专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类高考数学一轮复习题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

1、 专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类 目录一、热点题型归纳TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc17164 【题型一】正余弦定理 PAGEREF _Toc17164 2 HYPERLINK l _Toc30645 【题型二】求角 PAGEREF _Toc30645 3 HYPERLINK l _Toc2355 【题型三】判断三角形形状 PAGEREF _Toc2355 5 HYPERLINK l _Toc8506 【题型四】面积与最值 PAGEREF _Toc8506 6 HYPERLINK l _Toc8910 【题型五】周长与最值 PAGEREF _Toc891

2、0 8 HYPERLINK l _Toc29573 【题型六】角的最值 PAGEREF _Toc29573 10 HYPERLINK l _Toc10682 【题型七】最值 PAGEREF _Toc10682 12 HYPERLINK l _Toc21503 【题型八】切弦互化求最值 PAGEREF _Toc21503 14 HYPERLINK l _Toc23726 【题型九】解三角形应用题 PAGEREF _Toc23726 15 HYPERLINK l _Toc8598 二、真题再现 PAGEREF _Toc8598 19 HYPERLINK l _Toc5555 三、模拟检测 PAGE

3、REF _Toc5555 24正余弦定理(1)正弦定理：eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，其中R为 外接圆半径 ；注意：正弦定理变式与性质：边化正弦：a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；正弦化边：sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)；abcsin_Asin_Bsin_C；eq f(abc,sin Asin Bsin C) 2R ；(2)余弦定理：a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C注意：变式：cos Aeq f(

4、b2c2a2,2bc)；cos Beq f(c2a2b2,2ac)；cos Ceq f(a2b2c2,2ab)(3)三角形面积 ：SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin Beq f(abc,4R) SABCeq f(1,2)(abc)r(r是切圆的半径)三角形中：sin(AB)sinC，cos(AB)cosC；sin eq f(AB,2)cos eq f(C,2)， coseq f(AB,2)sineq f(C,2)；三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；abABsin Asin BcosAcosB【题型一】正余弦定理【典例分析】（

5、2022上海市松江一中高三阶段练习）在中，、分别是角、所对的边，是、的等差中项，则与的大小关系是（）ABCD【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在中是、的等差中项，所以，又，所以，由余弦定理，又，当且仅当时取等号，所以，所以，即，即，所以；故选：D【提分秘籍】基本规律正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；证明化简过程中边角互化；求三角形外接圆半径.【变式演练】1.（2022江西丰城九中高三开学考试（文

6、）已知的三个内角，的对边分别为，且，则（）ABCD【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得【详解】由，边化角得，又，所以，展开得，所以，因为，所以故选：B2.（2023全国高三专题练习）在中，则的可能取值为（）ABCD【答案】D【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于的三角函数，求出范围即可得结果.【详解】因为，所以，即得，由正弦定理可得，则的可能取值为，故选：D.3.面积（无最值型）【题型二】求角【典例分析】（2022山西吕梁三模（文）在中，内角的对边分别为，若，则（）ABCD【答案】B【分析】由结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出，再由内角和定理

7、以及三角恒等变换得出.【详解】由得，结合余弦定理，可得，再由正弦定理得，因为，所以，所以，得因为，所以故选：B【提分秘籍】基本规律1.构造正余弦定理，特别是余弦定理。2.要主语三角形中条件，判定是锐角还是钝角。【变式演练】1.（2022全国高三专题练习）已知在中，则等于（）ABC或D【答案】C【分析】根据正弦定理，结合三角形中的边角关系，即可求得答案.【详解】由正弦定理,得，因为，故或，故选：C2.（2022全国高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（）ABCD1【答案】A【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角，由此可求.【详解】因为，又，所以，所以，

8、又，所以，所以，又，所以，所以，所以，故选：A.3.（2023全国高三专题练习）已知的内角的对边分别为，设，则 （）ABCD【答案】C【分析】根据给定条件利用正弦定理角化边，求出角A，再求出角B即可计算作答.【详解】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得：，而，解得，由得，显然，则，所以.故选：C【题型三】判断三角形形状【典例分析】（2023全国高三专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（）A等腰直角三角形B等边三角形C等腰三角形D直角三角形【答案】A【分析】由结合余弦定理可求得，由结合正弦定理可求得，从而可判断出三角形的形状【详解】由，得，所以由余弦定理得，因为，所

