人教A版高中数学必修5同步数列2课件

1、2.2等 差 数 列第1课时等 差 数 列2.2等 差 数 列人教A版高中数学必修5同步数列2课件1.等差数列的定义(1)条件:从第2项起.每一项与前一项的差等于同一个常数.(2)结论:这个数列是等差数列.(3)相关概念:常数叫做数列的公差,常用d表示.1.等差数列的定义【思考】(1)为什么强调“从第2项起”?提示:第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.【思考】(2)如何理解“每一项与前一项的差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.(2)

2、如何理解“每一项与前一项的差”?2.等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.(2)结论:A叫做a,b的等差中项.(3)满足的关系式:2A=a+b.人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学必修5同步数列22.等差中项人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学【思考】等式“2A=a+b”有哪些等价形式?提示:2A=a+bA-a=b-AA= .人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学必修5同步数列2【思考】人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学必修3.等差数列的通项公式递推公式通项公式an+1-an=d(nN*)an=a1+(n-1)d(nN*)人教A版高中数

3、学必修5同步数列2人教A版高中数学必修5同步数列23.等差数列的通项公式递推公式通项公式an+1-an=d(n【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列.()(2)常数列也是等差数列.()人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学必修5同步数列2【素养小测】人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.()(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.()人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学必修5同步数列2(3)根据等差数列

4、的通项公式,可以求出数列中的任意一项.(提示:(1).如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.(2).因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学必修5同步数列2提示:(1).如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7(3).只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.(4).若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学必修5同步数列2(3).只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项

5、.人教A版2.下列数列是等差数列的是()A. B.1, C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学必修5同步数列22.下列数列是等差数列的是()【解析】选D.因为 - - ,故排除A;因为 -1 - ,故排除B;因为-1-11-(-1),故排除C.人教A版高中数学必修5同步数列2人教A版高中数学必修5同步数列2【解析】选D.因为 - - ,故排除A;3.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=3,则数列an的通项公式为()A.an=3n-1B.an=2n+1C.an=2n+3D.an=3n+2【解析】选A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)3

6、=3n-1.3.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=3,则数列4. +1与 -1的等差中项是()A.1B.-1C. D.14. +1与 -1的等差中项是()【解析】选C.设等差中项为x,由等差中项的定义知x= .【解析】选C.设等差中项为x,由等差中项的定义知类型一等差数列的定义及应用【典例】1.(2019遂宁高一检测)已知数列an满足an+1-an=2,nN*,且a3=3,则a1=_.类型一等差数列的定义及应用2.已知数列an满足a1=2,an+1= (nN*),bn= (nN*).求证:数列bn是等差数列,并求出首项和公差.2.已知数列an满足a1=2,an+1= (n【思维引】1.由

7、an和an+1的关系判断数列an是等差数列及其公差,由第三项求第一项;【思维引】1.由an和an+1的关系判断数列an是等差2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为 =某常数的形式,方法二:bn+1-bn是常数.2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为 【解析】1.因为an+1-an=2,nN*,所以数列an是等差数列,其公差为2,因为a3=a1+22=3,所以a1=-1.答案:-1【解析】1.因为an+1-an=2,nN*,2.方法一:因为 所以 = +3,所以 - =3,又因为bn= (nN*),所以bn+1-bn=3(nN*),且b1= = .所以数列bn是等差数列,首项为 ,公差为3.

8、2.方法一:因为 方法二:因为bn= ,且an+1= 所以bn+1= = = +3=bn+3,所以bn+1-bn=3(nN*),b1= = .所以数列bn是等差数列,首项为 ,公差为3.方法二:因为bn= ,且an+1= 【素养探】在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(nN*)的关系,判定该数列是否为等差数列,培养学生推理、论证的能力.【素养探】将本例2的条件“a1=2,an+1= ”改为“a1= ,anan-1=an-1-an(n2)”,其他条件不变,如何解答?将本例2的条件“a1=2,an+1= ”改为“a1【解

