(新高考)高考数学一轮复习课件第3章§3.6《利用导数证明不等式》(含解析)

1、第三章题型一将不等式转化为函数的最值问题例1已知函数g(x)x3ax2.(1)若函数g(x)在1,3上为单调函数，求a的取值范围；由题意知，函数g(x)x3ax2，则g(x)3x22ax，若g(x)在1,3上单调递增，则g(x)3x22ax0在1,3上恒成立，若g(x)在1,3上单调递减，则g(x)3x22ax0在1,3上恒成立，(2)已知a1，x0，求证：g(x)x2ln x.由题意得，要证g(x)x2ln x，x0，即证x3ax2x2ln x，即证xaln x，令u(x)xaln x，x0，当0 x1时，u(x)1时，u(x)0，函数u(x)单调递增.所以u(x)u(1)1a，因为a1，所

2、以u(x)0，故当a1时，对于任意x0，g(x)x2ln x.教师备选因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，所以g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1.则h(1)0，所以h(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，h(x)h(1)0，思维升华待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证.跟踪训练1已知函数f(x)ln x ，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；当a0时，f(x)

3、0，f(x)在(0，)上单调递增.当a0时，若xa，则f(x)0，函数f(x)在(a，)上单调递增；若0 xa，则f(x)0时，证明：f(x) .由(1)知，当a0时，f(x)minf(a)ln a1.当0a1时，g(a)1时，g(a)0，所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以g(a)ming(1)0.题型二将不等式转化为两个函数的最值进行比较例2(2022武汉模拟)已知函数f(x)aln xx.(1)讨论f(x)的单调性；f(x)的定义域为(0，)，当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增.当a0；若x(0，a)，则f(x)0.所以f(x)在(a，)上单

4、调递增，在(0，a)上单调递减.综上所述，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减.(2)当a1时，证明：xf(x)ex.当a1时，要证xf(x)ex ，即证x2xln x0，得x(0，e)；令g(x)0，得x(e，).所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，当x(0,2)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以h(x)ming(x)max，教师备选再令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0

5、.因为h(x)与(x)不同时为0，思维升华若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.本例中同时含ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明.跟踪训练2(2022百校大联考)已知函数f(x)eln xax(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性；若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.当ae时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减.所以f(x)maxf(1)e.所以当0 x1时，g(x)1时，g(

6、x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e.综上，当x0时，f(x)g(x)，故不等式xf(x)ex2ex0得证.题型三适当放缩证明不等式例3已知函数f(x)ex.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；由f(x)ex，得f(0)1，f(x)ex，则f(0)1，即曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1x0，所以所求切线方程为xy10.(2)当x2时，求证：f(x)ln(x2).设g(x)f(x)(x1)exx1(x2)，则g(x)ex1，当2x0时，g(x)0时，g(x)0，即g(x)在(2,0)上单调递减，在(0，)上单调递增，于是当x0时，g(x)mi

7、ng(0)0，因此f(x)x1(当且仅当x0时取等号)，令h(x)x1ln(x2)(x2)，则当2x1时，h(x)1时，h(x)0，即有h(x)在(2，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，于是当x1时，h(x)minh(1)0，因此x1ln(x2)(当且仅当x1时取等号)，所以当x2时，f(x)ln(x2).教师备选由已知得，f(1)0，10n0，解得n1.解得m1.(2)证明：f(x)2g(x)1.设h(x)exx1(x0)，则h(x)ex10，h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)0，即exx11，即证xln xx1，令m(x)xln xx1，则m(x)ln x，当x(0,1)时

8、，m(x)0，m(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，m(x)minm(1)0，即m(x)0，xln xx1，则f(x)2g(x)1得证.思维升华导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下：(1)ex1x，当且仅当x0时取等号.(2)ln xx1，当且仅当x1时取等号.跟踪训练3已知函数f(x)aex1ln x1.(1)若a1，求f(x)在(1，f(1)处的切线方程；当a1时，f(x)ex1ln x1(x0)，kf(1)0，又f(1)0，切点为(1

9、,0).切线方程为y00(x1)，即y0.(2)证明：当a1时，f(x)0.a1，aex1ex1，f(x)ex1ln x1.方法一令(x)ex1ln x1(x0)，(x)在(0，)上单调递增，又(1)0，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，(x)min(1)0，(x)0，f(x)(x)0，即f(x)0.方法二令g(x)exx1，g(x)ex1.当x(，0)时，g(x)0，g(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，g(x)ming(0)0，故exx1，当且仅当x0时取“”.同理可证ln xx1，当且仅当x1时取“”.由exx1ex1x(当且仅

10、当x1时取“”)，由x1ln xxln x1(当且仅当x1时取“”)，ex1xln x1，即ex1ln x1，即ex1ln x10(当且仅当x1时取“”)，即f(x)0.KESHIJINGLIAN 课时精练基础保分练1234(1)求实数a的值，并求f(x)的单调区间；1234则f(e)0，即a0，1234令f(x)0，得1ln x0，即0 xe；令f(x)0，得1ln xe，f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，).1234(2)求证：当x0时，f(x)x1.1234当x0时，要证f(x)x1，即证ln xx2x0，令g(x)ln xx2x(x0)，当0 x0，g(x)单调递

11、增；当x1时，g(x)0时，f(x)x1.12342.已知f(x)xln x.(1)求函数f(x)的极值；1234由f(x)xln x，x0，12341234问题等价于证明1234由m(x)0得0 x0，f(x)在(0，)上单调递增，12341234(2)证明：exe2ln x0恒成立.1234要证exe2ln x0，即证ex2ln x，令(x)exx1，(x)ex1.令(x)0，得x0，当x(，0)时，(x)0，(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，(x)min(0)0，即exx10，即exx1，当且仅当x0时取“”.1234同理可证ln xx1，当且仅当x1时取“”.由exx1(当且仅当x0时取“”)，可得ex2x1(当且仅当x2时取“”)，又x1ln x，当且仅当x1时取“”，ex2x1ln x且两等号不能同时成立，故ex2ln x.即证原不等式成立.12344.(2022常德模拟)已知函数f(x)xexx.(1)讨论f(x)的单调性；拓展冲刺练1234由题意得f(x)(x1)ex1，设g(x)(x1)ex，则g(x)(x2)ex，当x1时，g(x)0，f(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，又因为g(0)1，所以当x0时，g(x)1，即f(x)0时，g(x)1，即f(x)0，综上可知，f(x)在(，0)上单调递减，