机器人雅可比矩阵

1、机器人技术基础第四章 机器人雅可比矩阵 (Manipulator Jacobian)课程的基本要求: 掌握运动和力雅可比矩阵的物理含义及基本的求解方法4.1雅雅可比比矩阵的的定义回顾：基基本概念念刚体位姿姿描述和和齐次变变换齐次坐标标,欧拉拉角与RPY 角齐次变换换和齐次次变换矩矩阵的运运算操作臂运运动学连杆参数数、连杆杆坐标系系连杆变换换和运动动学方程程机器人关关节空间间与操作作空间关节角位位置和操操作臂末末端的直直角坐标标位置关节空间间操作空间间运动学正正解运动学反反解关节角速速度和操操作臂末末端的直直角坐标标速度关节空间间操作空间间运动学正正解运动学反反解4.1雅雅可比比矩阵的的定义(J

2、acobianmatrix)操作空间间速度与与关节空空间速度度之间的的线性变变换。操作臂的雅可比矩阵 ，建立了从关节速度向操作速度的映射关系。进行机器人操作臂的速度分析。式中， 称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作速度， 为关节速度； 是6n的偏导数矩阵，称为操作臂的雅可比矩阵。它的第i行第j列元素为 ，i=1,2,6; j=1,2,n。操作臂的运动学方程，描述机器人操作臂的位移关系，建立了操作空间与关节空间的映射关系。刚体的齐次变换矩阵，描述刚体之间的空间位姿关系。假设矢量量yRm为uRn的函数y=y(u)y相对于于u的偏偏导数定定义为对于m=1,（标量对对矢量的的导数）根据上述述一般数

3、数学定义义，对于于6关节节机器人人：设有6个各含6个独立变变量的函函数，简简写为x=f(q)。求微分，注意，如如果函数数f1(q)到到f6(q)是是非线线性的，则是是q的的函数，写成，式子子两边同同除以时时间的微微分，上式中，66的偏偏导数矩矩阵J(q)叫做雅可比矩矩阵。其其中机器人关关节数*雅可比比矩阵的的行数取取决于机机器人的的类型雅可比矩矩阵在机机器人中中的应用用可以把雅雅可比矩矩阵看作作是关节节的速度度变换到操操作速度度V的变变换矩阵阵在任何特特定时刻刻，q具有某一一特定值值，J(q)就是一一个线性性变换。在每一一新的时时刻，q已改变，线性变变换也因因之改变变，所以以雅可比比矩阵是是一

4、个时时变的线线性变换换矩阵。在机器人人学领域域内，通通常谈到到的雅可可比矩阵阵是把关关节角速速度和操操作臂末末端的直直角坐标标速度联联系在一一起的。必须注意意到，对于任何何给定的的操作臂臂的结构构和外形形，关节节速度是是和操作作臂末端端的直角角坐标速速度成线线性关系系，但这这只是一一个瞬间间关系。(x,y)21xyl1l2例4.1将平面2R机械械手的运运动学方方程两端端分别对对时间t求导,则得其其雅可比比矩阵为为平面2R机械手手的运动动学方程程为对于关节节空间的的某些形形位q，操作臂臂的雅可可比矩阵阵的秩减减少、这这些形位位称为操操作臂的的奇异形形位：操作臂的的雅可比比矩阵的的秩减少少的形位位

5、（数学学上）操作臂在在操作空空间的自自由度将将减少（物理上上）(singularconfiguration)(x,y)21xyl1l2例4.1可利用雅雅可比矩矩阵的行行列式判判别奇异异形位当290或或20时,机械手手的雅可可比行列列式为0矩阵阵的秩为为1，因因而处于于奇异状状态。从从几何上上看机械械手完全全伸直(20)或或完全缩缩回(2180)时，机械手手末端丧丧失了径径向自由由度仅仅能沿切切向运动动，在奇奇异形位位时，机机械手在在操作空空间的自自由度将将减少。例4.2如如图所示示为了了实现平平面2R机械手手末端沿沿x0轴以lm/s的速度度运动，求相应应的关节节速度解：由可可以以看出，只要机机