9、以，因为，所以由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以,所以为等腰直角三角形，故选：A【提分秘籍】基本规律利用正余弦定理判断：边化角或者角化边，转化为边的勾股或者相等，或者求角度相等（互余）【变式演练】1.(2021广东高三阶段练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【答案】C【分析】先依据条件求得，再利用可以求得，从而判断ABC的形状是等边三角形【详解】ABC中，则又，则由，可得，代入则有，则，则又，则ABC的形状是等边三角形故选：C2.（2023全国高三专题练习）在中，角、的对边分别为、，若，

10、则是（）A钝角三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在中，由正弦定理得，而， ，即，又、为的内角，又，由余弦定理得：，为等边三角形.故选：B.3.（2023全国高三专题练习）已知三角形ABC，则“”是“三角形ABC为钝角三角形”的（）条件.A充分而不必要B必要而不充分C充要D既不充分也不必要【答案】A【分析】利用同角的三角函数的基本关系式、正余弦定理可判断两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故，故，故，而为三角形内角，故为钝角，但若三角形ABC为钝角三角形，比如取，此时，故不成立，故

11、选：A.【题型四】面积与最值【典例分析】（2021江苏高三课时练习）在锐角三角形ABC中,若，且满足关系式，则的面积的最大值为（）ABCD【答案】C【分析】由结合同角三角函数基本关系，可求出B，根据正余弦定理由可得b,再利用余弦定理及均值不等式求最大值，代入面积公式即可.【详解】由得,所以，即,解得,由锐角三角形知,，即，得，当且仅当时等号成立，解得，,当且仅当时等号成立，故选：C【提分秘籍】基本规律多使用均值不等式来放缩求最值范围【变式演练】1.（2020全国高三课时练习）在中，内角，的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为 ABCD【答案】B【解析】由已知利用三角形的面积公式可求，可得，的

12、值，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的面积公式即可求解其最大值【详解】解：，又，由余弦定理可得：，当且仅当时取等号，面积的最大值为故选：2.（2023全国高三专题练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则ABC的面积为时，k的最大值是（）A2BC4D【答案】B【分析】由三角形的面积公式，可得，根据余弦定理，可得，则整理出以为函数值的三角函数，根据三角函数的性质，可得的最值.【详解】由题意得，所以，又因为，所以，所以，其中，且，所以的取值范围为，故选：B.3.（2023全国高三专题练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为()A1B3C2D

13、4【答案】C【分析】根据利用三角恒等变换和正余弦定理得到，再根据余弦定理和基本不等式可得cosB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据可求ABC面积的最大值【详解】，即，即，则，理得，当且仅当a2=3c则故选：C【题型五】周长与最值【典例分析】（2022全国高三专题练习）在中，角所对的边分别为，若，则周长的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合的范围可求，再由余弦定理求得 ，再由基本不等式，求得的范围，即可得到的范围，进而可求周长的范围【详解】，可得：，解得，由余弦定理可得 由， ，得，即周长 故选：A【提分秘籍】基本规律注意条

14、件合理的分析转化1.角与对边型：正弦定理2.对称边，可以余弦定理+均值不等式【变式演练】1.在中，角所对的边分别为，若sinA+cos(A+6)=32，b+c=4A6,8)B6,8C4,6)D(4,6 【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin（A+3）=32，结合的范围可求，再由余弦定理求得a2=163bc【详解】sinA+cos(A+6可得：sin（A+A（0，），A+3（b+c=4，由余弦定理可得a2由b+c=4，b+c2bc ，得0bc4，4a2周长L=a+b+c=a+46，8） 故选A2.（2022贵州遵义高三开学考试（文）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a

15、，b，c，若，则ABC周长的最大值为_【答案】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，即，又，故，即.由二倍角公式有，因为，故，所以，所以，即.由余弦定理，结合基本不等式有，即，故，当且仅当时取等号.故ABC周长的最大值为的最大值为.故答案为：3.（2022全国高三专题练习）在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则该三角形周长的最大值为_.【答案】【分析】利用正弦定理化简式子，求出的值，进而求出的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求出，即可求出三角形周长的最大值.【详解】由正弦定理变形有：，又因为，所以，则，

