专题10 立体几何大题：垂直及其应用归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

1、 专题10 立体几何大题：垂直及其应用归类 目录TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc9927 热点题型归纳 PAGEREF _Toc9927 1 HYPERLINK l _Toc32061 【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直 PAGEREF _Toc32061 1 HYPERLINK l _Toc10716 【题型二】 面面垂直 PAGEREF _Toc10716 6 HYPERLINK l _Toc8490 【题型三】 线线垂直 PAGEREF _Toc8490 10 HYPERLINK l _Toc23599 【题型四】 垂直应用1：线面角 PAGER

2、EF _Toc23599 13 HYPERLINK l _Toc16134 【题型五】垂直应用2：二面角 PAGEREF _Toc16134 17 HYPERLINK l _Toc14013 【题型六】 翻折中的垂直 PAGEREF _Toc14013 21 HYPERLINK l _Toc6929 【题型七】 垂直探索型 PAGEREF _Toc6929 26 HYPERLINK l _Toc18206 【题型八】垂直应用3：角度综合 PAGEREF _Toc18206 31 HYPERLINK l _Toc17807 二最新模考题型 PAGEREF _Toc17807 37【题型一】垂直基

3、础：“三垂线”定理模型与线面垂直 垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。【例1】已知长方体AC1中，棱ABBC3，棱BB14，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.(1)求证A1C平面EBD；(2)求二面角B1BEA1的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，则，再证明平面，则，从而即可证明A1C平面EBD；（2）由平面，又，则，进而可得是二面角的平面角，在中，求出，即可在中求

4、出，从而即可得答案.(1)证明：平面，又，平面，又平面，且，平面，又，A1C平面EBD；(2)解：平面，又，是二面角的平面角，在中，在中，.【例2】如图，四棱柱的底面为菱形，其中侧面为矩形，分别为的中点，在线段上，且满足，过和点的平面交于，交于.(1)证明：；(2)证明：平面；(3)若，且，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)【分析】（1）由平面/平面得到两条交线平行即可；（2）通过和证明面即可证明平面；（3）作出四棱锥的高，求出底面面积，利用体积公式计算即可.(1)四棱柱中，平面/平面，设过和的平面为，由题可知面，面， /(2)由（1）得/，连接,为菱形，,为等

5、边三角形，为中点，又为矩形，分别为中点，所以/，面，面(3)面 ，由（2）知面，面面，面面，过做交于，面， 在等边中，,在中，由（2）得面，面,，四边形的高为，.【例3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面底面ABCD，M是棱PC上的点.(1)证明：底面；(2)若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值.【答案】(1)详见解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得平面，然后利用线面垂直的判定定理即证；（2）由题可得，进而可得，即得.(1)，平面底面ABCD，平面底面ABCD=AD，底面ABCD，平面，平面，PD，又，底面；(2)设，M到底面ABCD的距离为，三棱锥的

6、体积是四棱锥体积的，又，故，又，所以.【例4】如图，正方体中，点，分别为棱，的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；（2）设，由题可得EFGB，再利用线面平行的判定定理可证.(1)由正方体的性质，可得，平面，又，平面；(2)设，连接，则，四边形BFEG为平行四边形，EFGB，又平面，平面，平面【题型二】 面面垂直证明面面垂直的核心思维：寻找其中一个平面的垂线（及其平行线）【例1】如图，在三棱锥SABC中，SC平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，ACB=90，直线AM与直线SC所成的角

7、为60.(1)求证：平面MAP平面SAC.(2)求二面角MACB的平面角的正切值；宁夏银川一中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可证BC平面SAC，又PMBC，则PM面SAC，从而可证平面MAP平面SAC；（2）由AC平面SBC，可得MCB为二面角MACB的平面角，过点M作MNCB于N点，连接AN，则AMN=60，由勾股定理可得，在中，可得，从而在中，即可求解二面角MACB的平面角的正切值.(1)证明：SC平面ABC，SCBC，又ACB=90，ACBC，又ACSC=C，BC平面SAC，又P，M是SC、SB的中点，PMBC，PM面S

