(名师整理)最新人教版数学冲刺中考《动态几何问题》考点精讲精练课件

冲刺中考考点精讲精练冲刺中考考点精讲精练动态几何问题动态几何问题动态几何问题把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，目前中考大多数题目是求时间t值的问题，主要有三类：

一、求关于t的函数关系式；

二、用最值求t（1）利用函数判断最值求t，多为面积问题（2）利用几何知识判断最值求t；

三、判断线段位置或特殊图形求t值；

四、对于这三种主要类型本讲分别在点动、线动、形动三种动态背景下举例说明这些问题的做法。其中例1-例3为点动，例4-例5为线动，例6-例8为形动。动态几何问题把几何、三角、函数、方程等知识集于一例1.已知Rt△OAB，∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图2-8-4①，连接BC.(1)填空：∠OBC=_____°；(2)如图①，连接AC，作OP⊥AC，垂足为点P，求OP的长度；(3)如图②，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/s，点N的运动速度为1单位/s，设运动时间为xs,60△OMN的面积为y，则当x为何值时，y取得最大值？最大值为多少？

以点动为背景60△OMN的面积为y，则当x为何值时，y取得最大值？最大值

分界点的判定：1、单动点时从起始点到转折时的点即为分界点；或让图形变化的点即为分界点。2、双动点运动速度不一样时先找快点的分界点，在找慢点的分界点；速度一样时让图形变化的点即为分界点。

分界点的判定：作MH⊥OB于H.则BM＝8-1.5x，MH＝BM·sin60°＝当x＝时，y取最大值，

作MH⊥OB于H.则BM＝8-1.5x，当x＝③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G.如图4所示.MN＝12-2.5x，OG＝AB＝当x＝4时，y有最大值，∵x＞4，综上所述，y有最大值，最大值为.③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作O例2、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为（ts）.过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值.例2、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点以本题为例：（1）分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当∠BPQ＝90°时，6+t＝2（6-t）∴t＝2，解：t＝2时，△BPQ是直角三角形.作BQ中点N,连接PN∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵t＝2∴BP=4,BQ=8,

∴BN=QN=4∴BP=PN=BN∴∠PNB＝60°，∴∠PQN＝30°∴△BPQ是直角三角形（2）存在.理由如下：如图1中，连接BF交AC于M.∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，

本题1、2问为判断线段位置或特殊图形求t值；此种问题基本方法：1、先把特殊图形或位置当做已知条件求t值；2、判断线段位置或特殊图形有可能分类，一般分类方法均为几何法，即（1）分类讨论，（2）画图找点，（3）分别求解；3、写解题过程时把所求t值作为已知条件去证明位置或特殊图形；以本题为例：（2）存在.理由如下：∵BF平分∠ABC，BA（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，

（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K.∵△A（4）本问为利用几何知识判断最值求t；此种问题判断最值的指导思想是化折为直，关键是在变中找不变，本题判断最值有两种方法：

法一：B′在以M为圆心，BM为半径的圆上，故AM与圆的交点即为B′；所以AB′=AM-MB，t可求。法二：如图3中，连接AM，AB′.∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝∵AB′≥AM-MB′，∴AB′≥∴AB′的最小值为此时MP平分∠AMB，则有∴t＝解得t＝（4）本问为利用几何知识判断最值求t；此种问题判断最值的指导例3.如图①，在矩形ABCD中，连接AC，点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为ts.过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH.(1)如图①，当AB＝BC＝8时，①若点H在△ABC的内部，连接AH，CH，求证：AH＝CH；②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；(2)当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分，求t的值.例3.如图①，在矩形ABCD中，连接AC，点E从点B出发，

综上所述，S＝本题分界点的寻找是让图形变化时的点为分界点。

综上所述，S＝本题分界点的寻找是让图形变化时的点为分界点。(2)①如答图，延长AH交BC于点M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分.∵EH∥BM，∴∴∴②如答图，延长AH交CD点于点M，交BC的延长线于点K，当CM＝DM＝3时,直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分，易证AD＝CK＝8.∵EH∥BK，∴∴∴(2)①如答图，延长AH交BC于点M，当BM＝CM＝4时，直③如答图，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于点M，交BC的延长线于点N.当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分，易证AD＝CN＝8.在Rt△ABC中，AC＝＝10.∵EF∥AB，∴∴∴EF＝(16-t).∵EH∥CN，∴∴

解得t＝.综上所述，满足条件的t的值为③如答图，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于点M，交BC

