《抛物线》 市赛获奖 省一等奖 教学课件

考点探究•讲练互动考点突破考点1抛物线的定义及标准方程的求法例1 (1)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________(2)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2则点P的轨迹方程为________(2)由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.【答案】

(1)y2＝±8x

(2)x2＝8y【名师点评】求抛物线的标准方程常采用待定系数法或轨迹法，利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值【解】法一：设动圆半径为r，动圆圆心O′(x，y)，因动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，则O′到(2,0)的距离为r＋1，动圆与直线x＋1＝0相切，O′到直线x＋1＝0的距离为r.所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，故O′的轨迹是以(2,0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，方程为y2＝8x.变式训练1．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．答案：y2＝4x考点2抛物线的几何性质

设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O.例2法二：如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.则AD∥EF∥BC，连结AC交EF于点N，【名师点评】证直线AC经过原点O，即证O，A，C三点共线，为此只需证kOC＝kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决．2.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解：(1)由已知条件可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p·1，得p＝2，故所求抛物线的方程为y2＝4x，准线方程是x＝－1.考点3直线和抛物线的位置关系

(2011·高考福建卷)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．例3(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.变式训练3．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有一个公共点、两个公共点、没有公共点？直线l与抛物线C有两个公共点，此时称直线l与抛物线C相交；当Δ＝0,即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时称直线l与抛物线C相切；当Δ<0，即k>1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时称直线l与抛物线C相离．综上所述