8、AC，又PM平面MAP，平面MAP平面SAC；(2)解：SC平面ABC，SCAC，又ACBC，BCSC=C，AC平面SBC，ACCM，ACCB，从而MCB为二面角MACB的平面角，直线AM与直线PC所成的角为60，过点M作MNCB于N点，连接AN，则AMN=60，在CAN中，由勾股定理可得，在中，在中，.【例2】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点. (1)求证：平面；(2)求证：平面平面.甘肃省武威市凉州区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EFPD即可；（2）利用线面垂直

9、的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即证(1)如图，连结，则是的中点，又是的中点，又 平面，面，平面；(2)底面是正方形， ，平面，平面， ，又，面，又平面，故平面平面.【例3】如图，四棱柱的底面为菱形，底面，分别为的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若AA1=2，求二面角的正弦值天津市红桥区2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）取的中点，连接证明，原题即得证；（2）连接,证明平面，原题即得证；（3）取CC1中点M，连接,证明即为二面角的平面角，再解三角形得解.(1)证明：取的中点，连接， ，四边形是

10、平行四边形.又平面，平面， 平面 (2)证明：连接,在菱形中，是等边三角形又平面，又，平面，平面平面平面(3)解：取CC1中点M，连接,则ME/DC1/AB1，所以ME在平面B1AE内.由平面，得平面CDD1C1，ME，ED1即为二面角的平面角，在中，所以,. 【例4】如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，F为CD的中点.求证：(1)平面BCE；(2)平面平面CDE.西藏自治区拉萨中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定定

11、理可证得结论，（2）由等边三角形的性质可得，由平面ACD，可得，则由线面垂直的判定可得平面，而，所以可得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论(1)取的中点，连接，因为F为CD的中点，所以，因为平面ACD，平面ACD，所以，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，(2)因为为等边三角形，F为CD的中点，所以，因为平面ACD，平面ACD，所以，因为，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面【题型三】 线线垂直【例1】如图，三棱柱中，侧面为菱形，(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成的角【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于点，连接，证

12、明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）分析可知直线与面所成角等于直线与面所成角，证明出，可得出，证明出面，可得出是直线与面所成角结合三角形全等可求得结果.(1)证明：连接，交于点，连接因为四边形为菱形，所以，是的中点，又因为，所以，因为，平面，平面，.(2)解：因为，所以直线与面所成角等于直线与面所成角 因为，所以， 又因为，所以，所以，即，所以面，所以是直线与面所成角因为，所以，所以直线与面所成角等于，所以直线与面所成角等于【例2】如图，在三棱锥中，点E，F分别是BD，BC的中点，求证：(1)EF平面ACD；(2)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由EFCD

13、即可证明EF平面ACD；（2）由，可证明平面BCD，即可证得.(1)因为点E，F分别是BD，BC的中点，所以EFCD，又因为平面ACD，平面ACD，从而EF平面ACD(2)因为点E是BD的中点，且，所以，又因为，平面BCD，平面BCD，故平面BCD，因为平面BCD，所以【例3】如图，在四棱锥中，是正方形，平面， 分别是的中点(1)求证：；(2)求证：平面平面【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由平面，得，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由证明平面，由证明平面，再由面面平行的判定定理证明即可.(1)由平面，得，又(是正方形)，所以平面，所以.(2)由分别是线段的中点

14、，所以，又为正方形，所以，又平面，所以平面.因为分别是线段的中点，所以，又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.【例4】如图，四棱锥的底面为矩形，底面，点是棱的中点.(1)求证：；(2)若，求三棱锥的体积.（参考公式：锥体体积公式，其中为低面面积，为高.）【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据矩形和线面垂直性质可证得，从而得到平面，由线面垂直性质可得结论；（2）利用体积桥的方式可知，由此可计算得到结果.(1)四边形为矩形，；平面，平面，；又，平面，平面，平面，.(2)为中点，由（1）知：平面，.【题型四】 垂直应用1：线面角【例1】如图，矩形ABCD中，M为边CD的中点，将沿直线A

