新高考数学大一轮复习讲义专题27 数列求和（解析版）

1、专题27 数列求和 【考点预测】一公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法（3）一些常见的数列的前n项和：； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 二几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解（4）倒

2、序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解【方法技巧与总结】常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则积累裂项模型6：阶乘（1）（2）常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（1

3、2）；（13）（14）【题型归纳目录】题型一：通项分析法题型二：公式法题型三：错位相减法题型四：分组求和法题型五：裂项相消法题型六：倒序相加法题型七：并项求和题型八：先放缩后裂项求和题型九：分段数列求和【典例例题】题型一：通项分析法例1（2022全国高三专题练习）求和【解析】，例2数列9，99，999，的前项和为ABCD【解析】解数列通项，故选：例3求数列1，的前项之和【解析】解：由于，所以前项之和【方法技巧与总结】先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前项和问题应该强化的意识题型二：公式法例4已知等差数列中，（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和【解析】解：（1）设数列的

4、公差为，由题意得解得，的通项公式为（2）由得，是首项为，公比的等比数列例5如图，从点做轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；，记点的坐标为，2，（）试求与的关系；（）求【解析】解：（）设，由得点处切线方程为由得（），得，【方法技巧与总结】针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解题型三：错位相减法例6（2022全国高三专题练习）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍庄子天下，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图），

5、该等边三角形的面积为，在图中取的中点，以为边作等边三角形（如图），图中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则_；_.【答案】 ； 【解析】依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为，首项为，所以，即；，而，设，作差得：，所以，所以故答案为：；例7（2022内蒙古海拉尔第二中学模拟预测（理）已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和_.【答案】【解析】当时，当时，当时，综上：，所以，所以，得：，两式相减得：，所以故答案为：例8（2022全国高三专题练习）在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是_.为等比数列；为递减数列；为等差数列；【

6、答案】【解析】设与交于点，共线，所以存在实数，使得，所以，所以，所以，所以，不是等比数列，错；因为，所以，即，所以是等差数列，正确；又因为，则，即，所以当时，即，所以是递减数列，正确；因为，所以两式相减得，所以，正确.故答案为：.例9（2022云南师大附中高三阶段练习）已知数列的前n项和为，(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和【解析】(1)因为，所以，所以，所以，当时，所以数列是首项，公比的等比数列，所以；(2)由得，所以，两式相减，得，所以.例10（2022全国模拟预测（文）若数列满足，(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和【解析】(1)因为数列满足，所以.所以数

7、列为等比数列，设其公比为q（）.所以，解得：.所以.即的通项公式为.(2)由（1）可知：，所以，所以得：-得：所以例11（2022全国模拟预测）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以(2)，则，两式相减得：，所以例12（2022全国高三专题练习）已知数列为等差数列，数列的前n项和为，且满足(1)求和的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围【解析】(1)解：等差数列中，设公差为d，则数列中的前n项和为，且当时，当

8、时，得：故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.(2)解：数列中，.则所以故所以对恒成立当n为奇数时，当n为偶数时，综上：实数m的取值范围为【方法技巧与总结】错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列anbn的前n项和（2）基本步骤（3）注意事项在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法得：整理得：题型四：分组求和法例13（2022广西柳州模拟预测（理）已知数列满足，(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和【解析】(

9、1)由题意可得：所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即因此的通项公式为(2)由（1）知，令则所以综上例14（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）已知正项数列满足，且(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和【解析】(1)解：因为，当时，得，所以当时，也满足上式，所以(2)解：因为，则，则例15（2022上海松江二模）在等差数列中，已知，(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和【解析】(1)设等差数列的公差为，由，可得，解得，；(2)数列是首项为1，公比为3的等比数列，又，可得，所以【方法技巧与总结】（1）分组转化求和数列求和应从通项入手，若无通

