电大高等数学基础考试答案完整版

核准通过，归档资料。未经允许，请勿外传！高等数学基础归类复习一、单项选择题1-1下列各函数对中，（ C）中的两个函数相等．A.f(x)(x)2，g(x)xB.f(x)x2，g(x)xC.f(x)lnx3，g(x)3lnxD.f(x)x1，g(x)x21x11-⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（C）对称．A.坐标原点B.x轴C.y轴D.yx设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（D）对称．A.yxB.x轴C.y轴D.坐标原点.函数yexex的图形关于（A）对称．2x轴y轴(D)yx(A)坐标原点(B)(C)1-⒊下列函数中为奇函数是（B）．A.yln(1x2)B.yxcosxC.yaxaxD.yln(1x)下列函数中为奇函数是（A）．2A.yx3xB.yexexC.yln(x1)D.yxsinx下列函数中为偶函数的是（D）．Ay(1x)sinxByx2xCyxcosxDyln(1x2)2-1下列极限存计算不正确的是（D）．A.limx21B.limln(1x)02xx2x0C.limsinx0D.limxsin10xxxx2-2当x0时，变量（C）是无穷小量．A.sinxB.1C.xsin1D.ln(x2)xxx当x0时，变量（C）是无穷小量．A1BsinxCex1Dxxxx21.当x0时，变量（D）是无穷小量．A1BsinxC2xDln(x1)xx下列变量中，是无穷小量的为（B）Asin11D.x2x0Blnx1x0Cexxx2xx243-1设f(x)在点x=1处可导，则limf(12h)f(1)（D）．h0hA.f(1)B.f(1)C.2f(1)D.2f(1)设f(x)在x0可导，则limf(x02h)f(x0)（D）．hh0Af(x0)B2f(x0)f(x0)D2f(x0)C设f(x)在x0可导，则limf(x02h)f(x0)（D）．2hh0A.2f(x0)B.f(x0)C.2f(x0)D.f(x0)设f(x)ex，则limf(1x)f(1)（A）AeB.2eC.1eD.1ex0x243-2.下列等式不成立的是（D）．A.exdxdexBsinxdxd(cosx)C.1xdxdxD.lnxdxd(1)2xB）．A.d(12)arctanxdxd(1dx下列等式中正确的是（xB.)x21xC.d(2xln2)2xdxD.d(tanx)cotxdx4-1函数f(x)x24x1的单调增加区间是（D）．A.(,2)B.(1,1)C.(2,)D.(2,)函数245在区间内满足（A）．yxx(6,6)A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升.函数yx2x6在区间（－5，5）内满足（A）A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升.函数yx22x6在区间(2,5)内满足（D）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升5-1若f(x)的一个原函数是1，则f(x)（D）．A.lnxB.1C.1D.2xx2xx3.若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是（A）。xbAf(x)dxF(x)F(a)BF(x)dxf(b)f(a)aaCf(x)F(x)b(x)dxF(b)F(a)Dfa5-2若f(x)cosx，则f(x)dx（B）．A.sinxcDB.cosxcC.sinxcD.cosxc下列等式成立的是（）．A.f(x)dxf(x)B.df(x)f(x)C.df(x)dxf(x)D.df(x)dxf(x)dx2dx2f(x3)dx（B）．A.f(x3)B.x2f(x3)C.1f(x)D.1f(x3)dx33dxf(x2)dx（D）Axf(x2)B1f(x)dxC1f(x)Dxf(x2)dxdx22⒌-3若f(x)dxF(x)c，则1f(x)dx（B）．xA.F(x)cB.2F(x)cC.F(2x)cD.1F(x)cx补充：exf(ex)dxF(ex)c,无穷积分收敛的是112dxx函数f(x)10x10x的图形关于y轴对称。二、填空题⒈函数f(x)x29ln(1x)的定义域是（3，+∞）．x3x函数y4x的定义域是（2，3）∪（3，4]2)ln(x函数f(x)ln(x5)1的定义域是（－5，2）2x若函数f(x)x21,x0，则f(0)1．2x,x012若函数f(x)(1x)x,x0，在x0处连续，则ke．xk,x0.函数f(x)sin2xx0在x0处连续，则kx2kx0x1,x0函数yx0的间断点是x=0．sinx,函数函数