15、M翻折成，且，点P为线段BE的中点(1)求证：平面AME；(2)求直线PC与平面ABM所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取AE的中点Q，连接QM，QP构造平行四边形可证；（2）取AM的中点O，先证EO垂直于底面，根据（1）将问题转化为求角，然后结合已知可得.(1)证明：取AE的中点Q，连接QM，QP，因为P，Q均为中点，故且，又因为，且，所以，所以四边形MCPQ为平行四边形，故，又平面AME，平面AME故平面AME；(2)取AM的中点O，连接OE，OB，因为AE=ME，所以且因为，所以，所以在Rt中，因为，故，又，平面ABM，平面ABM故平面ABM又因此为直线P

16、C与平面ABM所成角，在Rt中，故【例2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，是棱上一点，且平面.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；（2）根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结合线面角的定义即可求解.(1)在矩形中，所以，平面平面平面，在中，为中点，即，又平面平面，平面，又平面平面平面；(2)由（1）知，平面平面，又平面，平面，又平面，又平面，平面平面平面，平面，由（1）知为中点，所

17、以到平面距离为，设到平面的距离为，由，即，解得，设直线与平面所成的角为，则则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【例3】已知菱形的边长为2，对角线、交于点O，平面外一点P在平面内的射影为O，与平面所成角为30.（1）求证：；（2）点N在线段上，且，求的值. 【答案】（1）证明见解析（2）（1）由面得，然后证明出面即可（2）由面得与平面所成角为，然后利用算出点D到平面的距离为，然后利用即可算出答案.【详解】（1）由题意面， 菱形中，又，则面， 所以； （2）因为面，所以与平面所成角为， 又菱形边长为2，所以，. 所以，.设，点D到平面的距离为由得，即，解得所以D到平面的距离也为. 所以. 所以.【

18、例4】如图，平面为圆锥的轴截面，为底面圆的圆心，为母线的中点，为底面圆周上的一点，求该圆锥的侧面积；若直线与所成的角为，求的长.【答案】（1） （2）【详解】试题分析：（1）由题意知平面 ，在 中，由条件和勾股定理求出母线 ，由圆锥的侧面积公式求出该圆锥的侧面积；（2）取 的中点 ，连接 ，由条件和中位线定理可得 的长，由线面角的定义可得 ，在 中由余弦函数求出 的长.试题解析：（1）由题意知，平面，在中，该圆锥的侧面积；取的中点，连接 为母线的中点，为的中位线，平面平面平面 直线与所成的角为，在中，【题型五】垂直应用2：二面角 【例1】如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD

19、相交于点O，.(1)证明：平面ABCD；(2)求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，则，所以，由等腰三角形的性质可得，在中，由余弦定理可知，由勾股定理的逆定理可得，从而由线面垂直的判定定理证得结论，（2）过O作于E，连接，则可得为二面角的平面角，从而可求出其正切值(1)连接，为公共边，又为的中点，在中，由余弦定理可知，在中，满足,，又，平面.(2)过O作于E，连接.平面，平面，.又且,平面,平面,为二面角的平面角,【例2】如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60.（1）证

20、明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设平面PAB与平面PCD的交线为l.由题意可证明平面PCD，从而可得，从而可证明结论.（2）由题意可得为二面角的平面角. 可证平面平面PCD，直线OP在平面PCD上的射影为直线PF，为OP与平面PCD所成的角，通过解三角形可得答案.【详解】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l.，平面PCD，平面PCD面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，AB在底面上，l在底面外l与底面平行；（2）因为，所以为二面角的平面角.设CD的中点为F，连接OF，PF,由圆的性质，底面，底面

21、，,平面OPF。平面PCD，平面平面PCD直线OP在平面PCD上的射影为直线PF。为OP与平面PCD所成的角由题设，设，则。，。在中，。【例3】如图，四边形是菱形，且，以为交线作平面平面，且侧面是等边三角形，M为的中点，连接（1）求证：；（2）求证：；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）【分析】（1）证明，利用面面及线面垂直的性质定理证明即可.（2）利用线面垂直的判定及性质定理证明即可.（3）由二面角的定义可得即为二面角的平面角即可得解.【详解】（1）连接，四边形是菱形，则为等边三角形，因为M为的中点，所以，又因为平面平面，且平面平面， 所以平

