(新高考)高考数学一轮考点复习1.3《不等式的性质及一元二次不等式》课时跟踪检测(含详解)

PAGE第6页共6页课时跟踪检测（三）不等式的性质及一元二次不等式一、基础练——练手感熟练度1．(2021·大连模拟)已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与qA．p≤q B．p≥qC．p<q D．p>q解析：选D因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，所以p>q2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1解析：选A∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<β<1，α－β<0，∴－2<α－β<0.3．不等式2x2－x－3>0的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1)) B．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪(1，＋∞)解析：选B2x2－x－3>0可化为(x＋1)(2x－3)>0，解得x>eq\f(3,2)或x<－1，所以不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).故选B.4．若实数m，n满足m>n>0，则()A．－eq\f(1,m)<－eq\f(1,n) B.eq\r(m)＋eq\r(n)>eq\r(m＋n)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n D．m2<mn解析：选B取m＝2，n＝1，代入各选择项验证A、C、D不成立，只有B项成立(事实上eq\r(2)＋1>eq\r(2＋1))．5．若∀x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：由题意可知Δ＝m2－24≤0，解得－2eq\r(6)≤m≤2eq\r(6).答案：[－2eq\r(6)，2eq\r(6)]二、综合练——练思维敏锐度1．(多选)设a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式恒成立的是()A．a2>ab B．a2<b2C.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．a3<b3解析：选CD对于A，当a＝2，b＝3时，a<b，但22<2×3，故A中不等式不一定成立；对于B，当a＝－2，b＝1时，a<b，但(－2)2>12，故B中不等式不一定成立；对于C，∵a<b，∴eq\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,a2b2)<0，故C中不等式恒成立；对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))2＋\f(3,4)b2))，∵a<b，∴a－b<0，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))2＋eq\f(3,4)b2>0，∴a3<b3，故D中不等式恒成立．故选C、D.2．已知a为实数，“a>1”是“a2<a3”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C当a>1时，a2－a3＝a2(1－a)<0，所以a2<a3；当a2<a3时，a2(a－1)>0，所以a>1.综上，“a>1”是“a2<a3”3．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．4．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,2，x<0，))若不等式xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，则a的值为()A．－3 B．3C．－1 D．1解析：选B因为xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，所以3为方程xf(x－1)＝a的根，所以a＝3f(3－1)＝3×5．若存在x0∈[－2,3]，使不等式2x0－xeq\o\al(2,0)≥a成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，－8]C．[1，＋∞) D．[－8，＋∞)解析：选A设f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，因为存在x0∈[－2,3]，使不等式2x0－xeq\o\al(2,0)≥a成立，所以a≤f(x)max，所以a≤1，故选A.6．若a>1，则关于x的不等式eq\f(ax,x＋1)≥1的解集是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a－1)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a－1)))C．(－∞，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)，＋∞))解析：选D由eq\f(ax,x＋1)≥1得eq\f(ax,x＋1)－1≥0，即eq\f(a－1x－1,x＋1)≥0，∴[(a－1)x－1](x＋1)≥0且x≠－1，解得x<－1或x≥eq\f(1,a－1)，则不等式的解集为(－∞，－1)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)，＋∞))，故选D.7．(多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，则下列结论正确的是()A．a>0 B．b>0C．c>0 D．a＋b＋c>0解析：选BCD因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－eq\f(1,2)是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有eq\f(c,a)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1<0，－eq\f(b,a)＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)>0，又a<0，所以b>0，c>0，故B、C正确；因为eq\f(c,a)＝－1，所以a＋c＝0，又b>0，所以a＋b＋c>0，故D正确，故选B、C、D.8．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是()A．(－3,5) B．(－2,4)C．[－3,5] D．[－2,4]解析：选D关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式的解集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a,1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2.又当a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意．所以a的取值范围是[－2,4]，故选D.9．若0<a<1，则不等式(a－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集是________________．解析：原不等式等价于(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0，由0<a<1，得a<eq\f(1,a)，∴a<x<eq\f(1,a).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<\f(1,a)))))10．已知a＋b＞0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)11．a，b∈R，a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同时成立的条件是________．解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；若ab＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).所以a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同时成立的条件是a＜0＜b.答案：a＜0＜b12．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是__________．解析：令f(x)＝x2＋ax－2.∵f(0)＝－2，于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－eq\f(23,5)，故a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax，x≥0，,bx2－3x，x＜0))为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________．解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x，x≥0，,－x2－3x，x＜0.))当x≥0时，由x2－3x＜4，解得0≤x＜4；当x＜0时，由－x2－3x＜4，解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)14．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解：(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，即a2－6a－3<0，解得3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3).∴不等式的解集为{a|3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3)}．(2)∵f(x)>b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))故a的值为3±eq\r(3)，b的值为－3.15．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加eq\f(8,5)x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．解：(1)由题意得，y＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10)))·100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(8,50)x)).因为售价不能低于成本价，所以100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10)))－80≥0，解得0≤x≤2.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}．(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得eq\f(1,2)≤x≤eq\f(13,4).又0≤x≤2，所以x的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).16．已知函数f(x