江苏省南通市海安高级中学2018～2019学年高二数学上学期期中试题【含答案】

1、江苏省南通市海安高二上学期期中数学试题此卷此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、填空题1已知集合 集合，则中元素的个数为_.2已知是等差数列，是其前项和，若=10，则的值是_.3若不等式的解集为

2、，则的值为_4曲线在点处的切线方程为_.（写出斜截式方程）5已知向量a，b满足，则ab = _6若,则_.7已知实数满足不等式组 ，则的最大值为_.8已知椭圆的焦点轴上，且焦距为4，则m =_.9在数列中，是其前项和，则的值是_.10平面上三条直线x2y+1=0，x1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A=_.11若直线过点，则的最小值为_.12已知P在椭圆上，是椭圆的两个焦点，且的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e =_. 13直线与直线相交于点M，则长度的最小值为_.14定义：点到直线的有向距离为已知点，直线m过点，若圆上存在一点，使得三点到直

3、线m的有向距离之和为0，则直线m斜率的取值范围是_.二、解答题15如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面； （2）求证：平面.16如图，是单位圆O上的点，C，D分别是圆O与x轴的两交点,为正三角形. （1）若点坐标为，求的值；（2）若，四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值.17已知函数，其中R（1）当时，求函数在上的值域； （2）若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围18某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成（即北偏西）的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东方向领海

4、海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船.（1）如果O和A相距6海里，求可疑船被截获处的点P的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上）则、之间的最大距离是多少海里？ 19在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P（1）求椭圆C的方程；（2）求证：；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定

5、值；若不是定值，请说明理由20已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，（）(1)若 = 0，求数列an的通项公式；(2)若对一切恒成立，求实数的取值范围江苏省南通市海安高二上学期期中数学试题数学 答 案答案12【分析】求出圆心到直线的距离，可利用此距离来判断直线与圆的位置关系，从而得出交点个数即为交集中元素的个数.【详解】的圆心为（0，0）圆心在直线上，所以圆心到直线的距离为0，所以直线与圆相交，有两个交点，所以 中元素有2个,故答案为2.本题考查了交集的元素个数问题，通过判断直线与圆的位置关系即可,是基础题.2-4【分析】根据等差数列的前n项和的公式及通项性

6、质得出，又由可得出公差d，借助于和d即可得出的值.【详解】因为是等差数列，所以 又，所以 可得.故答案为-4.本题考查了等差数列的通项公式及性质和前n项和的公式，由前n项和可以求得某一项，由项之间可以求得公差及首项,是基础题.3-3【分析】由不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出p的值；【详解】不等式x2+px+20的解集是x|1x2，1和2是一元二次方程x2+px+2=0的两个实数根，1+2=-p, p=-3，故答案为-3.本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出参数，属于基础题4【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利

7、用直线方程的点斜式求出切线方程【详解】y=lnx，y，函数y=lnx在x=1处的切线斜率为1，又切点坐标为（1，0），切线方程为y=x-1，故y=x-1.本题考查了函数导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键,属于基础题.5-1【分析】利用数量积的运算性质可得，因为 代入即可得出的值.【详解】由 可得 2-=3=-1，故答案为-1.本题主要考查了向量的数量积的性质及向量数量积的基本运算，属于基础题.6故答案为.7试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以直线过点C时取最大值8.考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、

8、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.813【分析】利用椭圆的简单性质直接求解【详解】椭圆的长轴在x轴上， 解得11m20，焦距为4，c2=m-2-20+m=4，解得m=13故答案为13.本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质,看清焦点位置是关键.9126【分析】由题意可得数列an是首项为2，公比q=2的等比数列，运用等比数列的求和公式，即可求出 的值.【详解】数列an中a1=2，an+1=2an，可得数列an是首项为2，公比q=2的等比数列

9、，可得 ,故答案为126本题考查等比数列的定义和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题，注意计算的准确性.10略1119【分析】直线过点可得再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【详解】直线过点可得，=（=10+ 当且仅当a=3，b=6时取等号的最小值为19.故答案为19.本题考查了直线截距式的方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，注意求最值时等号成立的条件要写上.12【分析】先根据椭圆的性质化简条件,得到F1PF2所满足的条件,再根据已知三条边长成等差数列,列等式求解离心率.【详解】由椭圆的性质,可知O为F1F2的中点,所以,由及得所以F1

10、PF2=90.设|PF1|=m|PF2|,则由椭圆的定义,可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-m,而|F1F2|=2c.因为F1PF2的三条边长成等差数列,所以2|PF2|=|PF1|+|F1F2|,即m+2c=2(2a-m),解得m=(4a-2c),即|PF1|=(4a-2c).所以|PF2|=2a-(4a-2c)= (2a+2c).又F1PF2=90,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即=(2c)2.整理,得5a2-2ac-7c2=0,解得a=c或a=-c(舍去).则e=.故答案为本题利用向量式子得出焦点三角形为直角三角形，根据三边成等差数列得出|PF1|，|PF2|的长