22、面，由平面，所以.（2）是等边三角形，连接PM，由，且，则平面，因为平面，则.（3）设等边的边长为，则,因为平面平面，由（1），（2）得,则即为二面角得平面角，因为，所以，所以平面与平面所成锐二面角的大小为.【例4】如图，在矩形中，沿对角线把折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由题意易知，根据线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定证平面平面（2）由（1）结合勾股逆定理知，根据线面垂直的判定有面，有是二面角的平面角，即可求余弦值.【详解】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上，即为在面上的射影，

23、而，所以，平面，又平面，平面平面（2）由（1）知：，在中，有，即，又，即面，二面角的平面角是，二面角的余弦值是【题型六】 翻折中的垂直【例1】如图1，在直角梯形ABCD中，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据面面垂直的性质定理，结合勾股的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可【详解】证明：取中点，连结.在中， 分别为的中点， 所以，且. 由已知， 所以

24、，且，因此四边形是平行四边形，所以有，又因为平面，且平面， 所以平面；（2）证明：在正方形中，.又因为平面平面ABCD中，且平面平面， 所以平面ABCD，又平面ABCD，所以. 在直角梯形ABCD中，可得.在中， 所以.所以，平面，平面.【例2】如图，已知等腰梯形中，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面；(2)求与平面所成的角；(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)30；(3)存在，.【分析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可求解；(2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条

25、件即可求解；(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解.【详解】(1)因为，是的中点，所以，故四边形是菱形，从而，所以沿着翻折成后，,又因为，所以平面，由题意，易知，所以四边形是平行四边形，故，所以平面；(2) 因为平面，所以与平面所成的角为，由已知条件，可知， 所以是正三角形，所以，所以与平面所成的角为30；(3) 假设线段上是存在点，使得平面，过点作交于，连结，如下图：所以，所以， 四点共面，又因为平面，所以，所以四边形为平行四边形，故，所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且.【例3】如图，矩形中，E为的中点，把沿翻折，使得平面平面（1）

26、求证：；（2）在上确定一点F，使平面；（3）求四棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）线段上取的三等分点F（靠近C）；（3）【分析】（1）先由勾股定理证明，再由面面垂直的性质得出平面，进而由线面垂直的性质得出线线垂直；（2）作辅助线并证明，再由线面平行的判定定理求解即可；（3）先由面面垂直的性质得出平面，进而确定四棱锥的高，最后得出体积.【详解】（1）证明：平面平面，平面平面又由已知可得，则平面平面，故；（2）连接交于G，则，在线段上取的三等分点F（靠近C），连接，则，可得而平面平面，则平面；（3）取中点O，连接，则又平面平面，且平面平面平面，在中，可得F为的三等分点F（靠近C），F到平面

27、的距离为可得四棱锥的体积为【例4】四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD60，ACBDO，如图甲，以AC为折痕，将平面ABC翻折到ABC的位置，如图乙，得到三棱锥BACD，M为BC的中点，DM（1）求证：OM/平面ABD；（2）求证：平面ABC平面DOM；（3）求二面角BCDO的正切值【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；（3）【分析】（1）由已知可得，根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）求出，通过勾股定理可得，结合，可证平面，即可证明结论； （3）根据（2）可得平面，在平面中，过点作交于点，连接，可证二面角BCDO的平面角为，求出，即可得出结论.【详解】（1）证明：

28、点是菱形ABCD的对角线的交点， 点是AC的中点， M为BC的中点 ,平面，平面， OM/平面ABD；（2）证明：在中， ,在菱形中， BAD60，ACBDO， ， DM， ， ，又 ， 平面， 平面, 平面ABC平面DOM（3）又（2）可知平面， 平面ABC平面， ，平面平面 平面在平面中，过点作交于点，连接，如图,平面，二面角BCDO的平面角为，由题意可知：， ， 二面角BCDO的正切值：.【题型七】 垂直探索型【例1】直三棱柱中，点是线段上的动点.（1）当点是的中点时，求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2

