(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题05函数5.5《单调性》（解析版）

专题四《函数》学案5.5单调性知识梳理.单调性1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.3.判断函数单调性常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.4．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．题型一.常见函数的单调性（单调区间）1．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．2．已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【解答】解：因为函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1，故选：B．3．已知函数f（x）=x2+(4a−3)x+3a，x＜0loga(x+1)+2，x≥0（a＞0且A．（0，34] B．[34，1） C．[23，【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，根据二次函数开口向上，二次函数在（﹣∞，−b2a）单调递减，可得−b2a≥0．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[loga故而得：−4a−32≥0，解答a≤34，并且3a≥2，a∴a的取值范围是[23，3故选：C．4．已知函数f（x）=(a−2)x，x≥2(12)x−1，x＜2，满足对任意的实数x1≠A．（1，+∞） B．(−∞，138] C．(−∞，【解答】解：由于f（x）满足对任意的实数x1≠x2，都有f(x∴f（x）为R上的减函数，又函数f（x）=(a−2)x，x≥2∴a−2＜02(a−2)≤(12)∴实数a的取值范围为(−∞，13故选：C．题型二.利用函数单调性求值域、最值1．若函数f（x）=(1−2a)x+3a，x＜12x−1，x≥1的值域为A．[0，12） B．（12，1] C．[﹣1，12）【解答】解：由题意可得，y＝（1﹣2a）x+3a单调递增且1﹣2a+3a≥1，故1−2a＞01+a≥1，解可得，0≤a＜故选：A．2．已知函数f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x+14）的值域为R，则实数A．（1，4） B．（1，4）∪{0} C．（0，1]∪[4，+∞） D．[0，1]∪[4，+∞）【解答】解：对a分类讨论：a＝0时，函数f（x）＝lg（2x+14），由2x+14＞0，可得函数f（xa≠0时，要使得函数f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x+14）的值域为R，则a＞0△=(2−a)2−4a×1则实数a的取值范围是[0，1]∪[4，+∞），故选：D．3．已知函数f（x）=x2−2ax+12，x≤1x+4x+a，x＞1，若f（x）的最小值为f【解答】解：由题意可知要保证f（x）的最小值为f（1），需满足a≥1f(2)≥f(1)即a≥12+解得a≥3．故答案为：[3，+∞）4．已知函数f（x）＝2x，则函数f（f（x））的值域是（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．R【解答】解：由指数函数的性质可知，函数f（x）＝2x的值域为（0，+∞），令t＝2x，则t＞0，∴f（f（x））＝f（t）＝2t＞20＝1，即所求函数的值域为（1，+∞）．故选：B．5．已知函数f（x）＝lnx−12ax2+（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数f（A．（0，1] B．（1，+∞） C．(0，43] D．[4【解答】解：函数f（x）＝lnx−12ax2+（a﹣1）x+则f′（x）=1x−ax+（a﹣令f′（x）＝0，可得x=−1a（舍去），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，1）递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（1，+∞）递减；∴当x＝1时，f（x）取得最大值为32f（x））的值域为（﹣∞，32∴函数f（f（x））的值域为（﹣∞，32则32解得：a≥4则a的取值范围为[43，+∞故选：D．题型三.利用函数单调性比较大小1．已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，设a＝f（−12），b＝f（2），c＝f（e），则a，b，A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c【解答】解：∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，又∵函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴a＝f（−12）＝f（又∵b＝f（2），c＝f（e），且2＜52＜e，f（x∴f（2）＞f（52）＞f（e∵a＝f（−12）＝f（52），b＝f（2），c＝f∴b＞a＞c，故选：D．2．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（log123），b＝f（2﹣1.2），c＝f（12），则a，bA．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，a＝f（log123）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（12）＝f（2又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，则b＞c＞a，故选：B．3．（2013·天津）设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y＝ex及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝ex+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝ex，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1．同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（3）=ln3+(3)2−3=12∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．题型四.利用(抽象)函数单调性解不等式1．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）2．已知函数f(x)=−x2+2x−1，x≤1|x−1|，x＞1，若f（a2﹣4）＞fA．（﹣4，1） B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）【解答】解：由分段函数的性质可知f(x)=−x2+2x−1，x≤1|x−1|，x＞1，f若f（a2﹣4）＞f（3a），则a2﹣4＞3a，解可得，a＞4或a＜﹣1．故选：D．3．（2012·全国）当0＜x≤12时，不等式4x＜logax恒成立，则实数a的取值范围是（2【解答】解：当0≤x≤12时，函数y＝4若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于（12，2）点时，a=故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足22＜故答案为：（224．