《抛物线》 市赛获奖 省赛获奖 教学课件

抛物线的定义1抛物线的标准方程2抛物线的图象,焦点坐标,准线方程3椭圆及双曲线的性质4图形标准方程焦点坐标准线方程类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？

抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程研究它的一些简单几何性质:抛物线的简单几何性质1.范围

因为p＞0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M(x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;

当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2.对称性

以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3.顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点．4.离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．xyOFABy2=2px2p

过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5.通径

抛物线的其它几何性质

连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：xyOFP6.焦半径方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;(5)抛物线的通径为2p,2p越大，抛物线的张口越大.解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），所以，可设它的标准方程为因为点M在抛物线上，所以因此,所求抛物线的标准方程是

即p=2.

抛物线几何性质的应用分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.典例展示下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.xyOFABBA''xyOFABBA''还可以如何求x1+x2?分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜

=2｜EH｜

2.抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为

。

21.求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为1.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛物线方程是

.(2)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=

.(3)抛物线y=2px2(p>0)的对称轴为

.x2=16y4y轴抛物线只位于半个坐标平面内，虽然