29、）【解析】【试题分析】（1）连接，交于点，连接，则点是的中点，利用三角形的中位线有,，由此证得线面平行.（2）当时平面平面.利用，可证得平面，由此证得两个平面垂直.利用等面积法求得的长.【试题解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点，又点是的中点，由中位线定理得，因为平面，平面，所以平面.（2）当时平面平面.证明：因为平面，平面，所以又，所以平面，因为平面，所以平面平面，故点满足.因为，所以，故是以角为直角的三角形，又，所以.【例2】如图，在三棱柱中，底面，点是的中点 （）求证：；（）求证：平面（）设，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置; 若不存在，说明理由【答案】（）见

30、解析；（）见解析； （）存在，为线段的中点，理由略【解析】试题分析：（）通过证得，且，即可证得平面，即证； （） 设与的交点为，连结，因为是的中点，是的中点，由三角形的中位线定理得，又由线面平行的判定定理即证平面； （） 在线段上存在点，使得，且为线段的中点证明如下：由已知得由已知，为线段的中点，所以，可得平面连接因为平面，所以，易证，所以平面，即可得试题解析：（）在三棱柱中，因为底面，底面，所以又，所以平面 而，则（）设与的交点为，连结，EE因为是的中点，是的中点，所以因为平面，平面，所以平面 （）在线段上存在点，使得，且为线段的中点EEM证明如下：因为底面，底面，所以由已知，为线段的中点，

31、所以又，所以平面取线段的中点，连接因为平面，所以由已知，由平面几何知识可得又，所以平面又平面，所以【例3】三棱锥中，面面（1）求长；（2）求三棱锥体积；（3）内（含边界）上是否存在点，使面 若存在点，求出点的位置；若不存在点，说明理由【答案】（1）3；（2）；（3）存在，在棱上，且【解析】【分析】(1)根据勾股定理可得,进而可得,再用勾股定理计算即可.(2) 作的中点,连接可知平面,再求解体积即可.(3) 作于,再证明面即可.【详解】（1）,. 平面平面,平面平面,平面,且,可知平面,. . （2）作的中点,连接,由题意知平面,. （3）作于,在上. 平面,平面,且,平面,平面,平面,即存在,

32、在棱上,且.【例4】已知长方体，点为的中点（1）求证：面；（2）若，试问在线段上是否存在点使得，若存在求出，若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在点有【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）解决是否存在的问题时先假设存在，如果推出矛盾则不存在，如果成立找出成立的点试题解析：（1）证明：连结交于点，所以为的中点，连结在中，为的中点 面且面面 6分（2）若在线段上存在点得，连结交于点面且面 又且面面面 在和中有：同理： 即在线段上存在点有 13分【题型八】垂直应用3：角度综合 【例1

33、】已知矩形满足，现将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的射影为点(1)若点恰好落在边上，求证：平面；当，时，求边长度的最小值；(2)当时，若点恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的平面角余弦值的取值范围【答案】(1)证明见解析；.(2)【分析】（1）由面面垂直的性质，得到平面平面，证得，得到平面，结合，从而证得平面；记，得到，根据，得到，在直角中，得到，结合基本不等式，即可求解；（2）作，交于点，交于点，证得，得到为二面角的平面角，利用，即可求解.(1)解：证明：因为点在平面上年的射影为，点恰好落在边大红，所以平面平面，又由，所以平面，因为平面，所以，又因为且，平面，所以平面.解：因为平面

34、，平面，所以，又由，所以，记，则，又因为，所以，可得，由矩形，可得，又由平面，平面，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以，在直角中，则当且仅当时，即时，等号成立，所以有最小值，最小值为.(2)解：作，交于点，交于点，连接，由，所以为二面角的平面角，所以，因为点恰好落在的内部（不包括边界），则点恰好在线段上，当点与点重合时，可得，此时；当点与点重合时，此时 因为，所以，不妨设，则，在直角中，可得，又由直角三角形的射影定理，可得，可得，则，根据，可得，所以，此时，所以，即二面角的余弦值的取值范围是.【例2】在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线（1）