6、械手的的雅可比比J(q)是满秩秩的方阵阵,相应应的关节节速度即即可解出出对于平面面2R机机械手，运动学学方程为为平面2R机械手手的速度度反解例4.2如如图所示示为了了实现平平面2R机械手手末端沿沿x0轴以lm/s的速度度运动，求相应应的关节节速度解：雅可可比J(q)为为于是得到到与末端端速度相相应应的关节节速度反解为逆雅可比比可为讨论：机机械手接接近奇异异形位时时，关节节速度将将趋于无无穷大。当20；2180时，机机械手在在水平位位置，例：物理理仿真中中的雅可可比矩阵阵约束函数数C(x),单位圆上上的质点点位置约约束为一般情况况下，采采用位姿姿矢量q聚合表达达n个粒粒子的位位置。在在3D空空间

7、，矢矢量长度度为3n。考虑虑位置约约束C是一个关关于位姿姿矢量q的未知知函数，则速度度约束 矩阵被被称称作C的雅可比比矩阵，记作J。为了进进行物理理仿真，求微分分，根据力力学关系系，建立立微分约约束方程程，基于于物理仿仿真。例子2：立体视视觉雅可可比矩阵阵两只CCD摄像像机任意意的安装装在机器器人手腕腕上，形形成手眼眼机器人人立体视视觉系统统。Xc,Yc,Zc为摄像像机坐标标系，x,y为图像像坐标系系，CO为摄摄像机焦焦距fXw,Yw,Zw为世界界坐标系系，则根据上述述透视投投影关系系,得到到以世界坐标标系表示示的P点点坐标与与其投影点p的坐标标(x,y)的的关系：scene pointopt

8、ical centerimage planeyxXcYcCOpP(Xc, Yc, Zc)ZcXwYwZwW摄像机成成像模型型对上式两两边求导导，得：为世界坐坐标系到到图像坐坐标系的的雅可比比映射矩矩阵，它它是摄像像机内外外参数的的函数。进一步步，经过过立体视视觉摄像像机定标标，得到到：其中，=，k代表摄像像机1，2。上式为为手眼机机器人跟跟踪系统统的视觉觉伺服控控制方程程。如果物体体在世界界坐标系系下的速速度已已知，根据采采样时间间步长t，前前一帧图图像位置置x(k)，根据据上式可可以估计计下一帧帧图像位位置x(k+1)，则可通过过控制摄摄像机位位姿，可可以实现现对目标标的跟踪踪。4.2微微分

9、运运动与广广义速度度4.2微微分运运动与广广义速度度刚体或坐坐标系的的微分运运动包含含微分移移动矢量量d和微分转转动矢量量。前者由沿沿三个坐坐标轴的的微分移动动组成；后者又又绕三个个坐标轴轴的微分分转动组组成，即即将两者合合并为6维列矢矢量D，称为刚刚体或坐坐标系的的微分运运动矢量量：相应地，刚体或或坐标系系的广义义速度V是由线速速度v,组成的6维矢量量： d微分运动动D和广义速速度V是相对于于参考坐坐标系而而言的。例如，相对于于坐标系系T而言，用用，表表示示。d若相对于于基坐标标系的微微分运动动为D，则相对于于坐标系系T的微分分运动为为Tpnoa注意：D的微分位位移和旋旋转应看看作通过过基坐

10、标标系的原原点的矢矢量。合并写为为对于任何何三维矢矢量p=px，py，pzT，其反对对称矩阵阵S(p)定义为为S(p)是一个个叉积算算子，易易证S(p)=p,S(p)=(p)T微分位移移的变换换简写为为式中,R=n,o,a是是旋转矩矩阵。相应地，广义速速度V的的坐标标变换为为任意两坐坐标系A,B之间广广义速度度的坐标标变换为为4.3雅雅可比比矩阵的的构造法法雅可比矩矩阵J(q)既可看成成是从关关节空间间向操作作空间速速度传递递的线性性关系，也可看看成是微微分运动动转换的的线性关关系，即即对n个关关节的机机器人，J的每一列列代表相相应的关关节速度度对于手手爪线速速度和角角速度的的传递比比。因此此

11、，可将将雅可比比矩阵分分块为4.3雅雅可比比矩阵的的构造法法关节速度度线速度角速度关节1速速度引起起手爪的的线速度度下面采用用构造性性的方法法直接构构造出各各项Jti和JaiWhitney基于运运动坐标标系的概概念提出出求机器器人雅可可比的矢矢量积方方法。如如图所示示,末端端手爪的的线速度度v和角速度度与关节速速度有有关（1）对对于移动关节i,（2）对对于转动关节i,标量矢量矢量积方方法其中，表示手爪爪坐标原原点相对对坐标系系i的位置置矢量在在基坐标标系o 中的的表示。zi是坐标系系i的z轴单位向向量(在在基坐标标系o表示的的)。用矢量积积方法计计算J(q)由于PUMA560的6个个关节都都是

