【公开课课件】总体集中趋势的估计课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.3总体集中趋势的估计

在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.那你是否还记得平均数、中位数、众数是什么吗？众数：一组数据中出现次数最多的数.中位数：一组数据按从小到大排序，

当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；

当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数.：平均数

.1.平均数、中位数、众数的定义

例4

利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6解：①根据已知100户居民用户月均用水量的数据，由样本平均数的定义，可得即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.解：得第50个数和第51个数均为6.8，由中位数的定义，可得100户居民的月均用水量的中位数是6.8t.②将样本数据按从小到大排序，1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.42.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.8

6.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t，其中位数约为6.8t.思考

小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数.但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？

通过计算可以发现,平均数由原来的8.79t变为9.483t,中位数没有变化,还是6.8t.1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.42.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0对比可得平均数变化较大.这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数的改变都会引起平均数的改变；但中位数只与样本数据中间位置的一个或两个值有关，与其他数据无关，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感.探究1

平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？一般来说,对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的(如图(1)),那么平均数和中位数大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(如图(2))，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(如图(3))，那么平均数小于中位数.

也就是说，平均数总是在“长尾巴”那边.

例5

某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：校服规格155160165170175合计频数39641679026386

如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.分析：虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是不同的类别，对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比较合适.

解：通过观察条形图可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.2.众数、中位数、平均数的意义(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.探究2

样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据.例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图.这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？①.估计样本的平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.

在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内是均匀分布.这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.①.估计样本的平均数：这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大.②.估计样本的中位数：

在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.

0.077×3=0.231，(0.077+0.107)×3=0.552，因此中位数落在区间[4.2,7.2)内.设中位数为x，由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5，解得x≈6.71.这个结果与根据原始数据求得中位数6.8相差不大.③.估计样本的众数：在此频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民最多，所以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值.在这个实际问题中，众数“5.7”让我们知道月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民用户最多.这个信息具有实际意义.

假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元”.你如何理解这句话？

这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况。例如，可能这个公司的工资水平普遍较高，也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不多；也可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高；在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大得多.尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数.所以，我们要强调“用数据说话”，但同时又要防止被数据误