x22x3x=3y的间断点是。x31y的间断点是x=01ex3-⒈曲线f(x)x1在(1,2)处的切线斜率是1/2．曲线f(x)x2在(2,2)处的切线斜率是1/4．曲线f(x)ex1在（0，2）处的切线斜率是1．.曲线f(x)x31在(1,2)处的切线斜率是3．3-2曲线f(x)sinx在(π,1)处的切线方程是y=1．切线斜率是02曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程为y=x切线斜率是14.函数yln(1x2)的单调减少区间是（－∞，0）．函数f(x)ex2的单调增加区间是（0，+∞）．.函数y(x1)21的单调减少区间是（－∞，－1）．.函数f(x)x21的单调增加区间是（0，+∞）．3函数yex2的单调减少区间是（0，+∞）．5-1dex2dxex2dx．.dsinx2dxsinx2．dx(tanx)dxtanx+C．若f(x)dxsin3xc，则f(x)－9sin3x．31)dx1x3dedx1)dx5-2(sin5x3．0．ln(x0321x21dx1下列积分计算正确的是（B）．1(exex)dx0B1ex)dx011A1(exCx2dx0D|x|dx0111三、计算题（一）、计算极限（1小题，11分）（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用连续函数性质：f(x0)有定义，则极限limf(x)f(x0)xx0类型1：利用重要极限limsinx1，limsinkxk，limtankxk计算x0xx0xx0x1-1求limsin6x．sin6x解：limsin6xlimx6x0sin5xx0sin5xx0sin5x5x1-2求limtanx解：limtanx1limtanx111x03xx03x3x0x331-3求limtan3x解：limtan3x=limtan3x.3133x0xx0xx03x类型2：因式分解并利用重要极限limsin(xa)1，limxaa)1化简计算。xa(xa)xasin(x2-1求limx21．解：limx21=lim(x1).(x1)1(11)2x1sin(x1)x1sin(x1)x1sin(x1)sinx1解：limsin(x1)limsin(x1).11112-2lim2x1x1x1x21x1(x1)(x1)1122-3limx24x3解：limx24x3lim(x3)(x1)lim(x1)2x3sin(x3)x3sin(x3)x3sin(x3)x3类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限3-1limx26x8解：limx26x8=lim(x4)(x2)limx22x4x25x4x4x25x4x4(x4)(x1)x4x133-2limx2x6limx2x6limx3x2limx2523233x3xx12xxx12xx3x4xx473-3limx223x2解limx223x2lim(x2)(x1)limx11x2x4x2x4x2(x2)(x2)x2x241x211x2sinxlimsin其他：limlim20，lim2x0sinxx0sinxx0x11x01x24limx26x5x21，lim2x26xlim2x222lim222xx4x5xxx3x4x5x3x3（0807考题）计算limtan8x．解：limtan8x=tan8xlimx.82x0sin4xx0sin4xsin4x4x0x（0801考题.）计算limsinx．解limsinx1limsinx1x02xx02x2x0x2（0707考题.）limx22x3=lim(x1).(x3)1(13)4x1sin(x1)x1sin(x1)（二）求函数的导数和微分（1小题，11分）（1）利用导数的四则运算法则(uv)uv(uv)uvuv（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式(lnx)1(xa)axa1x(ex) ex(sinx) cosx(cosx) sinx(tanx) sec2x(cotx) csc2x(sinu)cosu.u(sinx2)cosx2.(x2)2xcosx2(sinex)cosex.(ex)excosex

(eu)eu.ux2x22)2xex2(e)e.(x(esinx)esinx.(sinx)esinxcosx(ecosx)ecosx.(cosx)ecosxsinx(cosu)sinu.u(cosx2)sinx2(x2)2xsinx2(cose)sinex.(ex)exsinex类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1y(xx3)ex331313解：y＝x23exx23ex3x2exx23ex3x2x23ex221-2ycotxx2lnx解：y(cotx)(x2lnx)csc2x(x2)lnxx2(lnx)csc2x2xlnxx1-3设yextanxlnx，求y．解：y(extanx)(lnx)(ex)tanxex(tanx)1extanxexsec2x1类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导xx2-1ysinx2lnx，求y解：y(sinx2)(lnx)2xcosx21x2-2 y cosexsinx2，求解：y (cosex)(sinx2) sinex.(ex)cosx2.(x2) exsinex2xcosx252-3yln5xe5x，求，解：y(ln5x)类型3：乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导yex2cosx，求y。解：y(ex2)cosxex2(cosx)其他：y2xcosx，求y。x解：y(2x)(cosx)2xln2(cosx).xcosx.(x)xx20807.设yesinxsinx2，求y解：y(esinx)(sinx2)0801.设yxex2，求y解：y(x)ex2x(ex2)

