专题八 常见重要不等式

专题八常见重要不等式及不等式的证明学习要求：1.知道不等式的几条基本性质，会利用不等式的性质证明简单的不等式。2.会求解一元二次不等式，掌握二次函数和二次不等式的联系。3.会求解绝对值不等式，知道三角不等式的几种表现形式。掌握基本不等式a・b■24ab的使用条件及其变形不等式，会用基本不等式解决问题或证明其他不等式。掌握基本不等式a2■b2■2ab的使用条件及其变形不等式，会利用其解决问题或证明其他不等式。6.掌握证明不等式的重要方法：比较法和放缩法。7.熟悉几类常见不等式：柯西不等式、排序不等式、伯努利不等式、赫尔德不等式、均值不等式，琴生不等式，会用他们证明一些简单的不等式。8.掌握几个重要的近似，能够利用简单近似估计数值。9.能够利用已经学过的知识证明特殊结构的不等式。参考资料：.《高中数学知识点学习材料》，p51-p56.《高中数学必修5》，人民教育出版社.《高中数学选修4-5》，人民教育出版社课堂训练：设t■a■2b,s■a■b2・1，则s与的大小关系为()A.s三tB.s>tC.sWtD.s<t.设P■<2,Q■<7■v：3,R■v6■<2,则p,q,r的大小关系为()A.P>Q>RB.P>R>QC.Q>P>RD.Q>R>P.设x■a2b2■5,j■2ab■a2■4a,若x■y，则实数a,b满足的条件是.(1)Ifx■1,y■1,showthatx■y■—■—■—■xy.xyxy(2)If1■a■b■jshowthatlogbBlogc■loga■loga■logbBlogc.abcbca.已知a■0,b■0,2c■a■b，求证:cjc2Hab|■a■c■,c2Hab|.6.Showthat3■二6.Showthat3■二2n■1■1■2■-(n■2,n■N)2232—.使不等式a■b成立的充要条件是（A.a2A.a2■b211BJbC.lga■1gb.对于满足।p・2的所有实数p，求使不等式x2■px■1■2p■x恒成立的x的取值范围..对于任意的X■[0,y],cos2X■2msinx■2m■2■0恒成立，求实数m的取值范围..设对于任意的x■R,不等式a■cos2x■5■4sinx■<5a■4恒成立，求实数a的取值范围。.对于函数f(x)，若存在xo■R使得f(xo)■x0成立，则称X为f(x)的不动点。已知函数f(x)■ax2■(b・1)x■(b■!),(“■0).若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。.设函数f(x)■min{sinx,x2■2x},x■[1司，画出其图象并设对于任意x■[■司,都有a21na■a■a21f(x)1，求a的取值范围..已知f(x)是定义在[-1,1上的奇函数，且f(1)■1，若m,n■[H,1]，m■n■0时f(m)■f(n)-0，若f(x)■12蛇at■1对所有的x■[■,1],a■[■」恒成立，求实数tm■n的取值范围。nn(nI1)(nI1)214设S■■J(iHl)，求证：-■S■n2n214115已知fx)■ii而’若f⑴■5,且“x)在区间［0,1］上的最小值为2，求证:■nf(■nf(r)r■2n・.证明：C0■C1■…■Cn■n■22nnn111..证明：(1■1)(1■/(1・，…(1_)■%2n■1352nHl

1■2x■3x■I…■(〃11)2■a・2.已知函数f(x)■lg,0■a■1,n■2且n■N*，求证:n对于任意的n■2且n■N*，不等式f(2x)■2f(x)恒成立.11■,a■2，求证：a■2

■,a■2，求证：a■2

nann2a3a20.设数列｛20.设数列｛a｝满足ann・■a2■na■1

nn且a1■3，证明，对于所有正整数n，有(i)a■n■2nn11(ii)■1STB2考点探究：请在上述道题旁边标注每道题的考点以及难度标度(即i、n、m)如果有做错的题，请誊抄在练习本上，同时记录错误解法和正确解法，然后标明考点，易错点，写下自己的做题反思，如果有进一步思考，也请写出。命题实践：请根据上面所分析的考点，结合命题思路，自己命题，要求参考母题为：2,6,9,命1题1要,求1：31不.拘泥于所给的题目形式，结合经验，发挥想象，考点为主，形式为辅。2为.了减轻压力，选择题不必强求给出选项，但尽量保证题目有解。3题.目应当尽可能的考查较多的知识点，鼓励学科内交叉甚至学科间交叉出题。4题.目应当标注难度标度。课后练习：1.数歹|J{X}满足：X■a■0且X■1(x■—),n■N，证明：n1n.2nx■nHn■2,x■aanIn■2,x■xnn・22.求证：对于任意正整数n