10、项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和（2）分组转化法求和的常见类型题型五：裂项相消法例16（2022全国高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)证明：【解析】(1)，,又是公差为的等差数列，,当时，,整理得：,即,，显然对于也成立，的通项公式；(2) 例17（2022全国高三专题练习）记为数列的前项和，已知，且(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足_，记为数列的前项和，证明：从两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.【解析】(1)，当时，；当时，-得，即又，数列是从第2项起的等比数列，即

11、当时，(2)若选择：，若选择，则，-得，例18（2022全国高三专题练习（理）已知正项数列中，是其前n项和，且满足(1)求数列的通项公式：(2)已知数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值.【解析】(1)正项数列，满足，所以，所以数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以，所以，当时，当时也成立，所以.(2)因为所以，所以当为奇数时，；当为偶数时，由递增，得，所以的最小值为.例19（2022浙江模拟预测）已知数列的首项为正数，其前项和满足(1)求实数的值，使得是等比数列；(2)设，求数列的前项和【解析】(1)当时，解得；当时，把代入题设条件得:，即，很显然是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，

12、；(2)由（1）知是首项为，公比的等比数列，所以，故数列的前项和为：.例20（2022湖南一模）已知等差数列中，前项和为，为等比数列且各项均为正数，且满足，.(1)求与；(2)设，求的前项和.【解析】(1)由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，即，解得（舍去），或，.(2)由（1），可得，则，.例21（2022全国高三专题练习）已知数列前n项和为，且，记.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求.【解析】(1)，当时，；当，时，.当时也符合, .(2).例22（2022河南洛宁县第一高级中学一模（文）已知数列是公差不为零的等差数列，且，成等比数列(1)求的通项公式；(2

13、)设，求数列的前n项和【解析】(1)等差数列中，解得，因，成等比数列，即，设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，所以.(2)由（1）知，所以.例23（2022山西大同高三阶段练习）已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.【解析】(1)证明：当时，当时，数列是以2为公比，首项的等比数列(2)由（1）知，代入得由，所以综上所述例24（2022江西九江三模（理）已知数列的前项和为，且满足，.(1)求；(2)求数列的前项和.【解析】(1)当时，.当时，由，得，两式相减得即数列，均为公比为4的等比数列，(2)数列的前项和例25（2022广东大埔县虎山中学高

14、三阶段练习）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项.(1)求；(2)设，求的前n项和.【解析】(1)设等差数列的公差为，则，得，得，因为，所以，解得，所以，所以，所以等比数列的公比，所以.(2)，所以.例26（2022全国高三专题练习）等比数列中，首项，前项和为，且满足(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和【解析】(1)设数列公比为，由，可得，化简得，即，所以(2)由（1）得，所以所以.例27（2022全国高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，；数列的前n项和，且，数列的，(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足：，当时，求证：【解析】(1)解：因为

15、，由，得，所以，即，设等差数列的公差为d，所以，所以由，得，两式相减得，即，又，所以数列是以1为首项、2为公比的等比数列，则；(2)由（1）知：，例28（2022广东惠州高三阶段练习）记是公差不为零的等差数列的前项和，若，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前20项和.【解析】(1)由题意知，设等差数列的公差为，则，因为，解得又，可得，所以数列是以1为首项和公差为1的等差数列，所以，(2)由（1）可知，设数列的前和为，则，所以所以数列的前20和为例29（2022河北衡水高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，且数列的前n

16、项和为，若，恒成立，求常数k的最小值.【解析】(1)由，得当时，当时，两式相减得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，.由，得，累加得，.(2)由（1）得，即常数k的最小值为.例30（2022全国高三专题练习）已知等比数列公比为正数，其前项和为，且.数列满足：.(1)求数列的通项公式：(2)求证：.【解析】(1)当时，又，经检验符合上式，(2).另解：.得证例31（2022广东佛山二模）已知数列的前n项和为，且满足(1)求、的值及数列的通项公式：(2)设，求数列的前n项和【解析】(1)因，取和得：，即，解得，由得：，数列是首项为，公差的等差数列，则，即，当时，而满足上式，因此，所以，数列的通项