9、析】因为anan-1=an-1-an(n2),所以 =1.(n2)又因为bn= ,所以bn+1-bn=1(nN*)且b1= =2.所以数列bn是等差数列,其首项为2,公差为1.【解析】因为anan-1=an-1-an(n2),【类题通】定义法判定数列an是等差数列的步骤:(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列an是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列an不是等差数列.【类题通】【习练破】若数列an的通项公式为an=10+lg2n(nN*),求证:数列an为等差数列.【习练破】【证明】因为an=10+lg2n=

10、10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=10+(n+1)lg2-(10+nlg2)=lg2(nN*).所以数列an为等差数列.【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,【加练固】1.以下选项中构不成等差数列的是()A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3D.a-1,a+1,a+3【加练固】【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的2.判断下列数列是否为等差数列.(1)a

11、n=3n+2.(2)an=n2+n.2.判断下列数列是否为等差数列.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2 (不是常数),所以此数列不是等差数列.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)类型二等差中项的应用【典例】1.已知a= ,b= ,则a,b的等差中项为()A. B. C. D. 类型二等差中项的应用2.an是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=()A.2B. C.1D. 2.an是等差数

12、列,a1与a2的等差中项为1,a2与a33.已知 , , 成等差数列,证明 , , 成等差数列.世纪金榜导学号3.已知 , , 成等差数列,证明 , ,【思维引】1.a,b的等差中项为 (a+b).【思维引】1.a,b的等差中项为 (a+b).2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差【解析】1.选A.a,b的等差中项为 = = .【解析】1.选A.a,b的等差中项为 2.选C.因为an是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a

13、1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.2.选C.因为an是等差数列,a1与a2的等差中项为1,3.因为 成等差数列,所以 化简得2ac=b(a+c),又 = = = = = =2 ,所以 , , 成等差数列.3.因为 成等差数列,【内化悟】三数a,b,c成等差数列的条件是什么?可用来解决什么问题?提示:条件是b= (或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.【内化悟】【类题通】1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.【类题通】(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的

14、前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,nN*,mn).(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的2.等差中项法判定等差数列若数列an满足2an=an-1+an+1(n2),则可判定数列an是等差数列.2.等差中项法判定等差数列【习练破】1.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则 等于()A. B. C. D. 【习练破】【解析】选C. 所以a= ,b= x.所以 .【解析】选C. 所以a= ,b= x.2.已知 成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.2.已知

15、 成等差数列,试证:a2,b【证明】由已知 成等差数列,可得 ,所以 ,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.【证明】由已知 成等差数列,【加练固】已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值.【加练固】【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).从而16=(6-d

16、)(4+d),即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,类型三等差数列的通项公式及应用【典例】1.有穷等差数列5,8,11,3n+11(nN*)的项数是()A.nB.3n+11C.n+4D.n+3类型三等差数列的通项公式及应用2.已知数列an中,a1=2,a2=1,又数列 为等差数列,则an=_.2.已知数列an中,a1=2,a2=1,又数列 3.(2019长春高一检测)等差数列an中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通项公式an;(2)45和85是不是该数列中的项?

17、若不是,说明原因;若是,是第几项?世纪金榜导学号3.(2019长春高一检测)等差数列an中,已知a3=【思维引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x与n的关系.方法二:由31+11=14,32+11=17,3n+11判断该等差数列有多少项.【思维引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通2.先求 ,再求an.3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可求;(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列中的项.2.先求 ,再求an.【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(

18、x-1)3,所以x = n+3.方法一:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=2.因为数列an中,a1=2,a2=1,所以 , = ,又数列 为等差数列,所以其公差d= ,所以 = +(n-1)d= (n-1)= ,所以an= .答案: 2.因为数列an中,a1=2,a2=1,所以 3.(1)在等差数列an中,由a3=10,a12=31,得 解得 所以an= + (n-1)= n+3.3.(1)在等差数列an中,由a3=10,a12=31,(2)由an= n+3=

19、45,解得n=18,故45是第18项;由an= n+3=85,得n= N*,故85不是数列中的项.(2)由an= n+3=45,解得n=18,故45是第18【内化悟】构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.【内化悟】【类题通】等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.【类题通】(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列an的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列an是等差数列.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的【习练破】1.等差数列1,-1,-3,-89的项数是_.【习练破】【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)(-2