开平方的原理与探究课件

开平方的探究与原理我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．后流传下来的笔算开平方是由三国时期刘徽作注的本子（公元263年），他在“注”里提到在平方数的情况下求近似值的两个算法：

（1）“不加借算”：用现代符号表述就是

（2）“加借算”：用现代符号表述就是

并指出

在这两个近似值之间。我们可以自己用这两个近似公式计算；

用电子计算器算得求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（extractionofsquareroot),其中a叫做被开方数。注：在实数范围内a必须大于或等于零，即a为非负数直接开平方:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法配方法:利用完全平方式,通过移项、配方、变形、开方求一元二次方程的解的方法求根公式法:利用求一元二次方程的解的方法

因式分解法：十字相乘法：还有提公因式法、待定系数法等求一元二次方程的解的方法开平方原理讲解我们知道任何一个个位数的平方不会超过两位如注：任何一个数如果要开平方，则必须对其位，以小树点为界，向左、向右两位两位的分。开平方依据公式我们知道完全平方公式：将其变形会有：任何完全平方数都可以用上述公式表示！！！

完全平方数演示演示数据一：演示数据二：

No.1

笔算开平方1.将被开发数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用

分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，用“,”分开,分成几段，表示所求平方根是几位数.以《九章算术》中求55225的开方为例，图解说明.

2.根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位的数。（在右边例题中，比5小得平方数是4，所以平方根的最高位为2）3.从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数4.把求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（例中的试商为5.用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二位。（即3为平方根的第二位）6.用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上一步中所求的积（即152-129=23）与第三段数组成新的余数（2325），这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数，所得的最大整数为新的试商（的整数部分为5）7.对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根）

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法上述平方根的求法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的平方根.No.2开平方公式例

A=5；(5介于2的平方至3的平方之间，我们去初始值2.1，2.2，2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以，我们最好取中间值2.5)第一步:2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2;即5/2.5=2,2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+（-0.25）=2.25，取2位数2.2第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；即5/2.2=2.272727，2.27272-2.2=-0.07272，-0.072727×1/2=-0.036363，2.2+0.03636=2.23.取3位数2.23第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236；即

5/2.23=2.242，2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006，2.23+0.006=2.236，取4位数每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。开m次方公式：6'76整数开平方例1：解：242764662760＝268'46例2：解：244464994415＝29181'815811858110纯小数开平方例3：解：＝0.680.46'0.361024128610244820例4：解：＝0.0270.00'0.4329470329292070'7混小数开平方例5：解：＝1.081.16'1.1166420164860864例6：解：＝13.3176.89'117623373968926307890近似平方根例7：解：≈1.4142.00'1.1100249010464'000041281281119002824412196604例8：解：10.3'3.9130622000246'0000064057623199≈3.21（精确到0.001）（精确到0.01）19008100282822563836456口诀不退位减法

退位减法直接的减破五的减退十的减退十补五的减

几离几几靠几离几几退一靠几几退一靠五离几123456789一离一二离二三离三四离四五离五六离六七里七八里八九离九一靠四离五二靠三离五三靠二离五四靠一离五一退一靠九二退一靠八三退一靠七四退一靠六五退一靠五六退一靠四七退一靠三八退一靠二九退一靠一六退一靠五离一七退一靠五离二八退一靠五离三九退一靠五离四把传统口诀稍加变化后，解决了上与下似相反而实同上与去似相同而实相反、遇与还似相同而实异的矛盾使口决的含义更加明确．容易理解容易接受，容易记忆，容易教学。No.3珠算式心算开平方方法1.分节

开方先分节，

二位为一节，整数右向左，小数左向右。2.置数被开方数首节(满节：指首节有二位数字)的从算盘左边第三挡(空二档)起置数j首节不满节(不满节：指首节只有一位数字)的从算盘左边第四档(空三档)起置数。其要领简记为：满节空二档；不满空三档。3.取根被开方数分为几个节，就有几位根其要领简记为：

按节来取根，初根直接商；试取次根时，初根扩2O倍，加上试商数，得积乘试商，试后来把次根定，初根扩2O乘次根，加上次根自身录，一并来把积减去；