17、公式.(2)由（1）知，当时，因此，则，满足上式，所以.例32（2022全国高三专题练习）已知正项数列的前n项和为，且满足，数列满足(1)求出，的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：【解析】(1)由，得又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，累加得，数列满足，当时，；当时，由可得，当时，也符合上式，故数列的通项公式为(2)由（1）可得，则，故成立例33（2022天津南开三模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项(1)求和的通项公式；(2)已知，数列满足，求数列的前2n项和；(3)设，求数列的前n项和【解析】(1)（1）解：或，又，则，

18、（）设等差数列的公差为，由题意得，即，所以（）(2)（2）解：时，时，由可得，（）(3)（3）由（1）知，则故（）.【方法技巧与总结】裂裂项相消法求和（1）基本步骤（2）裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止（3）消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项题型六：倒序相加法例34（2022河北高三阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此

19、，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_【答案】【解析】由得，由，得，故，故，所以，则，两式相减得： 故，故答案为：例35（2022黑龙江齐齐哈尔三模（文）已知数列的前n项和为，且，设函数，则_【答案】【解析】，当时，得，；当时，此时仍然成立，当n=1时，；当时，当n=1时，上式也成立，故由于，设则，故答案为：例36（2022全国高三专题练习（文）已知数列，满足，.（1）证明为等比数列，并求的通项公式；（2）求.【解析】（1）由可得，于是，即，而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.（2）由（1）知，所以.因为，所以，因此.例37（2022全国高三专题练习）已知

20、函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.【解析】(1)因为点均在函数的图象上，所以，当时，当时，适合上式，所以.(2)因为，所以，所以.(3)由（1）知，可得，所以，又因为，因为，所以，得，所以.例38（2022全国高三专题练习）已知函数，正项等比数列满足，则值是多少？.【解析】因为，所以.因为数列是等比数列，所以，即.设 ，又 ，+，得，所以.例39（2022全国高三专题练习）已知函数对任意的，都有，数列满足.求数列的通项公式.【解析】因为，.故.+，得，.所以数列的通项公式为.例40（2022全国高三专题练习

21、）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上（1）求数列的通项公式；（2）若函数，令，求数列的前2020项和【解析】（1）点均在函数的图象上，当时，；当时，适合上式，（2），又由（1）知，又，+，【方法技巧与总结】将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）题型七：并项求和例41（2022全国高三专题练习）已知的通项公式为，求的前n项和【解析】解：当n为偶数时，； 当n为奇数时，综上：.例42（2022福建厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，(1)计算的值，求的通项公式；(2)设，求数列的前项和【

22、解析】(1)解：当时，解得，由题知，由得，因为，所以，于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即，偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即所以的通项公式；(2)解：由（1）可得，.例43（2022河北沧县中学模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前18项和【解析】(1)设等差数列的公差为则，解得.故数列的通项公式为(2)由（1）知，所以.因为当时，所以数列的前18项和为.例44（2022全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前项和【解析】(1)解：因为，当

23、时，当时，也满足，所以，对任意的，.(2)解；在和中插入个相同的数，构成一个新数列，其项数为，因为，即当时，因此，.例45（2022河南汝州市第一高级中学模拟预测（理）在数列中，且.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【解析】(1)解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.(2)解：由（1）得，则，当时，当时，综上所述，例46（2022全国高三专题练习）已知数列满足，.(1)证明：数列为等比数列.(2)求数列的前n项和.【解析】(1)证明：因为，所以，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；(2)解：由（1）可得，即，则.当n为偶数时