16、又因为，所以，又因为，所以，当且仅当 “”时取等.则该三角形周长的最大值为.故答案为：.【题型六】角的最值【典例分析】（2022全国高三专题练习（理）（文）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C(ab)(sin Bsin A)，则当角C取得最大值时，B（）ABCD【答案】D【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理与基本不等式求得的最大值，再通过三角形的形状，即可求得此时对应的.【详解】由正弦定理得2c2(ab)(ba)，即b2a22c2又cos C.当且仅当3a2b2，即ba时，cos C取到最小值，从而角C取到最大值.当ba时，3a2a22c2，则ac所以A

17、C，从而BAC故选：.【提分秘籍】基本规律注意角度范围与三角形条件之间的限制关系【变式演练】1.（2022安徽淮南一模（文）在中，内角，的对边分别为，若函数无极值点，则角的最大值是（）ABCD【答案】A【分析】由题知无解或有两个相等的解，即，再由余弦定理得角的范围【详解】解：因为无极值点，所以无解或有两个相等的解，所以，所以，因为，所以故选：A2.2.（2022全国江西师大附中模拟预测（文）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若，则角A的最大值为（）ABCD【答案】A【分析】根据正弦定理先将角化边，再运用余弦定理和基本不等式得到的范围进而得到最后的结果【详解】因为所以，进而可得因为，

18、当且仅当时等号成立所以又因为所以角A的最大值为故选：A3.已知锐角中,角对应的边分别为,的面积,若, 则的最小值是ABCD【答案】C【详解】分析：利用余弦定理列出关系式，代入已知等式中，并利用三角形面积公式化简求出C的度数，再对进行化简整理，最后利用基本不等式求得.详解：，即，.又，,又为锐角三角形， ，解得，又，即，当且仅当，即时取等.，解得.故选C.【题型七】最值【典例分析】在中，角、的对边分别为、，已知且，则的最小值为（）AB2CD4四川省成都市成都市石室中学2020-2021学年高三下学期期中数学试题【答案】A【分析】由可解得，结合基本不等式，知；经过变形化简可将原式整理为，令，则，结

19、合函数的单调性即可得解【详解】由可知，解得，由基本不等式得，令，则，在，上单调递增，（4），即的最小值为故选：【提分秘籍】基本规律求最值时，涉及到角度范围的限制钝角或者锐角三角形限制其他条件限制（如已知某角）【变式演练】1.锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sinA(acosC+A(12,2)B(33,【答案】B【分析】根据正弦定理，结合2sinA【详解】由正弦定理得，2sinA又A2.在锐角中，A=2B，则ABAC的取值范围是A1,3B1,3C(2,3 【答案】D【分析】根据在锐角中，每个角都是锐角确定的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可.

20、【详解】在锐角中，02B20B0,tanB0，即tanB=12时，tan【提分秘籍】基本规律解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析：1.切化弦2.在三角形中，有【变式演练】1.在中，若，则的取值范围为ABCD 【答案】B【详解】分析：由已知等式正切化为弦，可得，结合正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得的最小值，从而可得结果.详解：，可得，又，可得，的取值范围是，故选B.2.在中，分别是角的对边，若a2+b2=2014cA2013B1C0D2014 【答案】A【分析】由a2+b2=2014c2，利用余弦定理可得a2+b2c2=2013c2=2abcosC利用三角

21、函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得2tanAtanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosB【详解】a2+b2=2014c2，a2+b2c2=2013c2=2abcosC2tanAtanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosB3.在中，角、所对的边分别为、，若为锐角三角形，且满足，则1tanA1tanB的取值范围是AB1,2C233, 【答案】A根据余弦定理以及正弦定理化简条件得、关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围.【详解】因为b2所以csin因此1tan因为ABC为锐角三角形，所以0A因为y=12(x+1x【题型九

22、】解三角形应用题【典例分析】（2022江苏高三课时练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（）.（仰角为直线与平面所成的角）ABCD【答案】D【分析】由题可得，过作，交于，连接，则，设，分类讨论，若在线段上，则，可求出和，从而可得出，利用函数的单调性，可得出时，取得最大值；若在的延长线上，同理求出和，可得出，可得当时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论【详解】解：，由勾股定理知，过点作交于，连结，则，设，若在线段上，则，由，得，在直角中，令，

