为求异面直线间的距离也可以利用向量的正射影性质直接计算abnBA如图，设两条异面直线、的公垂线的方向向量为,这时分别在、上任取、两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线、的距离abnBA即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值直线、的距离解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，设异面直线与的

18、公垂线的方向向量，取则异面直线与的公垂线的方向向量，直线与的距离为两条异面直线间的距离公式实质与解法二相同：已知两条异面直线，其中一条上有两点、，另外一条直线上有另外两点、则有解法三：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，直线与的距离为极值法求异面直线间的距离已知、为异面直线，那么在上取一点，作垂直相交于点，设一变量，把表示为关于的函数，的最小值即为异面直线间的距离解法四：AADBBDCCyPFQ取任一点作垂直相交于点，作垂直相交于点，连结，所以设，则AADBBDCCyPFQ当时，有最小值为，所以直线与的距离为例35：正四面体边长均为求异面直线与的距离BCADOy解：以在上的射影为原点建立空间直角坐标系BCADOy，设异面直线与的公垂线的方向向量，取则异面直线与的公垂线的方向向量，异面直线与的距离为5求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这