24、，则，当n为奇数时，则，综上所述，.【方法技巧与总结】两两并项或者四四并项题型八：先放缩后裂项求和例47（2022天津市宝坻区第一中学二模）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，(1)和的通项公式；(2)求数列的前8项和；(3)证明：【解析】(1)解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q由已知，得，而，所以又因为，解得所以由，可得由，得，联立，解得，由此可得所以，的通项公式为的通项公式为(2)解：设数列的前n项和为，由，得，所以，上述两式相减，得得所以，数列的前n项和为当时，(3)解：由（1）得，所以：当时，不等式成立；当时，所以，不等式成立；当时，所以，所以，得证

25、例48（2022浙江效实中学模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)求的值：(2)求数列的通项公式：(3)证明：对一切正整数，有.【解析】(1)令，则舍去，所以.(2)，因为数列各项均为正数，舍去，当时，(3)令，所以例49（2022广东汕头一模）已知数列的前n项和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；(2)设，证明：.【解析】(1)当时，即 由，则两式相减可得，即所以，即数列为等比数列则，所以则(2)所以例50（2022浙江绍兴模拟预测）已知等差数列的首项为，且，数列满足(1)求和；(2)设，记，证明：当时，【解析】(1)因为是等差数列，设其公差为d.因为，所

26、以因为，所以等差数列的公差，所以因为，所以，所以当时，结合可知经检验：也适合上式.所以(2)由（1）可知：所以要证明原不等式成立，只需证明：成立易得：，所以当时，左边，右边，左边=右边当时，此时所以所以于是，当时，成立综上所述：当时，例51（2022天津一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，；数列的前n项和为，.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)求证：.【解析】(1)数列是等差数列，设公差为d，化简得，解得，.由已知，当时，解得，当时，即，数列构成首项为3，公比为3的等比数列，.(2)由（1）可得，(3)由（1）可得，则，方法一：，令，两式相减可得，方法二：时，根据“若

27、，则”，可得，令，两式相减可得，方法三：令，下一步用分析法证明“”要证，即证，即证，即证，当，显然成立，例52（2022全国高三专题练习）求证: .【解析】，【方法技巧与总结】先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标题型九：分段数列求和例53（2022全国高三专题练习）设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前15项的和.【解析】(1)由得，当n=1时，解得.当n2时，从而，即，因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.(2)当n为奇数时，当n为偶数时，所以数列的前15项和为.例54（2022山东师范大学附中模拟预测）已知是数列的前n

28、项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【解析】(1)变形为，因为，所以，故；(2)当为奇数时，当为偶数时，则例55（2022湖南长郡中学模拟预测）已知数列满足，.(1)记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】(1)因为，当n为奇数时， ，当n为偶数时，且，所以，所以，所以为以2为首项，2为公比的等比数列，所以；(2)因为，所以，所以数列的前项和；综上，所以，数列的前项和.例56（2022辽宁抚顺市第二中学三模）已知数列中，满足对任意都成立，数列的前n项和为(1)若是等差数列，求k的值；(2)若，且是等比数列，求k的值，并求【解析】(1

29、)若是等差数列，则对任意，即，所以，故.(2)因为且得，又是等比数列，则即，得.当时，故是以2为首项，公比为1的等比数列，此时的前n项和；当时，即，所以，且所以以为首项，公比为-1的等比数列，又，所以，当n是偶数时，当n是奇数时，综上，当时，当时，.例57（2022湖南高三阶段练习）已知数列中，令.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前14项和.【解析】(1)当时，又，得，由得，两式相除可得，则，且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.(2)当n为奇数时，；当n为偶数时，. 所以数列的前14项和为.例58（2022全国模拟预测）已知数列满足，(1)令，求，及的通项公式；(2)求

30、数列的前2n项和.【解析】(1)由题意得，当时，又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.(2)由（1）知，所以，所以.例59（2022全国高三专题练习）已知数列的前n项和为，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前20项和【解析】解：（1）当时，当n为奇数，且时，显然满足；当n为偶数时，所以（2）例60（2022重庆高三阶段练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【解析】(1)当时，由，得，即，当时，当时，所以；设正项等比数列的公比为，则，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以当时,，当时，即【方法技巧与总结】（1）分奇偶

