立体几何知识梳理

文档编码:CE10W4W7V3Q10——HE3T3U3Z6T3——ZI1A10N3A10J5学习好资料 欢迎下载空间直线与平面1.平面及其相关性质平面具有“平”的特点,无厚度,无边界,在空间延长至无限；平面可以用大写的英文字母或小写的希腊字母表示；空间的直线和平面都可以看作点的集合,点与它们的关系可以用集合的语言表示；例如,点A在直线l上,或直线l经过点A,记Al；；；点B不在直线l上,记作 l；点A在平 上,或平面 经过点A,记作AB点B不在平 上,记作B面；假如直线l上的全部点都在平面

上,那么称直线l在平 面

上（或平面经过直线l〕,记作l；面公理1假如直线l上有两个点在平上,那么直线l在平上； 面

公理1用集合语言表述如下：如 面

Al,Bl且A,B,就l公理2假如不同的两个平面,有一个公共点A,那么,l,且Al；的交集是过点A的直线；

公理2用集合语言表述如下：如存在A,就公理3

推论1不在同始终线上的三点确定一个平面；一条直线和直线外的一点确定一个平面；第1页,共11页推论2学习好资料欢迎下载两条相交的直线确定一个平面；推论3两条平行的直线确定一个平面；2.空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共面相交平行 异面

公理4 平行于同始终线的两条直线相互平行；

等角定理

假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补； 在同一平面中,两条直线的位置关系包括相交和平行；

假如空间的两条直线l1,l2

既不平行,也不相交,这时不行能存在一个平面,使它既经过直线l1,又经过直线l2,我们把不能置于同一平面的两条直线l1,l2做异面直线；对于异面直线a和b,在空间任取一点P,过P分别作a和b的平 a'和b',我们把a'和b'所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角；当空间两直线l1,l2所成的角为直角时,l1和l2垂直,记作l1丄l2；当l1和l2所成的角为零角时,l1和l2平行或重合；异面直线之间距离：设直线a与直线b是异面直线,当点M,N分别在a,b且直线MN既垂直于直线a,又垂直于直线b时,我们把直线叫做异面直a,b

的公垂线,垂足M,N之间的距离叫做异面直a和b的距线3.空间直线与平面的位置关系离；直线在平面内空间直线与平面的位置关位 相交直线在平面外平行假如直线l与平面 只有一个公共点A,那么称直线l与平面相交于点A,或称A是直线l与平 的交点,记作假如直线l与平面面平行,记作l 或l// ；没有公共点,那么称直线l与平面第2页,共11页学习好资料 欢迎下载直线与平面平行的判定定理假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；直线与平面平行的性质定理假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行；一般地,假如一条直线l与平面

垂直,记作l丄,直线l叫做平面直线与平面垂直的判定定理上的任何直线都垂直,那么直线l与平面 的垂线,l与的交点叫做垂足；假如直线l与平面 上的两条相交直线都垂直,那么直线l与平面垂直；推论假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面；直线与平面垂直的性质定理假如一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于平面内的全部直线；推论 假如两条直线同时垂直于同一个平面,那么这两条直线平行；点到平面的距离：设M是平外一点,过点M作平的垂线,垂足为N,我们把点M到垂足N之间的距离叫做点M和平 的距离；面 直线到平面的距离：设直线l平行于平面 ,在直线l上任取一点M,我们把点M到平 的距离叫做直线l和平面 的距离；面 当直线l与平面 相交且不垂直时,叫做直线l与平面斜交,直线l叫做平面 的斜线； 设直线l与平面斜交于点M,过l上任意点A,作平面的垂线,垂足为O,我们把点O叫做点A在平上的射影,直线OM叫做直线l在平 上的射影,并规定直线l与其在平面上的射影OM所成的锐角叫做直线l与平面所成的角；当直线l与平面 垂直时,它们所成的角为90°；当直线l与平面平行或直线l在平面 上时,它们所成的角为0°；第3页,共11页学习好资料 欢迎下载最小角定理直线和平面所成的角是这条直线和平面内任始终线所成的角中最小的角；三垂线定理在平面内的一条直线,假如和平面的一条斜线的射影垂直,那么这条直线也和这条斜线垂直；三垂线逆定理在平面内的一条直线,假如和平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和这条斜线的射影垂直；4.空间平面与平面的位置关系相交空间平面与平面的位置关系平行对于空间不同的两个平面 , ,假如它们有公共点,即,那么称平面 与平面 相交；假如两个平面 ,没有公共点,那么称平面 与平面平行,记作 //平面与平面平行的判定定理假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；推论假如一个平面内的两条相交直线,分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行；推论 垂直于同一条直线的两个平面平行；平面与平面平行的性质定理假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么得到的两条交线相互平行；推论如一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,就它也垂直于另一个平面；平面到平面的距离：设平面平行于平面,在平面,上任取一点M,我们把点M到平的距离叫做平面和平面的距离；面设两个平面,相交于直线AB,AB,别分割成两个半平面,由将的半平面及其交线AB所组成的空间图形叫做二面角,记AB；作第4页,共11页学习好资料,欢迎下载交线叫做二面角的棱,两个半平面叫做二面角的面；在二面角的棱AB上任取一点O,过O分别在平面和上作棱的垂线OM和OW,射线OM和ON所成的角叫做二AB丄；面角

的平面角；如射线OM和ON所成的角为90°,就两个平面垂直,记作

平面与平面垂直的判定定理 假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直； 平面与平面垂直的性质定理假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂 直于它们交线

