《定积分的概念》 市赛获奖 教学课件

定积分的概念内容：应用求定积分利用定积分求不规则图形的面积定积分的几何意义微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。xy0xy0xyo直线几条线段连成的折线曲线？知识回顾：用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割以曲代直作和逼近求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法:

(2)以直代曲:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为(3)作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1y=f(x)x

yObaxixi(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x

如果当n+∞时，Sn就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作：从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割---以直代曲----求和------逼近.

1.曲边梯形面积问题;2.变力作功问题;3.变速运动的距离问题.我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义

它们都归结为:分割、近似求和、取逼近值问题

定积分的相关名称：

———叫做积分号，f(x)dx—叫做被积表达式，

f(x)——叫做被积函数,

x———叫做积分变量，

a———叫做积分下限，

b———叫做积分上限，

[a,b]—叫做积分区间。被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限注：定积分数值只与被积函数及积分区间[a,b]有关,与积分变量记号无关1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为

.中,积分上限是

,积分下限是

,积分区间是

.2-2[-2,2]3.定积分=

.858函数在区间[a,b]上的定积分能否为负的?定积分

定积分

=

.定积分的几何意义当

f(x)≥0，定积分的几何意义就是

即bAoxyay=f(x)S曲线y=f(x)，直线x=a、x=b、

y=0所围成的曲边梯形的面积：S当函数f(x)0，x[a,b]时定积分

几何意义就是位于x

轴下方的曲边梯形面积的相反数.oxyaby=f(x)S用定积分表示下列阴影部分面积：S=______;S=______;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5S=______;XOyy=cosx当函数f(x)在x[a,b]有正有负时,

定积分几何意义就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)OXS2S1yS3定积分的几何意义：

在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积).-465OxyAB

定积分的基本性质性质1.性质2.定积分关于积分区间具有可加性性质3.Ox

yab

yf(x)Ｃ例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3.解：xyf(x)=sinx1-1１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．2．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取逼近精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取逼近3.定积分的几何意义及简单应用1.利用定积分的几何意义，