12、转动动关节因此其其雅可比比具有下下列形式式：4.4PUMA560的雅雅可比矩矩阵4.5力力雅可可比机器人与与外界环环境相互互作用时时，在接接触的地地方要产产生力f和力矩n，统称为为末端广广义(操操作)力力矢量。记为例如，操操作臂提取重物物时承受受的外载载作用力力和力矩矩；抓手手对被抓抓物体的的作用力力和力矩矩；多足足步行机机构与地地面的作作用力和和力矩。在静止止状态下下，广义义操作力力矢量f应与各关关节的驱驱动力(或力矩矩)相平平衡。n个关节的的驱动力力(或力力矩)组组成的n维矢量量称为关关节力矢矢量预备知识识操作器的静静力利用虚功功原理可以导导出关节节力矢量量与相应的的广义操操作力矢矢量F之

13、之间的关关系。令令各关节节的虚位位移为qi，末端执执行器相相应的虚虚位移为为D。所所谓虚位位移，是是满足机机械系统统几何约约束的无无限小位位移。各各关节所所作的虚虚功之和和WTq与末端执执行器所所作的虚虚功WFTDfTd+nT应该相等等(总的的虚功为为零)，即将代代入入上式可可得出操作臂的的力静态态平衡4.5力力雅可可比式中，JT(q)称为操作作臂的力力雅可比比。它表表示在静静态平衡衡状态下下，操作作力向关关节力映映射的线线性关系系。上式式也表示示操作臂臂的力雅雅可比就就是它的的(运动动)雅可可比的转转置。因因此可以以看出操作臂臂的静力力传递关关系与速速度传递递关系紧紧密相关关。具有有对偶性性

14、。操作臂的的力雅可可比表示示在静态态平衡状状态下，操作力力向关节节力映射射的线性性关系。当J(q)退化化时(即即秩亏)，操作作臂处于于奇异形形位。J(q)的零空空间N(J(q)表示示不产生生操作速速度的关关节速度度的集合合。静力映射射的零空空间N(JT(q)代表表不需要要任何关关节驱动动力(矩矩)而能能承受的的所有操操作力的的集合，末端操操作力完完全由机机构本身身承受。而值域域空间R(JT(q)则表示示操作力力能平衡衡的所有有关节力力矢量的的集合。根据线性性代数的的有关知知识，零零空间N(J(q)是值值空间R(JT(q)在n维关节节空间的的正交补补，即对对于任何何非零的的N(J(q)，则则有R

15、(JT(q)；反反之亦然然。其物物理含义义是，在在不产生生操作速速度的这这些关节节速度方方向上，关节力力矩不能能被操作作力所平平衡。为为了使操操作臂保保持静止止不动，在零空空间N(J(q)的的关节力力矢量必必须为零零。在m维操操作空间间中存在在着相似似的对偶偶关系。R(J(q)是N(JT(q) 在操操作空间间的正交交补。因此，不不能由关关节运动动产生的的这些操操作运动动的方向向恰恰正正是不需要关节节力矩来来平衡的的操作力力的方向向。反之之，若外外力作用用的方向向是沿着着末端执执行器能能够运动动的方向向，则外外力完全全可以由由关节力力(矩)来平衡衡。当雅雅可比J(q)退化时时，操作作臂处于于奇异

16、形形位，零零空间N(JT(q)不只包包含0，因而外外力可能能承受在在操作臂臂机构本本身上。利用瞬时时运动和和静力的的对偶关关系，可可以从瞬瞬时运动动关系推推导出相相应的静静力关系系。由式式(4.18)可以导导出两坐坐标系A和和B之间广广义操作作力的坐坐标变换换关系例：双连杆杆平面机机器人(p48, 55-56)：双连杆操操作器4.5雅雅可比比的奇异异性和灵灵巧度一、雅可比的奇奇异性操作臂的的雅可比比依赖于于形位q，关节空空间的奇奇异形位位q定义为操操作臂6n的雅可比比的秩不不是满秩秩的这些些关节矢矢量q，即满足足相应的操操作空间间中的点点xx(q)为工作作空间的的奇异点点。在奇奇异形位位处，操