(3)在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.以线动为背景

(3)在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B，C，解：(1)在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=设CO=4k，BC=5k.∵BC2=CO2+OB2，∴25k2=16k2+9.解得k=1或k=-1(不符题意，舍去).∵四边形ABCD是菱形，∴CD=BC=5.∴D(5，4).(2)①如答图①，当0≤t≤2时，直线l扫过的图形是四边形OCQP，S=4t.本题第2问为线动背景下的求关于t的函数关系式问题，此类问题的关键还是找分界点进行分类，方法一：直线运动时使所求图形变化的点；方法二：直线沿运动方向依次经过的点。解：(1)在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=设CO②如答图②，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA.S=S梯形OCDA-S△DQT(3)如答图③，a.当QB=QC，∠BQC=90°时，b.当BC=CQ′，∠BCQ′=90°时，Q′(4，1).c.当BC=BQ″，∠CBQ″=90°时，Q″(1，-3).综上所述，满足条件的点Q坐标为，(4，1)或(1，-3).②如答图②，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQT例5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于点E，F，H.当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为ts(t＞0).(1)当t=2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由.例5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，B(1)证明：当t=2时，DH=AH=4cm，则H为AD的中点，如答图①.又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线.∴AE=DE，AF=DF.∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C.∴EF∥BC，∠AEF=∠B，∠AFE=∠C.∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形.(1)证明：当t=2时，DH=AH=4cm，则H为AD的中(2)解：如答图②，由(1)知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∴，即

∴当t=2时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm.(2)解：如答图②，由(1)知EF∥BC，∴(3)解：存在.理由如下.①若点E为直角顶点，如答图①，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t.∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在.②若点F为直角顶点，如答图②，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t.∵PF∥AD，∴，即.解得t=.③若点P为直角顶点，如答图③.过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD.∵EM∥AD，∴，即.解得BM=t.∴PM=BP-BM=3t-.(3)解：存在.理由如下.②若点F为直角顶点，如答图②，③在Rt△EMP中，由勾股定理，得PE2=EM2+PM2=(2t)2+.∵FN∥AD，∴，即，解得CN=∴PN=BC-BP-CN=10-3t-在Rt△FNP中，由勾股定理，得PF2=FN2+PN2=(2t)2+-85t+100.在Rt△PEF中，由勾股定理，得EF2=PE2+PF2，即化简，得-35t=0.解得t=或t=0(不符题意，舍去).∴t=.综上所述，当t=时，△PEF为直角三角形.在Rt△EMP中，由勾股定理，得∵FN∥AD，∴例6.把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与E重合)，点B，C(E)，F在同一条直线上.已知∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm.如图②，△DEF以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(单位：s).(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2)连接PE，设四边形APEQ的面积为y(单位：cm2)，试探究y的最大值；(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形?以形动为背景(2)连接PE，设四边形APEQ的面积为y(单位：cm2)，(1)解：AP=2t.∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF.∴CQ=CE=t.∴AQ=8-t.t的取值范围是0≤t≤5.(2)连接PE,过点P作PG⊥BC于点G，如答图.可求得AB=10，sinB=，PB=10-2t，EB=6-t.∴PG=PB·sinB=(10-2t).∴y=S△ABC-S△PBE-S△QCE∴当t=(在0≤t≤5内)时，y有最大值，y最大值=(cm2).(1)解：AP=2t.可求得AB=10，sinB=

∴，即，解得t=若AQ=PQ，如答图②,过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t.∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC.∴，即解得t=综上所述，当t=时，△APQ是等腰三角形.

∴，即例7.已知：如图①，在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发，沿着CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2-8-9②，设移动时间为t(单位：s)(0＜t＜4),连接PQ，MQ，MC.(1)当t为何值时，PQ∥AB？(2)当t=3时，求△QMC的面积；(3)是否存在t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.例7.已知：如图①，在平行四边形ABCD中,AB=3cm解：（1）如图所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，∴Rt△ABC中，AC=4，

（3）如图所示，过点M作ME⊥BC的延长线于点E，解：（1）如图所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，

个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．

个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E（1）D（-1，3）、E（-3，2）（3）①当点D运动到y轴上时，t=12.当0＜t≤

时，如右图S△CC′F=5t2当点B运动到点C时，t=1.当

＜t≤1时，如右图S梯形CC′D′G=5t-

S=-5t2+15t②当点E运动到点E′时，运动停止.如下图所示

（1）D（-1，3）、E（-3，2）（3）①当点D运动到y轴对于以形动为背景的问题，一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用特殊到一般的关系，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质．对于以形动为背景的问题，一是要抓住几何图形在运1、如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．练习：1、如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；

