专题22＋内切球与外接球的解题策略（理）

1、PAGE21专题22内切球与外接球的解题策略一【学习目标】1掌握球的表面积体积公式2掌握恢复长方体法求球的表面积及体积3掌握多面体与球问题4掌握外接球与内切球的解法二【典例分析及训练】（一）球相关问题例1已知A，B，C是球面上三点，且，球心O到平面ABC的距离等于该球半径的，则此球的表面积为ABCD【答案】D【解析】求出三角形ABC的外心，利用球心到ABC所在平面的距离为球半径的，求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】由题意AB6，BC8，AC10，6282102，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，设球的半径为R，球心到ABC所在平

2、面的距离为球半径的，所以R2（R）252，解得R2，球的表面积为4R2故选：D【点睛】本题考查球的表面积的计算，考查球的截面的性质，属于基础题练习1已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】先利用等边三角形中心的性质，结合勾股定理计算得球的半径，过的最大截面是经过球心的截面，可由球的半径计算得出过最小的截面是和垂直的截面，先计算得的长度，利用勾股定理计算得这个截面圆的半径，网【点睛】本小题主要考查几何体外接球的问题，考查过一点球的截面面积的最大值和最小值问题，属于中档题的圆面

3、，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是Acm3Bcm3Ccm3Dcm3【答案】C【解析】设球心为，截面圆心为，连结，由球的截面圆性质和勾股定理，结合题中数据算出球半径，再利用球的表面积和体积公式即可算出答案【详解】设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆中，球半径，因此球体积，故选C【点睛】本题着重考查了球的截面圆性质、球的体积公式等知识，通过轴截面图得到球的半径是解题的关键，属于基础题（二）多球外切问题例2把三个半径都是1的球放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与下边的三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为（）ABCD4【答案】C【解析】先求四个球心连线是正三

4、棱锥的高，而第四个球的最高点与桌面的距离即为高加上两个半径，从而求出所求【详解】四个球心连线是正三棱锥棱长均为2ED=，OD=ED=，AO=第四个球的最高点与桌面的距离为OA加上两个半径即2故选：C【点睛】本题主要考查了由4个相同球外切时的球心连线构成一个正四面体，顶点到底面的距离，同时考查了转化与划归的思想，以及计算能力，属于中档题练习现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是（）ABCD【答案】A【解析】如图所示，A,B是半径为2的球的球心，C,D是半径为3的球的球心，O是第五个球的球心由题得,，因为平面BEC，所以在直角AEO中，故选

5、A点睛：本题的难点在于画图和从线面关系里找到方程所以首先要把图画得直观，再从几何图里找到线面关系利用解三角形的知识列出方程练习3已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为_【答案】【解析】思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=、CD中点为F，连接EF在ABF中可得，在EBF中可得由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连接OA、OD设第五个球的半径为r，根据OEOF=EF建立的方程如图，设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=、C

6、D中点为F，连接EF在ABF中求得BF=，在EBF中求得EF=由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连接OA、OD设第五个球的半径为r，则OA=r3，OD=r2，于是OE=，OF=，OEOF=EF，平方整理再平方得，解得或（舍掉），故答案为点评：本题通过分析球心的位置，根据它们构成的几何体特征，转化成平面几何中三角形边角关系，利用方程思想得解（三）多面体的最值与球问题，B，C，D在同一个球的球面上，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球

7、的半径，进而求得球的面积。【详解】根据题意，画出示意图如下图所示因为，所以三角形ABC为直角三角形，面积为，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值即当DQ平面ABC时体积最大所以所以设球心为O，球的半径为R，则即解方程得所以球的表面积为所以选D【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题。练习1三棱锥中，互相垂直，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD【答案】B三棱锥扩充为长方体，则长方体的

8、对角线长为，三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为选B点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法1求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解2若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解（四）多面体放入球中求球的表面积和体积的球面上，若ABC是边长为的等边三角形，C1C=，则球O的表面积为ABCD【答案】D【解析】根据组合体的结构特征，现求得三棱柱的底面正三角形的外接圆的半径，在利用勾股定理求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即

9、可求解【详解】由题意，设三棱柱的底面是边长为的等边三角形，设其外接圆的半径为，由正弦定理可得，即又由三棱柱的侧棱长为，所以三棱柱的外接球的半径，所以外接球的表面积为，故选D【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且

10、垂直于平面的直线上，可知是直线与面的交点，也是直线与直线的交点没有此可求三棱锥外接球的半径，得到棱锥的外接球的表面积详解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，又点到距离相等，点又在线段的垂直平分面上，故是直线与面的交点，可知是直线与直线的交点（分别是左侧正方体对棱的中点），故三棱锥外接球的半径，表面积为故选A点睛：本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题练习2如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，分别为棱，上一点，已知，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）ABCD【答案】

11、C【解析】在棱CD上取一点H,使得HD=1,平面BCE,又平面BCE，平面平面BCE，又平面平面ABCD=GH,平面平面ABCD=BC,=HD=1,故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为4，1，1，所以球的表面积为点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径

12、，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球练习3知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长为球半径的倍，且圆和圆所在平面所成的二面角是，则圆的半径为（）ABCD【答案】D【解析】设公共弦中点为N，则选D点睛:求解球问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解练习4三棱锥中，侧棱底面，则该三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【答案】B点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径公式是解答的关键练习5三棱

13、锥中，平面，是边长为2的等边三角形，则该几何体外接球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】设三角形和三角形的中心分别为，是球心，连接交于，则是平行四边形，外接球半径所以表面积为故选D（五）内切球问题例5已知，四点均在以点为球心的球面上，且，若球在球内且与平面相切，则球直径的最大值为A1B2C4D8【答案】D【解析】如图所示:取CD的中点O,连接AO,BO,如图，因为BC=BD=，,所以因为，所以AOCD,且AO=2，又因为OD=4，BO=4，所以故AOOB，又BOCD=O,所以AO平面BCD,所以在AO上，连接,设则即解之得R=5，球的直径最大时，球与平面BCD相切且与球内切，A,O,四点共

14、线，此时球的直径为R=点睛：本题是一个难题，只有通过计算，认清以A,B,C,D为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心的位置，借助方程求出球的半径，直观判断球心的位置，才能迎刃而解练习1一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的长轴长为_【答案】8正视图为内切一个圆,且r=2,的半径，然后根据勾股定理求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON长，最后应用勾股定理确定圆N的半径详解：如图，过圆心的平面与的夹角为且平面截球的球面得圆点睛：本题考查球截面与二面角问题，球半径为，球

15、截面圆的半径为，球心到截面距离为，满足练4表面积为的球面上有四点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥体积的最大值是_【答案】（七）恢复长方体法求外接球半径例7已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为（）ABCD【答案】C【解析】如图,设,球心到平面的距离,则,由图形可得,所以,即；又,即,由此可得,解之得或,应选C（八）外接球问题中截面圆妙用例8已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】分析：根据题意作出图形，欲求球的表面积，只需求出球的半径，利用截面圆的性质

16、，即可求出，进而求出底面上的高，即可得到三棱锥的体积，从而建立关系式求得的值，即可得到求得表面积详解：根据题意作出图形，如图所示，设球心为，球的半径为，过三点的小圆的圆心为，则平面，延长交球于点，则平面，因为，所以，所以高，又由为边长为4的等边三角形，所以，所以三棱锥的体积为，解得，所以外接球的表面积为点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径练习1若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2,AB=1,AC=2,BAC=60,则球O的表面积_【答案】16【解析】如图所示，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，以为平面，所以，所以，所以截球所得的圆的半径为,所以球的半径为，所以的表面积为点睛：点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接