17、操作臂丧丧失一个个或多个个操作自自由度。粗略地地讲，机机器人的的奇异形形位分为为两类：(1)边边界奇异异形位；(2)内内部奇异异形位。二、速度度反解机器人在在执行某某一特定定任务时时，所需需抓手独独立运动动参数的的数目m随任务的的性质而而异，最最多为6，有些些则小于于6，例例如弧焊焊、喷漆漆等有对对称轴线线，独立立运动参参数是5个；带带球形测测头的机机器人需需要3个个独立运运动参数数；用于于圆柱铣铣刀加工工的需要要4个独独立运动动参数。用于端端铣刀的的需要4个独立立运动参参数，用用于平面面作业的的机器人人需要3个独立立运动参参数。独独立运动动参数的的数目即即为操作作空间的的维数m(1)当当Mn

18、，且J(q)是满秧秧时，机机器人具具有冗余余自由度度，冗余余度定义义为dim(N(J)(2)当当Mn，且J(q)是满秩秩的，称称为满自自由度；(3)当当Mn，机器器人是欠欠自由度度的。对于满自自由度的的机器人人，J(q)是是方阵，一般情情况下，根据操操作速度度，可可以反解解出相应应的关节节速度。只是在在奇异形形位时，逆雅可可比J-1(q)不不存在，速度反反解可能能不存在在。并且且，在奇奇异点附附近J(q)矩矩阵是病病态的，反解的的关节速速度矢量量可能趋趋于无限限大。操操作臂的的运动性性能和动动态性能能变坏。实际上上，若雅雅可比J(q)是满秩秩方阵时时，操作作臂运动动方程的的速度反反解为雅可比矩

19、矩阵的秩秩若J是方阵，且非奇奇异，求求逆运算算对于冗余余度机器器人，其其雅可比比的列数数多于行行数即即nm。当J(q)是满秩秩的时，冗余度度为dim(N(J(q)=nm0其运动方方程(4.2)的速度度反解不不唯一，解集合合所包含含的任意意参数的的数目等等于冗余余度dim(N(J(q)。其通通解可表表示为式中，是是方方程(4.2)的一特特解;是是J(q)零空间间的任意意矢量，k是任意常常数.冗余度机机器人对对于避免免碰撞，避开奇奇异状态态，增加加操作臂臂的灵巧巧性，改改善动态态性能会会带来好好处。若其中是J的广义逆逆操作臂雅雅可比的的奇异性性定性地地描述了了操作臂臂的运动动灵巧性性和运动动性能。

20、为了定定量分析析操作臂臂的灵巧巧性和速速度反解解的精度度，提出出了许多多度量指指标。所所有这些些指标在在概念上上都与雅雅可比的的奇异值值有关。根据矩矩阵的奇奇异值分分解理论论，对操操作臂在在任意形形位的雅雅可比J(q)进行奇奇异值分分解，即即式中，为为正交交矩阵，而式中，12m0为为J的奇奇异值。三、雅可可比矩阵阵的奇异异值分解解1.条件件数四、灵巧巧性度量量指标最大奇异异值最小奇异异值2.最最小奇异异值操作臂形形位具有有各向同同性操作臂终终端对于于关节运运动的响响应越快快。3可操操作性(可操作作度)小节计算雅克克比速度映射射力映射作业：4.4,4.5,4.154.7刚刚度和和变形机械臂在在外

21、力作作用下发发生变形形，与操操作臂刚刚度和作作用力矢矢量有关关。刚度是影影响动态态特性和和定位精精度的主主要因素素。主要来源源：连杆杆变形、连杆支支撑和关关节驱动动装置。机器人关关节变形形的一个个直接影影响是引引起末端端的静态态变形误误差。在在机器人人的自重重和外部部负载的的作用下下，各关关节会发发生相应应的变形形，而这这种变形形又会累累积到机机器人的的末端。对串联联机器人人，这种种作用尤尤为明显显。对于绝大大多数工工业机器器人，连连杆臂的的刚度足足够大，机器人人的弹性性变形主主要体现现在组成成关节的的传动部部件上。关节变形形主要是是由传动动件产生生，如谐谐波齿轮轮，齿轮轮箱，传传动带，长转轴轴。连杆杆变形则则主要是是机械臂臂的结构构刚度不不足引起起的。转子扭扭簧模型型操作刚度度建模为操作柔柔度矩阵阵为操作刚刚度矩阵阵在关节处处附加一一个弹簧簧，其弹弹性系数数为k。称k为关节刚刚度，称称k的倒数c为关节柔柔度。设各关节节刚度为为kqi，在外力力F的作用下下，末端端的变形形为X，各关节节的弹性性变形为为dqi。模态分析析结果4.8误误差标标定和补补偿要对机器器人位姿姿和轨迹迹误差进进行补偿偿，