23、则函数在，单调递减，时，取得最大值为；若在的延长线上，在直角中，令，则可得时，函数取得最大值.故答案为：【变式演练】1.（2022全国高三课时练习）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（）A千米B千米CD【答案】D【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等变换得到，进而求得AB的最短距离.【详解】在中，设，则，当且仅当时取等号，设，则，又到的距离为20千米，所以，故（时取等号），所以，得，故选：D2.在一座尖塔的正

24、南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项.【详解】如下图所示，设，则，则，解得， ，解得，所以，解得，所以，要使点处测得塔顶的仰角为最大，则需最大，也即需最小，所以，又，即，所以点到塔底的距离为，故选：A.3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形的周长为4米，沿折叠使到B位置，AB交DC于，研究发现，当ADP的面积最大时最节能，则最节能时的面积为A322BC2(

25、21) 【答案】C【分析】本题可以先通过设AB、DP分别为x、y，再通过题目所给信息以及AD2+DP2【详解】设AB为，DP为，因为四边形ABCD是周长为4的长方形，AB为所以AD为2x，DC为，因为DP为，所以PC为xy，由题意可知，PC所以有AD2+DP2=所以SADP=所以当x=2时ADP面积最大，此时S 1（2020山东高考真题）在中，内角，的对边分别是，若，且 ，则等于（）A3BC3或D-3或【答案】A【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】，故选：A.2（2021全国高考真题（文）在中，已知，则（）A1BCD3【答案】

26、D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.3（2020全国高考真题（文）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）AB2C4D8【答案】C【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求【详解】设故选：C4（2014江西高考真题（文）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（）ABC1D【答案】D【分析】根据正弦定理边化角求解即可.【详解】由正弦定理有.又,故.故选：D5（2020全国高考真题（理）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则

27、cosB=（）ABCD【答案】A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.【详解】在中，根据余弦定理：可得 ，即由故.故选：A.6（2019全国高考真题（文）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=A6B5C4D3【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A7湖南高考真题（文）在ABC中，AC=，BC=2，B =60，则BC边上的高等于ABCD【答案】B【详解】由正弦定理可得，所以，则边上的高，应选答案

28、B.点睛：解答本题的思路是先运用正弦定理求出，再运用两角和的正弦公式求得，再解直角三角形可求得三角形的高，从而使得问题获解.8（2018全国高考真题（理）的内角的对边分别为，若的面积为，则ABCD【答案】C【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.9.（2022浙江高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积设某三角形的三边，则该三角形的面积_【答案】.【分析】根据题中所给的公式代值解出【详

29、解】因为，所以故答案为：.10（2022全国高考真题（理）已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_【答案】#【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】设，则在中，在中，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.11（2022上海高考真题）在ABC中，则ABC的外接圆半径为_【答案】#【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理：，得，由正弦定理ABC的外接圆半径为.故答案为:.12（2021全国高考真题（理）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_【答案】【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题

30、意，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.13（2020江苏高考真题）在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是_【答案】或0【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.14（2020全国高考真题（理）如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.【答案】【分析】在中

31、，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【详解】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案为：.15（2019全国高考真题（文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=_.【答案】.【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得，得，即，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取定理法，利用转化与化归思想解题忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角16（2019全国高

32、考真题（理）的内角的对边分别为.若，则的面积为_.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，1.（2022江西模拟预测（文）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，则的值为（）ABCD【答案】A【分析】由题设化简可得，余弦定理结合可得，即可得出答案.【详解】由题设可得，即，则，故由余弦定理可得；又由可得，即，将代入化简可得，解得：，故.故选：A.2.（2021黑龙江绥化高三阶段练习（文）已知锐角

33、的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角C的大小为()ABCD【答案】B【分析】利用余弦定理将已知等式里面的余弦化为边，化简后再利用余弦定理即可求角C.【详解】，根据余弦定理得， 根据余弦定理可知， ，.故选：B.3.（2023全国高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（）A等腰非等边三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形【答案】B【分析】由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案.【详解】由，可得，所以，所以.在中，故，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形.故选：B4.（2022安徽蒙城第一中学高三阶段练习（文）的内角A、B、C的对边分别为、，已知，且，则面积的最大值是（）ABC2D【答