31、各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：可构建新数列；可“跳项”求和【过关测试】一、单选题1（2022全国高三专题练习）数列的前2022项和等于（）AB2022CD2019【答案】B【解析】解：设数列的前项和为，当为奇数时，当为偶数时，所以.故选：B2（2022江西临川一中模拟预测（文）已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（）A1008B1009C1010D1011【答案】D【解析】解：因为当为奇数时，为偶数时，所以，所以，所以；故选：D3（2022四川射洪中学模拟预测（文）已知首项为1的等差数列的前项和为，满足，则（）ABCD【答案】B【解析】由可得：为等差数列，公差为，首项为，

32、所以，则，所以故选：B4（2022全国高三专题练习）己知数列满足，在之间插入n个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（）A178B191C206D216【答案】A【解析】解：数列满足，在，之间插入个1，构成数列，1，1，1，1，1，1，所以共有个数，当时，当时，由于，所以故选：A5（2022河南南阳中学高三阶段练习（文）已知数列满足，数列满足，则数列的前2021项的和为（）ABCD【答案】D【解析】因为，故数列为等比数列，又，所以；则；所以.故选：D.6（2022全国高三专题练习）已知公比为2的等比数列满足，记为在区间（为正整数）中的项的个数，则数列的前100项的和为（）A360B480C

33、600D100【答案】B【解析】解：因为，所以，由于，所以对应的区间为，则；对应的区间分别为，则，即有2个1；对应的区间分别为，则，即有个2；对应的区间分别为，则，即有个3；对应的区间分别为，则，即有个4；对应的区间分别为，则，即有个5；对应的区间分别为，则，即有37个6所以故选：B7（2022全国高三专题练习）已知数列满足，用表示不超过的最大整数，则（）A1B2C3D4【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，由，可得，则数列是递增数列，则，则.故选：B.8（2022全国哈师大附中模拟预测（文）已知数列满足，则数列的前5项和为（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以.所以前5项和为故选：D二、

34、多选题9（2022全国高三专题练习）已知下图的一个数阵，该阵第行所有数的和记作，数列的前项和记作，则下列说法正确的是（）ABCD【答案】ABC【解析】解：由题意得：A选项：，故A正确；B选项：，故B正确；D选项：，故D错误；C选项：，故C正确故选：ABC10（2022全国高三专题练习）已知正项数列的首项为2，前项和为，且，数列的前项和为，若，则的值可以为（）A543B542C546D544【答案】AB【解析】因为，所以，即，故数列是首项为，公差为2的等差数列，则，则，所以，则，令，解得，即，故选:AB11（2022全国高三专题练习）我们把()叫作“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设，表示

35、数列的前项和，则使不等式成立的正整数的值可以是（）A7B8C9D10【答案】CD【解析】()，.当时，左边，不满足题意；当时，左边，满足题意，故最小正整数的值为9.故选：CD.12（2022河北模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（）A数列为等差数列B数列为等比数列CD数列的前n项和为【答案】BD【解析】数列中的项为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，数列中的项为2，4，8，16，32，64，128，数列是首项为4，公比为4的等比数列，；，记数列的前n项和为，则，两式相

36、减：，.故选：BD三、填空题13（2022四川成都模拟预测（理）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.这是我国数学史上的又一个伟大成就.其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就出现了.该表中，从上到下，第次出现某行所有数都是奇数的行号记为，比如，则数列的前10项和为_.第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561【答案】2036【解析】容易发现，,归纳可得，故的前10项和为.故答案为：2036.14（2022四川省内江市第六中学模拟预测（理）已知数列满足，则数列的前20项和为_.【答案】330【解析】由题意，当为奇数时，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，当为偶数时，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，故答案为：33015（2022上海模拟预测）设是坐标平面