11、，再结合勾股定理得出a,c的等量关系即可求出e.13【详解】直线可化为y-1=k（x-2）过定点P（2，1）, 直线可化为x-2+k(y-3)=0过定点Q（2,3），且满足k1-1k=0，两条直线互相垂直，垂足为M，其交点M在以PQ为直径的圆上，即M落在以T（2，2）为圆心，1为半径的圆上，所以|OM|的最小值为|OT|-1=，故答案为.本题考查了直线的方程、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、动点的轨迹问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,发现两条直线垂直是关键点.14【分析】由直线m过定点（4，0）可设直线m为kx-y-4k=0，由三点到直线m的有向距离之和为，化简得kx-y-1

12、2k=0即求出了点C的轨迹，又C在圆上，所以转化为直线与圆有交点，即即可解得斜率范围.【详解】设直线m的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,设C(x,y)则三点到直线m的有向距离之和为，化简得kx-y-12k=0,又C在圆上，所以kx-y-12k=0与36有交点，圆心到直线的距离为 解得，故答案为本题考查了新定义“有向距离”、点到直线的距离公式，根据题意求出点C的轨迹是关键，点C即为直线与圆的交点，即可利用直线与圆的位置关系解决问题.15(1)见解析(2)见解析试题分析：（1）连结交于点，连结，通过中位线的性质得到，由线面平行判定定理得结果；（2）通过线面垂直得到 ，通过等腰三角形得

13、到 ，由线面垂直判定定理可得 面，再结合面面垂直判定定理得即可得结果.试题解析：（1）证明：连结交于点，连结，四边形为正方形，为的中点，又为中点，为的中位线 ，又 面.（2）四边形为正方形， ， 面 ，又，为中点 ， 面，又面，面面点睛：本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于基础题；主要通过线线平行得到线面平行，常见的形式有：1、利用三角形的中位线（或相似三角形）；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等；垂直关系中应始终抓住线线垂直这一主线.16（1）；（2），.试题分析：（1）A点的坐标为，根据正弦、余弦定义可得，所以（2）由题意知，在中，由正弦定理得，即，同理有，所以，又因为，

14、所以当时，.试题解析：（1）A点的坐标为，所以，（5分）（2）由题意知，（8分）因为，（10分）故当时，. （12分）考点：1.三角函数定义；2.正弦定理；3.恒等变换公式.17(1) ;(2) .试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得 ，再分 和 两种情况进行讨论； 试题解析：（1）解： 时， 则 令得列表+-+单调递增单调递减单调递增21由上表知函数的值域为 （2）方法一：当时，函数在区间单调递增所以 即（舍） 当时，函数在区间单调递减 所以 符合题意 当时,当时， 区间在单调递减当时， 区间在单调递增 所以 化简得： 即 所以或（舍） 注：也可令 则 对在单调递减

15、 所以不符合题意 综上所述：实数取值范围为 方法二： 当时，函数在区间单调递减 所以 符合题意 8分当时，函数在区间单调递增所以 不符合题意 当时,当时， 区间在单调递减当时， 区间在单调递增 所以 不符合题意综上所述：实数取值范围为18（1）轨迹是以(4，4)为圆心，4为半径的圆；(2) 15(1)【分析】（1）由题意知点A坐标，设点P（x，y），利用|OP|=2|AP|列方程求得点P的轨迹方程；（2）求得直线l的方程，设|OA|=t、点P（x，y），利用|OP|=2|AP|求得点P的轨迹方程，利用点到直线的距离列不等式求出O、A间的最远距离【详解】解：（1）设可疑船能被截获的点为P(x，y

16、)，由题意得OP=2AP，OA=6 (海里)， AOx=，点A的坐标(3，3)，则有 化简得(x4)2+(y4)2=16，轨迹是以(4，4)为圆心，4为半径的圆（2）设点A的坐标(t，t)，t0，可疑船被截获处的点为P(x，y)，由题意得OP=2AP，即有，化简得 因为M(40，0)，l的倾斜角，因此直线方程为l：x+y40=0由题意，点A在领海内，因此t+t400即0t P的轨迹与直线没有公共点，则轨迹圆心到分界线距离 ，即 |t5|，解之得t (不合，舍去)或0t又因为OA=2t，因此OA的最大距离为15(1)(海里)19（1）（2）详见解析（3）4试题分析：（1）两个独立条件可解得两个未知数：由离心率为得，由椭圆C过点得，即得，则椭圆C的方程（2）证明，一般从坐标表示出发：先设，则，又由B,P,M三点关系可得，从而，也可设直线斜率表示点的坐标（3）同（2） 试题解析：（1）椭圆C： 的离心率为，则，又椭圆C过点， 2分，则椭圆C的方程 4分（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设，将代入椭圆C的方程中并化简得：， 6分解之得，从而 分令，得， 9分又， 11分， 13分（3）=为定值4 16分考点：直线与椭圆位置关系，椭圆方程20（I）（II）试题分析