当点M与点C重合时，AB=BM，则△ABM为等腰三角形；

当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形；

当点M在AC上，且AM=BM时，则△ABM为等腰三角形；

当点M为CG的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形

1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ABM为

3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（3,0），与y轴交点为B（0,3），其顶点为C，对称轴为x=1，3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一(名师整理)最新人教版数学冲刺中考《动态几何问题》考点精讲精练课件(名师整理)最新人教版数学冲刺中考《动态几何问题》考点精讲精练课件(名师整理)最新人教版数学冲刺中考《动态几何问题》考点精讲精练课件学习了本课后，你有哪些收获和感想？告诉大家好吗？学习了本课后，你有哪些收获和感想？国虽大，好战必亡；天下虽安，忘战必危.——《司马法》教师寄语国虽大，好战必亡；天下虽安，忘战必危.教师寄语冲刺中考考点精讲精练冲刺中考考点精讲精练动态几何问题动态几何问题动态几何问题把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，目前中考大多数题目是求时间t值的问题，主要有三类：

一、求关于t的函数关系式；

二、用最值求t（1）利用函数判断最值求t，多为面积问题（2）利用几何知识判断最值求t；

三、判断线段位置或特殊图形求t值；

四、对于这三种主要类型本讲分别在点动、线动、形动三种动态背景下举例说明这些问题的做法。其中例1-例3为点动，例4-例5为线动，例6-例8为形动。动态几何问题把几何、三角、函数、方程等知识集于一例1.已知Rt△OAB，∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图2-8-4①，连接BC.(1)填空：∠OBC=_____°；(2)如图①，连接AC，作OP⊥AC，垂足为点P，求OP的长度；(3)如图②，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/s，点N的运动速度为1单位/s，设运动时间为xs,60△OMN的面积为y，则当x为何值时，y取得最大值？最大值为多少？

以点动为背景60△OMN的面积为y，则当x为何值时，y取得最大值？最大值

分界点的判定：1、单动点时从起始点到转折时的点即为分界点；或让图形变化的点即为分界点。2、双动点运动速度不一样时先找快点的分界点，在找慢点的分界点；速度一样时让图形变化的点即为分界点。

分界点的判定：作MH⊥OB于H.则BM＝8-1.5x，MH＝BM·sin60°＝当x＝时，y取最大值，

作MH⊥OB于H.则BM＝8-1.5x，当x＝③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G.如图4所示.MN＝12-2.5x，OG＝AB＝当x＝4时，y有最大值，∵x＞4，综上所述，y有最大值，最大值为.③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作O例2、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为（ts）.过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值.例2、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点以本题为例：（1）分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当∠BPQ＝90°时，6+t＝2（6-t）∴t＝2，解：t＝2时，△BPQ是直角三角形.作BQ中点N,连接PN∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵t＝2∴BP=4,BQ=8,

∴BN=QN=4∴BP=PN=BN∴∠PNB＝60°，∴∠PQN＝30°∴△BPQ是直角三角形（2）存在.理由如下：如图1中，连接BF交AC于M.∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，

本题1、2问为判断线段位置或特殊图形求t值；此种问题基本方法：1、先把特殊图形或位置当做已知条件求t值；2、判断线段位置或特殊图形有可能分类，一般分类方法均为几何法，即（1）分类讨论，（2）画图找点，（3）分别求解；3、写解题过程时把所求t值作为已知条件去证明位置或特殊图形；以本题为例：（2）存在.理由如下：∵BF平分∠ABC，BA（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，

（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K.∵△A（4）本问为利用几何知识判断最值求t；此种问题判断最值的指导思想是化折为直，关键是在变中找不变，本题判断最值有两种方法：

法一：B′在以M为圆心，BM为半径的圆上，故AM与圆的交点即为B′；所以AB′=AM-MB，t可求。法二：如图3中，连接AM，AB′.∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝∵AB′≥AM-MB′，∴AB′≥∴AB′的最小值为此时MP平分∠AMB，则有∴t＝解得t＝（4）本问为利用几何知识判断最值求t；此种问题判断最值的指导例3.如图①，在矩形ABCD中，连接AC，点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为ts.过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH.(1)如图①，当AB＝BC＝8时，①若点H在△ABC的内部，连接AH，CH，求证：AH＝CH；②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；(2)当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分，求t的值.例3.如图①，在矩形ABCD中，连接AC，点E从点B出发，