35、求证：平面ADE；（2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30，求二面角AFBC的余弦值【答案】（1）见解析（2）.【分析】（1）由，另易证得，即可证得面面，由面面平行，从而证得线面平行，即面.（2）连接，易证面，可过作交于，连接，则即为二面角AFBC的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，所以，又，所以均为等边三角形.所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE. 因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA/FC.又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE. 又平面，所以平面平面ADE，又平面，所以平面

36、ADE.（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即 因为AB为圆的直径，所以，在，所以，所以在因为，又因为，所以平面FBC，又平面FBC，所以.在内，作于点H，连接AH.因为平面ACH，所以平面ACH， 又平面ACH，所以，所以就是二面角的平面角. 在，在，所以，所以，所以二面角的余弦值为.【例3】如图1，平面四边形中，为的中点，将沿对角线折起，使，连接，得到如图2所示的三棱锥（1）证明：平面平面；（2）已知直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）（1）证明平面，平面平面即得证；（2）先由题可知即为直线与平面所成的角，

37、再证明为二面角的平面角，再解三角形求解即可.【详解】（1）证明：在三棱锥中，因为，所以平面，又平面，所以，因为，为中点，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面（2）由（1）可知即为直线与平面所成的角，所以，故；由（1）知平面，过作于，连接，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角由，得，即得，所以，故，所以二面角的余弦值为【例4】如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，ADBC，BAD90(1)求证：BC平面ADD1A1；(2)若，B1D与平面ABCD所成角为，满足且，求最大值【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据线面平行的判定定理理解证明；（2）根据题意可得

38、B1D与平面ABCD所成角为，分析可得，转换顶点求三棱锥的体积并结合二次函数分析最值(1)ADBC，BC平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，BC平面ADD1A1(2)BB1平面ABCD，则B1D与平面ABCD所成角为，即，BAD90且，则，则且，当，即时取等号最大值为.二1.如图1，在直角梯形中，ABCD，.为的中点，在线段上，且MNAD.现沿边将四边形翻折，使得平面平面，如图2所示.（1）若为的中点，求证：BF平面（2）证明：平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）取的中点，连接，证明，又平面，平面，即可证明平面；（2）先证明，即可证明平面【详解】（1）证明：如图，取的中点，

39、连接，又为的中点，得：，且，由图1知：，且折叠后不变，所以：与平行且相等，则为平行四边形，又平面，平面，所以：平面.（2）证明：在四边形中，又因为平面平面，且平面平面，所以：平面，得，在直角梯形中，满足：，所以：，又，所以：平面.2.如图，在几何体ABCDEF中，平面平面ABFE正方形ABFE的边长为2，在矩形ABCD中，(1)证明：；(2)求点B到平面ACF的距离【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)连接BE，证明AF平面BEC即可；(2)由等体积即可求点B到平面ACF的距离(1)连接BE，平面平面，且平面平面，又在矩形中，有，平面，平面，在正方形中有，且，平面平面，平面，；(2)设

40、点到平面的距离为，由已知有，由(1)知：平面，平面，从而可得：，在等腰中，底边上的高为：，由得，则，即点到平面的距离为3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PCD底面ABCD，且BC2，(1)证明：(2)若，求四棱锥的体积【答案】(1)证明见解析；(2)8.【分析】（1）由平行四边形的性质及勾股定理可得，再由面面垂直的性质有BC面PCD，根据线面垂直的性质即可证结论.（2）取CD的中点E，连接PE，易得，由面面垂直的性质有PE底面ABCD，即PE是四棱锥的高，应用棱锥的体积公式求体积即可.(1)在平行四边形ABCD中因为，即，所以因为面PCD面ABCD，且面PCD面AB

