金版学案高考人教版理科总复习课时精练69数学归纳法(含答案详析)

1、第九节数学归纳法1(2013福建三明模拟)某个与正整数n有关的命题，若是当nk(nN*，k1)时，该命题成立，则必然可推适合nk1时，该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，则()An4时该命题成立Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立Dn6时该命题不成立解析：由于“当nk(kN*，k1)时，该命题成立，则必然能推出当nk1时，该命题也成立”，故可得n5时该命题不成立，则必然有n4时，该命题也不成立应选C.答案：C1111*2若f(n)12346n1(nN)()A1B151111C12345D非以上答案解析：注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1111从1到6n1的自然数，故f(1)12

2、345.答案：C3(2013杭州质检)用数学归纳法证明不等式，则f(1)为1，分母是应选C.1n1n2113*2n0，14ac0，14?ac4.1ac2121211同原由k(x)2(x1)恒成立，得2ax2x2c01恒成立，也可得ac4.1综上所述，ac4，b2，因此k(x)1x21x1.424n22n12(3)证明：(法一：解析法)k(n)n44?14knn2，111n要证原不等式成立，即证2232(n1)22n4，1111由于(n1)2(n1)(n2)n1n2，111111111因此2232n22334n1n211n2n22n4，1112n因此k(1)k(2)k(n)n2.n22n1n2(

3、法二：数学归纳法)由k(n)44?42，n当n12时，左边1，右边3，左边右边，因此1k(n)n1时，不等式成立；nm时，不等式成立，即11假设当k(1)k(2)12mk(m)m2.111当nm1时，左边k(1)k(2)k(m)12m422m4m4k(m1)m2(m2)2m2，2m42m4m4由于m2m3(m2)2(m3)0，11112(m1)因此k(1)k(2)k(2)k(m1)(m1)2，即当nm1时，不等式也成立2n111综合可知，k(1)k(2)k(n)n2.9等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上求r的值

4、；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意*的nN，不等式b11b1b21b2bn1bnn1成立解析：由于对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上，因此得nSbr.nnnnn当n1时，a1S1br；当n2时，aSS1bbn1(b1)bn1，又由于an为等比数列，因此r1，公比为n1b，an(b1)b.证明：当b2时，an(b1)bn12n1，因此bn2(log22n11)2n，则bn12n1，因此b11b21bn1357b2nbbb6n2412n2n12n.b11b21bn13下面用数学归纳法证明不等式b1b2bn2572n

5、1462nn1成立33当n1时，左边2，右边2，由于22，因此不等式成立b11b21bk1假设当nk时不等式成立，即bbb12k3572k12462kk1成立b11b21bk1bk11则当nk1时，左边b2b1bb1kk3572k12k3k12k32462k2k22k2k24(k1)24(k1)14(k1)4(k1)1(k1)14(k1)(k1)1，因此当nk1时，不等式也成立由可知，不等式恒成立10(2013山东模拟)在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn1an1(nN*)2an(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列an的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想解析：112(1)11a1，得11.Sa2aa112由于an0，因此a11，由S2a1a22a2a2，得a22a210，因此a221.112又由S3a1a2a32a3a3，得a322a310，因此a332.猜想annn1(nN*)证明：当n1时，a1110，猜想成立*即akkk1，则当nk1时，ak1Sk1Sk11112ak1