的直线垂直于另一个平面；5.空间角与距离的运算

（1）异面直线所成角

异面直线所成角的范畴0,90；求异面直线所成的角,主要有两种方法：

①平移,将异面直线平移至相交,常用“作平行”和“取中点”的方法；②补形,延长异面直线,或者将题中几何体进行添补,然后再平移至相交；（2）直线与平面所成角

直线与平面所成角的范畴0,90；求直线与平面所成的角,主要有以下方法：

① 定义法,依据直线与平面所成角的定义,找斜线及其射影的夹角；② 垂线法,过直线上某一点作平面的垂线；等体积法,通过几何体③ 体积相等,求出直线上的点到平面的距离；第5页,共11页学习好资料 欢迎下载（3）二面角的平面角二面角的平面角的范畴[0；,180；]求二面角的平面角,主要有以下方法：① 定义法,在两个半平面中分别作交线的垂线；② 垂线法,过一个平面上一点作另一个平面的垂线,再作交线的垂线；③垂面法,找到一个与两个半平面均垂直的平面,截得的交线所形成的角；④等体积法,通过几何体体积相等,求出直线上的点到平面的距离；⑤射影法,面积射影定理cos S'；S（4）距离的运算直线到平面的距离,平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离；求点到平面的距离,主要有两种方法：① 垂线法,过点作平面的垂线,求垂线的长度；② 等体积法,通过几何体体积相等,求出高,即点到平面的距离；简洁几何体1.多面体在数学中,我们把由平面多边形（或三角形）围成的封闭体叫做多面体；构成多面体的各平面多边形（或三角形）叫做多面体的面；其相邻多边形（或第6页,共11页学习好资料 欢迎下载三角形）的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的交点叫做多面体的顶点； （1）棱柱假如一个多面体有两个全等的多边形的面相互平行,且不在 这两个面上的

棱都相互平行,那么这个多面体叫做棱柱；棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面,其他的面叫做棱柱的侧面；棱柱的侧面都是平行四边形；不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱；两个底面间的距离叫做棱柱的高；底面是平行四边形的棱柱有六个面,且六个面都是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,直棱柱的侧面都是矩形,直棱柱的高与侧棱的长相等；底面是矩形的直棱柱叫做长方体,全部棱长都相等的长方体叫做正方体；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；棱柱侧棱不垂直于底面斜棱柱侧棱垂直于底面直棱柱底面是正多边形正棱柱；四棱柱底面是平行四边形平行六边形侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体； （2）棱锥

假如一个多面体有一个多边形的面,且不在这个面上的棱都有一个公共点,那么这个多面体叫做棱锥；棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面,其他的面叫做棱锥的侧面,棱锥侧面都是三角形；不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱；侧棱的公共点叫做棱锥的顶点；顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高；第7页,共11页学习好资料 欢迎下载 假如棱锥的底面是正多边形,且底面中心与顶点的连线垂直于底面,那么这个棱锥叫做正棱锥；正棱锥的各条侧棱长相等,各个侧面都是全等的等腰三角形,正棱锥的高与其顶点究竟面中心的距离相等； 2.旋转体

平面上一条封闭曲线所围成的区域围着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体,该定直线叫做旋转体的轴；

（1）圆柱

如图,将矩形ABCD绕其一边AB所在直线旋转一周,所形成的的几何体叫圆柱；AB所在直线叫做圆柱的轴；线做 AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的面；线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧底 CD叫做圆柱侧面的一条母圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做圆柱的

高；依据圆柱的形成过程易知：

①圆柱有无穷多条母线,且全部母线都与轴平行；②圆柱有两个相互平行的底面； （2）圆锥

类似地,将直角三角形乂ABC

（及其内部）绕其一条直角边AB所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做圆；AB所在直线叫做圆锥的轴； 锥A叫做圆锥的顶点；直角 BC旋转而成的圆叫做圆锥的底面；斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；斜

面 AC叫做圆锥面的一条母线；圆锥的顶点究竟面间的距离叫做圆锥的高；边 侧依据圆锥的形成过程易知：

①圆锥有无穷多条母线,且全部母线相交于圆锥的顶点；②每条母线与轴的夹角都相等；第8页,共11页学习好资料 欢迎下载（3）球如图,将圆心为O的半圆绕其直径AB所在直线旋转一周,所形成的几何叫做球,记作球O；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面,易知,点 O到球面上意点的距离都相等；把点径和球的直径；O称为球心,把原半圆的半径和直径分别称为球的半球面上联结两点的最短路径,该路径的长度就是球面上两点之间的距离；在联结球面上两点的路径中,通过该两点的大圆劣弧最短,因此该弧的长度就是这两点的球面距离；任意平面与球面的交线都是圆；

我们规定,当平面通过球心时,所得交线是大圆；当平面不通过球心时,所得交线是小圆；3.面积与体积公式直柱体的表面积：SS2Sch2S金 侧 底（h,c分别为直柱体的高和底面周长〕2rh底圆柱的表面积：S金S侧2S底2r2〔h,r分别为圆柱的高和底面半

径）正锥体的表面积：SSS1ch'S（h',c分别为斜高和底面周〕2长金侧底底第9页,共11页学习好资料rh'欢迎下载〕圆锥的表面积：S金S侧S底r2（h',r分别为母线长和底面半径间球的表面积公式：S2

4r〔r是球的半