综上所述，S＝本题分界点的寻找是让图形变化时的点为分界点。

综上所述，S＝本题分界点的寻找是让图形变化时的点为分界点。(2)①如答图，延长AH交BC于点M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分.∵EH∥BM，∴∴∴②如答图，延长AH交CD点于点M，交BC的延长线于点K，当CM＝DM＝3时,直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分，易证AD＝CK＝8.∵EH∥BK，∴∴∴(2)①如答图，延长AH交BC于点M，当BM＝CM＝4时，直③如答图，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于点M，交BC的延长线于点N.当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分，易证AD＝CN＝8.在Rt△ABC中，AC＝＝10.∵EF∥AB，∴∴∴EF＝(16-t).∵EH∥CN，∴∴

解得t＝.综上所述，满足条件的t的值为③如答图，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于点M，交BC

(3)在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.以线动为背景

(3)在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B，C，解：(1)在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=设CO=4k，BC=5k.∵BC2=CO2+OB2，∴25k2=16k2+9.解得k=1或k=-1(不符题意，舍去).∵四边形ABCD是菱形，∴CD=BC=5.∴D(5，4).(2)①如答图①，当0≤t≤2时，直线l扫过的图形是四边形OCQP，S=4t.本题第2问为线动背景下的求关于t的函数关系式问题，此类问题的关键还是找分界点进行分类，方法一：直线运动时使所求图形变化的点；方法二：直线沿运动方向依次经过的点。解：(1)在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=设CO②如答图②，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA.S=S梯形OCDA-S△DQT(3)如答图③，a.当QB=QC，∠BQC=90°时，b.当BC=CQ′，∠BCQ′=90°时，Q′(4，1).c.当BC=BQ″，∠CBQ″=90°时，Q″(1，-3).综上所述，满足条件的点Q坐标为，(4，1)或(1，-3).②如答图②，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQT例5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于点E，F，H.当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为ts(t＞0).(1)当t=2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由.例5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，B(1)证明：当t=2时，DH=AH=4cm，则H为AD的中点，如答图①.又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线.∴AE=DE，AF=DF.∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C.∴EF∥BC，∠AEF=∠B，∠AFE=∠C.∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形.(1)证明：当t=2时，DH=AH=4cm，则H为AD的中(2)解：如答图②，由(1)知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∴，即

∴当t=2时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm.(2)解：如答图②，由(1)知EF∥BC，∴(3)解：存在.理由如下.①若点E为直角顶点，如答图①，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t.∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在.②若点F为直角顶点，如答图②，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t.∵PF∥AD，∴，即.解得t=.③若点P为直角顶点，如答图③.过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD.∵EM∥AD，∴，即.解得BM=t.∴PM=BP-BM=3t-.(3)解：存在.理由如下.②若点F为直角顶点，如答图②，③在Rt△EMP中，由勾股定理，得PE2=EM2+PM2=(2t)2+.∵FN∥AD，∴，即，解得CN=∴PN=BC-BP-CN=10-3t-在Rt△FNP中，由勾股定理，得PF2=FN2+PN2=(2t)2+-85t+100.在Rt△PEF中，由勾股定理，得EF2=PE2+PF2，即化简，得-35t=0.解得t=或t=0(不符题意，舍去).∴t=.综上所述，当t=时，△PEF为直角三角形.在Rt△EMP中，由勾股定理，得∵FN∥AD，∴例6.把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与E重合)，点B，C(E)，F在同一条直线上.已知∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm.如图②，△DEF以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(单位：s).(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2)连接PE，设四边形APEQ的面积为y(单位：cm2)，试探究y的最大值；(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形?以形动为背景(2)连接PE，设四边形APEQ的面积为y(单位：cm2)，(1)解：AP=2t.∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF.∴CQ=CE=t.∴AQ=8-t.t的取值范围是0≤t≤5.(2)连接PE,过点P作PG⊥BC于点G，如答图.可求得AB=10，sinB=，PB=10-2t，EB=6-t.∴PG=PB·sinB=(10-2t).∴y=S△ABC-S△PBE-S△QCE∴当t=(在0≤t≤5内)时，y有最大值，y最大值=(cm2).(1)解：AP=2t.可求得AB=10，sinB=

∴，即，解得t=若AQ=PQ，如答图②,过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t.∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC.∴，即解得t=综上所述，当t=时，△APQ是等腰三角形.

∴，即例7.已知：如图①，在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发，沿着CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2-8-9②