41、CDCD，面PCD，所以BC面PCD，又PD平面PCD，所以(2)如图，取CD的中点E，连接PE，因为，所以，又面PCD面ABCD，面PCD面ABCDCD，面PCD，所以PE底面ABCD因为，则，故4.如图甲，直角梯形中，为的中点，在上，且，现沿把四边形折起得到空间几何体，如图乙.在图乙中求证：(1)平面平面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.(1)证明：翻折前，翻折后，则有，因为平面，平面，平面，因为平面，平面，平面，因为，因此，平面

42、平面.(2)证明：翻折前，在梯形中，则，则，翻折后，对应地，因为，所以，平面，则平面，平面，因此，平面平面.5.如图，在棱长都相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点.(1)求证：DE 平面ABC；(2)求证：B1C平面BDE.【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【分析】（1）根据面面平行的判定定理，结合线面平行的判定定理、面面平行的性质进行证明即可；（2）根据正三棱柱的几何性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可.(1)设G是CC1的中点，连接，因为E为B1C的中点，所以，而，所以，因为平面ABC，平面ABC

43、，所以平面ABC，同理可证平面ABC，因为平面，且，所以面平面ABC，而平面，所以DE 平面ABC；(2)设是的中点，连接，因为E为B1C的中点，所以，而，所以，由（1）可知：面平面ABC，平面平面，平面平面，因此，在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面平面ABC，而平面平面ABC，因为ABC是正三角形，是的中点，所以，因此平面，而平面，因此，而，所以，因为正三棱柱ABCA1B1C1中棱长都相等，所以，而E分别为B1C的中点，所以，而平面BDE，所以B1C平面BDE.6.如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PAAC，ABBC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：平面BDE平面PA

44、C；(2)求二面角PBCA的平面角的大小.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，证明，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAC，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面，则有，从而可得即为二面角PBCA的平面角，从而可得出答案.(1)证明：因为PAAB，PAAC，所以平面，又因平面，所以，因为D为线段AC的中点，所以，又，所以平面PAC，又因为平面BDE，所以平面BDE平面PAC；(2)解：由（1）得平面，又平面，所以，因为ABBC，所以平面，因为平面，所以，所以即为二面角PBCA的平面角，在中，所以

45、，所以，即二面角PBCA的平面角的大小为.7.如图所示，在正三棱柱中，是上的一点，且.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，找出这个点，并加以证明，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在这样的点，且点为的中点【解析】试题分析：（1）连接A1C交AC1于E点，利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；（2）在棱CC1上存在一点P，P为CC1的中点，使直线PB1平面AC1 D利用正三棱柱的性质和正三角形的性质可得ADB1P在正方形BCC1B1中，可得CC1DC1B1P，即可证明B1PC1 D再利用线面垂直的判定定理即可证明试题解析：（1）证明：因

46、为是正三棱柱，所以平面，所以，又，,所以平面，所以，所以是的中点.如图，连接，设与相交于点，则点为的中点，连接，则在中，因为分别是的中点，所以，又在平面内，不在平面内，所以平面.（2）存在这样的点，且点为的中点，下面证明：由（1）知平面，故，设与相交于点，由于，故,因为，从而，所以，所以.因为，所以平面8.如图，在半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，点在上，点在上，为的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与直线所成角的余弦值；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）；（3）2.【分析】（1）求出底面面积与高，然后求解（2）过点作圆柱的母线交于，说明为直线与所成的角，通过求解

47、三角形推出结果（3）说明为二面角的平面角，通过求解三角形推出二面角的正切值【详解】解：（1）由题意知，为正三角形，所以因为为圆柱的母线，所以平面所以（2）过点作圆柱的母线交于因为与均为圆柱的母线，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以为正三角形又因为为正三角形，所以，所以，所以为直线与所成的角在中，所以由余弦定理知：所以直线与直线所成角的余弦值为（3）因为平面，平面，所以又因为，所以平面所以，因此为二面角的平面角在中，所以二面角的正切值为9.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.点是的中点，作，交于点.（1）设平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并给出证明；（2）求平面与平面所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正切值.