.(e5x)5ln4x5e5xxx2ex22xecosxsinx2xln2xsinxcosxx2esinxcosx2xcosx2ex22x2x2e0707.设0701.设

y esinx x2，求 解：y lnx cosex，求 解：

yesinx.(sinx)(x2)cosxesinx2xy(lnx)sinex.(ex)1exsinexx（三）积分计算：（ 2小题，共 22分）凑微分类型1：11x2dxd(x)cos1cos1111xdxxdx)c计算解：cosd(sinx2x2xxxsin1sin1sin1d(1)cos10707.计算xdx．解：xdxcx2x2xxx1111exex0701计算dx．解：dxexd(1)excx21x2x2：dx凑微分类型dx2xcosxdxcosxx2cosxdx2sinxc.计算x．解：xsinxsinxx2sinxdx2cosxc0807.计算xdx．解：xd0801.计算exdx解：exdx2exdx2excxx凑微分类型3：1dxdlnx，1dxd(alnx)xx61dx1dlnx1计算xlnx解：dxduln|lnx|cxlnxlnxuee2lnxe2lnxe15.计算dxlnx)21解：dx(2lnx)d(2lnx)(2x1x1212定积分计算题，分部积分法类型1：xalnxdx1lnxdxa11xa1lnx1xadxxa1lnx1xa1ca1a1a1a1(a1)2exlnxdx解：a1，xlnxdx1lnxdx21x2lnx1x2c计算1224e1e(x2lnxx2e1e2xlnxdxlnxdx2)1121244e(xlnxe(ee)(01)1lnxdxx)11elnx解：a2lnx11lnx1c计算x2dx，x2dxlnxd()xx1xelnx1 x2 dx计算elnxdx解：a1lnx1，dxx2x

e1lnx1e2lnxd()()1x1xx1e2lnxd x 2 xlnx 4 x ceee2e41lnxdx=2lnxdx(2xlnx4x)x11eelnxd333308071xlnxdx2x2(2x2lnx4x2)e2e2431391990707ex2lnxdx1elnxdx31x3lnx1x3e2313(9)e911319类型2xeaxdx1xd(eax)1xeax1eaxcaaa212xdx112x(12x12x1121xe2xde2xe4e)4e40001x1xxx11xedxxde(xee2e1)000112x13112x112x2x2xedx2xde(xe4e)4e40020（0801考题）1xdx1xdex(xexex11xe0)00类型3：xsinaxdx1xcosax1cosaxdx1xcosax12sinaxcaaaaxcosaxdx1xsinax1sinaxdx1xsinax1cosaxcaaaa272xsinxdx2xdcosx(xcosxsinx)21010002xcosxdx2xdsinx(xsinxcosx)210020xsin2xdx1xcos2x1cos2xdx11sin2xc22xcos2x422xsin2xdx12xdcos2x(1xcos2x10022sin2x)2440402xcos2xdx1212sin2xdx121xsin2x|02cos2x|020204四、应用题（1题，16分）类型1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足h2r2l2圆柱体的体积公式为Vr2hπ(l2h2)hVπ(232)0l求导并令得h3l，并由此解出r6l．33即当底半径r6l，高h3l时，圆柱体的体积最大．33类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1（0801考题）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V.r2.h,hV2V.r2S2π22π2π2表面积为rS4π2V，由S0得r3V，此时h2r34V。rr22ππ由实际问题可知，当底半径rV2r时可使用料最省。3与高h2π一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：本题的解法和结果与2-1完全相同。生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r，高为h，则无盖圆柱形容器表面积为Sπr22πrhπr2S2π2V0，得rV,hr，3rr2π由实际问题可知，当底半径r3V与高hr时可使用料最省。π2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题）解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知232，V，xhVhx2

？2V，